Пространство Супер Минковского

В математике и физике или суперпространство Минковского суперпространство — Минковского это суперсимметричное расширение пространства Минковского , иногда используемое в качестве базового многообразия (или, скорее, супермногообразия ) для суперполей . На него действует супералгебра Пуанкаре .

Строительство

Абстрактная конструкция

Абстрактно, суперпространство Минковского — это пространство (правых) смежных классов внутри супергруппы Пуанкаре группы Лоренца , то есть

${\text{Super Minkowski space}}\cong {\frac {\text{Super Poincaré group}}{\text{Lorentz group}}}$.

Это аналогично тому, как обычное пространство-время Минковского можно отождествить с (правыми) смежными классами внутри группы Пуанкаре группы Лоренца, то есть:

${\text{Minkowski space}}\cong {\frac {\text{Poincaré group}}{\text{Lorentz group}}}$.

Пространство смежных классов естественным образом аффинно , а нильпотентное антикоммутационное поведение фермионных направлений естественным образом возникает из алгебры Клиффорда, связанной с группой Лоренца.

Построение прямой суммы

Для этого раздела размерность рассматриваемого пространства Минковского равна $d=4$.

Суперпространство Минковского может быть конкретно реализовано как прямая сумма пространства Минковского, имеющего координаты $x^{\mu }$, со «спиновым пространством». Размерность «спинового пространства» зависит от числа ${\mathcal {N}}$ суперзарядов в ассоциированной супералгебре Пуанкаре к рассматриваемому суперпространству Минковского. В простейшем случае ${\mathcal {N}}=1$, «пространство вращения» имеет «координаты вращения» $(\theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }})$ с $\alpha ,{\dot {\alpha }}=1,2$, где каждая компонента является числом Грассмана . Всего это образует 4 спиновые координаты.

Обозначение для ${\mathcal {N}}=1$ тогда суперпространство Минковского $\mathbb {R} ^{4|4}$.

Существуют теории, признающие ${\mathcal {N}}$ суперзаряды. Такие случаи имеют расширенную суперсимметрию . Для таких теорий суперпространство Минковского обозначается как $\mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}$, с координатами $(\theta _{\alpha }^{I},{\bar {\theta }}^{J{\dot {\alpha }}})$ с $I,J=1,\cdots ,{\mathcal {N}}$.

Определение

Базовое супермногообразие суперпространства Минковского изоморфно супервекторному пространству, заданному прямой суммой обычного пространства-времени Минковского в d измерениях (часто принимаемых равными 4) и числа ${\mathcal {N}}$ вещественных спинорных представлений алгебры Лоренца. (Когда $d\equiv 2\mod 4$ это немного двусмысленно, поскольку существует два разных представления реального спина, поэтому нужно заменить ${\mathcal {N}}$ парой целых чисел $({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})$, хотя некоторые авторы используют другое соглашение и принимают ${\mathcal {N}}$ копии обоих спиновых представлений.)

Однако эта конструкция вводит в заблуждение по двум причинам: во-первых, суперпространство Минковского на самом деле является аффинным пространством над группой, а не группой, или, другими словами, оно не имеет выделенного «происхождения», и, во-вторых, лежащая в основе супергруппа переводов не является супервекторное пространство, но является нильпотентной супергруппой нильпотентной длины 2.

Эта супергруппа имеет следующую супералгебру Ли . Предположим, что $M$ – пространство Минковского (размерности $d$), и $S$ является конечной суммой неприводимых вещественных спинорных представлений для $d$-мерное пространство Минковского.

Тогда существует инвариантное симметричное билинейное отображение $[\cdot ,\cdot ]:S\times S\rightarrow M$. Оно положительно определено в том смысле, что для любого $s$, элемент $[s,s]$ находится в замкнутом положительном конусе $M$, и $[s,s]\neq 0$ если $s\neq 0$. Это билинейное отображение уникально с точностью до изоморфизма.

Супералгебра Ли ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g_{0}}}\oplus {\mathfrak {g_{1}}}=M\oplus S$ имеет $M$ как его четная часть, и $S$ как его нечетная (фермионная) часть. Инвариантное билинейное отображение $[\cdot ,\cdot ]$ распространяется на всю супералгебру для определения (градуированной) скобки Ли $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$, где скобка Ли чего-либо в $M$ ни с чем — ноль.

Размеры неприводимого реального спинорного представления для различных измерений d пространства-времени приведены в таблице ниже.В таблице также показан тип структуры реальности спинорного представления и тип инвариантной билинейной формы спинорного представления.

