Супермультиплет

В теоретической физике супермультиплет , возможно , — представление алгебры суперсимметрии с расширенной суперсимметрией .

Тогда суперполе — это поле в суперпространстве , которое имеет значение в таком представлении. Наивно, или при рассмотрении плоского суперпространства, суперполе можно просто рассматривать как функцию в суперпространстве. Формально это сечение ассоциированного расслоения супермультиплетов .

Феноменологически суперполя используются для описания частиц . Особенностью суперсимметричных теорий поля является то, что частицы образуют пары, называемые суперпартнерами , где бозоны спарены с фермионами .

Эти суперсимметричные поля используются для построения суперсимметричных квантовых теорий поля , в которых поля повышаются до операторов .

История

Суперполя были представлены Абдусом Саламом и Дж. А. Стратди в статье 1974 года. Операции над суперполями и частичная классификация были представлены несколько месяцев спустя Серджио Феррарой , Юлиусом Вессом и Бруно Зумино .

Именование и классификация

Наиболее часто используемые супермультиплеты — векторные мультиплеты, киральные мультиплеты (в $d=4,{\mathcal {N}}=1$ суперсимметрия, например), гипермультиплеты (в $d=4,{\mathcal {N}}=2$ суперсимметрия, например), тензорные мультиплеты и гравитационные мультиплеты. Высшая компонента векторного мультиплета — калибровочный бозон , высшая компонента кирального или гипермультиплета — спинор , высшая компонента гравитационного мультиплета — гравитон . Имена определены так, чтобы быть инвариантными при уменьшении размерностей , хотя организация полей как представлений группы Лоренца меняется.

Использование этих названий для различных мультиплетов может варьироваться в литературе. Киральный мультиплет (высшим компонентом которого является спинор) иногда можно назвать скалярным мультиплетом . $d=4,{\mathcal {N}}=2$ SUSY, векторный мультиплет (самый высокий компонент которого является вектором), иногда можно назвать киральным мультиплетом.

Суперполя в суперсимметрии d = 4, N = 1

Условные обозначения в этом разделе следуют заметкам Фигероа-О'Фаррилла ( 2001 ).

Общее комплексное суперполе $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ в $d=4,{\mathcal {N}}=1$ суперсимметрию можно разложить как

$\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+\theta \chi (x)+{\bar {\theta }}{\bar {\chi }}'(x)+{\bar {\theta }}\sigma ^{\mu }\theta V_{\mu }(x)+\theta ^{2}F(x)+{\bar {\theta }}^{2}{\bar {F}}'(x)+{\bar {\theta }}^{2}\theta \xi (x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\xi }}'(x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D(x)$,

где $\phi ,\chi ,{\bar {\chi }}',V_{\mu },F,{\bar {F}}',\xi ,{\bar {\xi }}',D$ это разные сложные поля. Это не неприводимый супермультиплет, поэтому для изоляции неприводимых представлений необходимы разные ограничения.

Хиральное суперполе

(Анти)хиральное суперполе — это супермультиплет $d=4,{\mathcal {N}}=1$ суперсимметрия.

В четырех измерениях минимальный ${\mathcal {N}}=1$ Суперсимметрию можно записать, используя понятие суперпространства . Суперпространство содержит обычные координаты пространства-времени. $x^{\mu }$, $\mu =0,\ldots ,3$и четыре дополнительные фермионные координаты $\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}$ с $\alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2$, преобразующийся как двухкомпонентный (вейлевский) спинор , так и его сопряженный.

В $d=4,{\mathcal {N}}=1$ Суперсимметрия , киральное суперполе — это функция над киральным суперпространством . Существует проекция из (полного) суперпространства в киральное суперпространство. Итак, функция над киральной Суперпространство можно вернуть обратно в полное суперпространство. Такая функция $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ удовлетворяет ковариантному ограничению ${\overline {D}}\Phi =0$, где ${\bar {D}}$ - ковариантная производная, заданная в индексных обозначениях как

${\bar {D}}_{\dot {\alpha }}=-{\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i\theta ^{\alpha }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\partial _{\mu }.$

Киральное суперполе $\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})$ затем может быть расширен как

$\Phi (y,\theta )=\phi (y)+{\sqrt {2}}\theta \psi (y)+\theta ^{2}F(y),$

где $y^{\mu }=x^{\mu }+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}$. Суперполе не зависит от «координат сопряженного спина». ${\bar {\theta }}$ в том смысле, что это зависит от ${\bar {\theta }}$ только через $y^{\mu }$. Это можно проверить ${\bar {D}}_{\dot {\alpha }}y^{\mu }=0.$

Расширение имеет такую ​​интерпретацию, что $\phi$ представляет собой комплексное скалярное поле, $\psi$ является спинором Вейля. Существует также вспомогательное комплексное скалярное поле $F$, по имени $F$ по соглашению: это F-термин , который играет важную роль в некоторых теориях.

Затем поле можно выразить через исходные координаты. $(x,\theta ,{\bar {\theta }})$ заменив выражение на $y$:

$\Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+{\sqrt {2}}\theta \psi (x)+\theta ^{2}F(x)+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\theta ^{2}\partial _{\mu }\psi (x)\sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}-{\frac {1}{4}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}\square \phi (x).$

Антихиральные суперполя

Точно так же существует также антикиральное суперпространство , которое является комплексно сопряженным киральному суперпространству, и антикиральные суперполя .