Размерность пространства-времени, d	Реальная размерность спинорного представления (представлений)	Структура	Билинейная форма
1	1	Настоящий	Симметричный
2	1, 1	Настоящий	Два двойственных представления
3	2	Настоящий	Чередование
4	4	Комплекс (измерение 2)	Чередование
5	8	Кватернион (размер 2)	Симметричный
6	8, 8	Кватернион (размерность 2, 2)	Два двойственных представления
7	16	Кватернион (размер 4)	Чередование
8	16	Комплекс (размер 8)	Симметричный
9	16	Настоящий	Симметричный
10	16, 16	Настоящий	Два двойственных представления
11	32	Настоящий	Чередование
12	64	Комплекс (размер 32)	Чередование

Таблица повторяется всякий раз, когда размерность увеличивается на 8, за исключением того, что размерности представлений спина умножаются на 16.

Обозначения

В физической литературе суперпространство-время Минковского часто задается размером $d$ четной, бозонной части (размерность пространства-времени) и количество раз ${\mathcal {N}}$ что каждое неприводимое спинорное представление встречается в нечетной фермионной части. Этот ${\mathcal {N}}$ — число суперзарядов в ассоциированной супералгебре Пуанкаре с суперпространством Минковского.

В математике пространство-время Минковского иногда задается в форме M ^{м | н} или $\mathbb {R} ^{m|n}$ где m — размер четной части, а n — размер нечетной части. Это обозначение, используемое для $\mathbb {Z} _{2}$- градуированные векторные пространства . Обозначение может быть расширено, включив в него сигнатуру лежащего в основе пространства-времени, часто это так. $\mathbb {R} ^{1,d-1|n}$ если $m=d$.

Отношение следующее: целое число $d$ в физических обозначениях — это целое число $m$ в математической записи, а целое число $n$ в математических обозначениях $D$ умноженное на целое число ${\mathcal {N}}$ в физических обозначениях, где $D$ - это размерность (любого из) неприводимого вещественного спинорного представления (представлений). Например, $d=4,{\mathcal {N}}=1$ Пространство-время Минковского $\mathbb {R} ^{4|4}$. Тогда общее выражение $\mathbb {R} ^{p,q|D{\mathcal {N}}}$.

Когда $d\equiv 2\mod 4$, существуют два разных неприводимых действительных спинорных представления, и авторы используют разные соглашения. Используя прежние обозначения, если существуют ${\mathcal {N}}_{1}$ копии одного представления и ${\mathcal {N}}_{2}$ другого, затем определяя ${\mathcal {N}}={\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}$, справедливо предыдущее выражение.

В физике буква P используется в качестве основы четной бозонной части супералгебры Ли, а буква Q часто используется в качестве основы комплексификации нечетной фермионной части, поэтому, в частности, структурные константы супералгебры Ли могут быть сложным, а не реальным. Часто базисные элементы Q входят в комплексно-сопряженные пары, поэтому вещественное подпространство можно восстановить как фиксированные точки комплексного сопряжения.

Подпись (п, д)

Реальная размерность , связанная с фактором ${\mathcal {N}}$ или $({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2}}})$ можно найти для обобщенного пространства Минковского с размерностью $n$ и произвольная подпись $(p,q)$. Более ранняя тонкость, когда $d\equiv 2\mod 4$ вместо этого становится тонкостью, когда $p-q\equiv 0\mod 4$. В оставшейся части этого раздела подпись относится к разнице $p-q$.

Размерность зависит от структуры реальности в спиновом представлении. Это зависит от подписи $p-q$ по модулю 8, заданному по таблице

п - q мод 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Структура	$\mathbb {R} +\mathbb {R}$	$\mathbb {R}$	$\mathbb {C}$	$\mathbb {H}$	$\mathbb {H} +\mathbb {H}$	$\mathbb {H}$	$\mathbb {C}$	$\mathbb {R}$

Размер также зависит от $n$. Мы можем написать $n$ как либо $2m$ или $2m+1$, где $m:=\lfloor n/2\rfloor$. Определим спиновое представление $S$ быть представлением, построенным с использованием внешней алгебры некоторого векторного пространства, как описано здесь . Комплексное ​ измерение $S$ является $2^{m}$. Если сигнатура четная, то она распадается на два неприводимых полуспиновых представления. $S_{+}$ и $S_{-}$ размера $2^{m-1}$, а если подпись нечетная, то $S$ само по себе является неприводимым. Когда сигнатура четная, существует дополнительная тонкость: если сигнатура кратна 4, то эти представления полуспина неэквивалентны, в противном случае они эквивалентны.