Антихиральное суперполе $\Phi ^{\dagger }$ удовлетворяет $D\Phi ^{\dagger }=0,$ где

$D_{\alpha }=\partial _{\alpha }+i\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}\partial _{\mu }.$

Антикиральное суперполе можно построить как комплексно-сопряженное киральное суперполе.

Действия от киральных суперполей

Чтобы узнать о действии, которое можно определить из одного кирального суперполя, см. Модель Весса – Зумино .

Векторное суперполе

Векторное суперполе представляет собой супермультиплет ${\mathcal {N}}=1$ суперсимметрия.

Векторное суперполе (также известное как вещественное суперполе) — это функция $V(x,\theta ,{\bar {\theta }})$ которое удовлетворяет условию реальности $V=V^{\dagger }$. Такое поле допускает расширение

$V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}A_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}+{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right).$

Составляющими полями являются

• Два действительных скалярных поля $C$ и $D$
• Комплексное скалярное поле $M+iN$
• Два спинорных поля Вейля $\chi _{\alpha }$ и $\lambda ^{\alpha }$
• Действительное векторное поле ( калибровочное поле ) $A_{\mu }$

Их трансформационные свойства и использование далее обсуждаются в суперсимметричной калибровочной теории .

Используя калибровочные преобразования, поля $C,\chi$ и $M+iN$ может быть установлен на ноль. Это известно как калибр Весса-Зумино . В этой калибровке разложение принимает гораздо более простой вид

$V_{\text{WZ}}=\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}A_{\mu }+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\lambda }}+{\bar {\theta }}^{2}\theta \lambda +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D.$

Затем $\lambda$ является суперпартнером ​ $A_{\mu }$, пока $D$ является вспомогательным скалярным полем. Его условно называют $D$и известен как D-термин .

Скаляры

Скаляр никогда не является высшим компонентом суперполя; появится ли он вообще в суперполе, зависит от размерности пространства-времени. Например, в 10-мерной теории N = 1 векторный мультиплет содержит только вектор и спинор Майораны – Вейля , а его размерная редукция на d-мерном торе представляет собой векторный мультиплет, содержащий d действительных скаляров. Аналогично, в 11-мерной теории существует только один супермультиплет с конечным числом полей — гравитационный мультиплет, и он не содержит скаляров. Однако его размерная редукция на d-торе к максимальному гравитационному мультиплету снова содержит скаляры.

Гипермультиплет

Гипермультиплет — это тип представления расширенной алгебры суперсимметрии , в частности, материальный мультиплет ${\mathcal {N}}=2$ суперсимметрия в 4 измерениях, содержащая два комплексных скаляра A _i Дирака , спинор ψ и еще два вспомогательных комплексных скаляра F _i .

Название «гипермультиплет» происходит от старого термина «гиперсимметрия» для N =2 суперсимметрии, использованного Файе (1976) ; от этого термина отказались, но для некоторых его представлений до сих пор используется название «гипермультиплет».

Расширенная суперсимметрия (N > 1)

В этом разделе описаны некоторые часто используемые неприводимые супермультиплеты в расширенной суперсимметрии. $d=4$ случай. Они построены с помощью конструкции представления с наибольшим весом в том смысле, что существует вакуумный вектор, аннулируемый суперзарядами. $Q^{A},A=1,\cdots ,{\mathcal {N}}$. Неповторимые имеют размерность $2^{\mathcal {N}}$. Для супермультиплетов, представляющих безмассовые частицы, по физическим соображениям максимально допустимый ${\mathcal {N}}$ является ${\mathcal {N}}=8$, а для перенормируемости максимально допустимый ${\mathcal {N}}$ является ${\mathcal {N}}=4$.

Н = 2

The ${\mathcal {N}}=2$ векторный или киральный мультиплет $\Psi$ содержит калибровочное поле $A_{\mu }$, два фермиона Вейля $\lambda ,\psi$и скаляр $\phi$ (которые также преобразуются в присоединенном представлении калибровочной группы ). Их также можно объединить в пару ${\mathcal {N}}=1$ мультиплеты, ${\mathcal {N}}=1$ векторный мультиплет $W=(A_{\mu },\lambda )$ и киральный мультиплет $\Phi =(\phi ,\psi )$. Такой мультиплет можно использовать для краткого определения теории Зайберга – Виттена .

The ${\mathcal {N}}=2$ гипермультиплет или скалярный мультиплет состоит из двух фермионов Вейля и двух комплексных скаляров, или двух ${\mathcal {N}}=1$ киральные мультиплеты.

Н = 4

The ${\mathcal {N}}=4$ векторный мультиплет содержит одно калибровочное поле, четыре фермиона Вейля, шесть скаляров и CPT- сопряженные элементы. Это появляется в N = 4 суперсимметричной теории Янга – Миллса .

См. также

• Суперсимметричная калибровочная теория
• D-термин
• F-термин

Ссылки

• Файе, П. (1976), «Гиперсимметрия Ферми-Бозе», Nuclear Physics B , 113 (1): 135–155, Бибкод : 1976NuPhB.113..135F , doi : 10.1016/0550-3213(76)90458-2 , МР   0416304
• Стивен П. Мартин. Учебник по суперсимметрии , arXiv:hep-ph/9709356 .
• Юдзи Тачикава. N=2 суперсимметричная динамика для пешеходов , arXiv:1312.2684 .
• Фигероа-О'Фаррил, Дж. М. (2001). «Бусстеппские лекции по суперсимметрии». arXiv : hep-th/0109172 .