Тогда, если подпись нечетная, ${\mathcal {N}}$ подсчитывает количество копий спинового представления $S$. Если подпись четная и не кратна 4, ${\mathcal {N}}$ подсчитывает количество копий полуспинового представления. Если подпись кратна 4, то $({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})$ подсчитывает количество копий каждого полуспинового представления.

Тогда, если структура реальности реальна, тогда комплексное измерение становится реальным измерением. С другой стороны, если структура реальности является кватернионной или сложной (эрмитовой), реальное измерение вдвое превышает комплексное измерение.

Реальное измерение, связанное с ${\mathcal {N}}$ или $({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N}}_{2})$ сведено в следующую таблицу:

п - q мод 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Реальное измерение $D$	$2^{m-1},2^{m-1}$	$2^{m}$	$2^{m}$	$2^{m+1}$	$2^{m},2^{m}$	$2^{m+1}$	$2^{m}$	$2^{m}$

Это позволяет вычислить размерность суперпространства с лежащим в его основе пространством-временем. $\mathbb {R} ^{p,q}$ с ${\mathcal {N}}$ сверхзаряды, или $({\mathcal {N}}_{1},{\mathcal {N_{2}}})$ суперзаряды, когда подпись кратна 4. Соответствующее супервекторное пространство $\mathbb {R} ^{p,q|{\mathcal {N}}D}$ с ${\mathcal {N}}={\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}$ где это уместно.

Ограничения по габаритам и наддувам

Теория высшего спина

Смотрите также: Теория высшего спина

Существует верхняя граница ${\mathcal {N}}$ (равный ${\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2}$ где это уместно). Проще говоря, существует верхняя граница размерности спинового пространства. $N={\mathcal {N}}D$ где $D$ - это размерность представления спина, если сигнатура нечетная, и размерность представления полуспина, если сигнатура четная. Граница $N=32$.

Эта граница возникает, когда любая теория имеет более $N=32$ суперзаряды автоматически имеют поля со спином (по абсолютному значению) больше 2. С математической точки зрения любое представление супералгебры содержит поля со спином больше 2. Теории, которые рассматривают такие поля, известны как теории с более высоким спином . В пространстве Минковского существуют непреодолимые теоремы, которые не позволяют таким теориям быть интересными.

Если не хотят рассматривать такие теории, это дает верхние оценки размерности и ${\mathcal {N}}$. Для лоренцевых пространств (с сигнатурой $(-,+,\cdots ,+)$), предел размерности равен $d<12$. Для обобщенных пространств Минковского произвольной сигнатуры верхняя размерность сильно зависит от сигнатуры, как подробно описано в предыдущем разделе .

Супергравитация

См. Также: Супергравитация

Большое количество суперзарядов $N$ также подразумевает локальную суперсимметрию. Если суперсимметрии являются калибровочными симметриями теории, то, поскольку суперзаряды могут использоваться для создания сдвигов, это означает, что бесконечно малые сдвиги являются калибровочными симметриями теории. Но они порождают локальные диффеоморфизмы , что является признаком гравитационных теорий. Таким образом, любая теория с локальной суперсимметрией обязательно является теорией супергравитации.

Ограничение, налагаемое на безмассовые представления, заключается в том, что поле с наивысшим спином должно иметь спин. $|h|\leq 1$, что устанавливает предел $N=16$ суперзаряды для теорий без супергравитации.

Суперсимметричные теории Янга-Миллса

Смотрите также: Суперсимметричная теория Янга – Миллса (значения)

Это теории, состоящие из калибровочного суперполя и спинорного суперполя. Для этого необходимо согласование степеней свободы. Если мы ограничим это обсуждение $d$-мерном лоренцевом пространстве степени свободы калибровочного поля равны $d-2$, а степень свободы спинора равна степени 2, что можно определить на основе информации, содержащейся в других разделах этой статьи. Это накладывает ограничения на суперпространства Минковского, которые могут поддерживать суперсимметричную теорию Янга-Миллса. Например, для ${\mathcal {N}}=1$, только $d=3,4,6$ или $10$ поддерживают теорию Янга-Миллса.

См. также

• Суперпространство
• Супервекторное пространство
• Супер-Алгебра Пуанкаре

Ссылки

• Делинь, Пьер ; Морган, Джон В. (1999), «Заметки о суперсимметрии (по следам Джозефа Бернштейна)», в Делинь, Пьер ; Этингоф, Павел; Фрид, Дэниел С.; Джеффри, Лиза С.; Каждан, Дэвид; Морган, Джон В.; Моррисон, Дэвид Р.; Виттен, Эдвард (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков, Том. 1 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 41–97, ISBN.  978-0-8218-1198-6 , МР   1701597