Козет

В математике , особенно теории групп , подгруппа $H$ группы называемые $G$ может использоваться для разложения основного набора G $в$ на непересекающиеся одинакового размера, подмножества смежными классами . Существуют левые и правые смежные классы . Классы смежности (как левый, так и правый) имеют то же количество элементов ( мощность что и $H.$ ) , Более того, $H$ сам по себе является одновременно левым и правым смежным классом. Количество левых классов класса $H$ в $G$ равно количеству правых классов класса $H$ в $G$ . Это общее значение называется индексом H $:$ в $G$ обозначается $[G и обычно H]$ .

Классы смежности — основной инструмент изучения групп; например, они играют центральную роль в теореме Лагранжа , которая утверждает, что для любой конечной группы $G$ количество элементов каждой подгруппы $H$ группы $G$ делит количество элементов $G$ . Смежные классы подгруппы определенного типа ( нормальной подгруппы ) могут использоваться как элементы другой группы, называемой факторгруппой или факторгруппой . Классы смежности также появляются в других областях математики, таких как векторные пространства и коды, исправляющие ошибки .

Определение [ править ]

Пусть $H$ — подгруппа группы $G$ , операция которой записана мультипликативно (сопоставление означает групповую операцию). Учитывая элемент $g$ из $G$ , левые смежные классы H $H$ в $G$ — это множества, полученные путем умножения каждого элемента $на$ фиксированный элемент $g$ из $G$ (где $g$ — левый множитель). В символах это:

gH = gh : h элемент H}

для

g

в

G.

{

Правые смежные классы определяются аналогично, за исключением того, что элемент $g$ теперь является правым множителем, т.е.

Hg = {hg : h элемент H}

для

g

в

G

.

Поскольку $g$ меняется в группе, может показаться, что будет создано много смежных классов (правых или левых). Тем не менее оказывается, что любые два левых смежных класса (соответственно правых) либо не пересекаются, либо тождественны как множества. ^[1]

Если групповая операция записывается аддитивно, как это часто бывает, когда группа абелева , используемые обозначения меняются на $g + H$ или $H + g$ соответственно.

Первый пример [ править ]

Пусть $G —$ группа диэдра шестого порядка . Его элементы могут быть представлены ${I, a, a 2, б, аб, а 2 б}$ . В этой группе $А 3 = б 2 = Я$ и $ба = а 2 б$ . Этой информации достаточно, чтобы заполнить всю таблицу Кэли :

∗	$я$	$а$	$а 2$	$б$	$аб$	$а 2 б$
$я$	$я$	$а$	$а 2$	$б$	$аб$	$а 2 б$
$а$	$а$	$а 2$	$я$	$аб$	$а 2 б$	$б$
$а 2$	$а 2$	$я$	$а$	$а 2 б$	$б$	$аб$
$б$	$б$	$а 2 б$	$аб$	$я$	$а 2$	$а$
$аб$	$аб$	$б$	$а 2 б$	$а$	$я$	$а 2$
$а 2 б$	$а 2 б$	$аб$	$б$	$а 2$	$а$	$я$

Пусть $T$ — подгруппа ${I, b}$ . (Отдельные) левые классы $T$ :

$IT знак равно Т знак равно {я, б}$ ,
$aT = {a, ab}$ и
$а 2 Т = {а 2, а 2 б}$ .

Поскольку все элементы $G$ теперь появились в одном из этих классов, последующая генерация не может дать новые классы; любой новый смежный класс должен иметь общий элемент с одним из них и, следовательно, быть идентичен одному из этих смежных классов. Например, $abT = {ab, a} = aT$ .

Правые смежные классы $T$ :

$ТИ = Т = {я, б}$ ,
$Та = {а, ба} = {а, а 2 группа $
$Облицовка 2 = {а 2, нет 2} = {а 2, аб}$ .

В этом примере, за исключением $T$ , ни один левый смежный класс не является также правым смежным классом.

Пусть $H$ — подгруппа ${I, a, a 2}$ . Левые классы класса $H$ : $IH = H$ и $bH = {b, ba, ba 2}$ . Правыми смежными классами $H$ являются $HI = H$ и $Hb = {b, ab, a 2 б} = {б, ба 2, ба}$ . В этом случае каждый левый смежный класс $H$ также является правым смежным классом $H$ . ^[2]

Пусть $H$ подгруппа группы $G$ и предположим $g1,$ , $g2 \in что G.$ — Следующие утверждения эквивалентны: ^[3]

$г 1 Ч = г 2 Ч$
$ртуть 1 -1 = ртуть 2 -1$
$г 1 Ч \subset г 2 Ч$
$г 2 \in г 1 Ч$
$г 1 -1 г 2 \in Н$

Свойства [ править ]

Дизъюнктность нетождественных смежных классов является результатом того, что если $x$ принадлежит $gH,$ то $gH = xH$ . Ведь если $x \in gH$ , то должно существовать a $\in H такое$ , что $ga = x$ . Таким образом, $xH знак равно (ga) ЧАС знак равно грамм (aH)$ . Более того, поскольку $H$ — группа, умножение слева на $a$ является биекцией и $aH = H$ .

Таким образом, каждый элемент группы $G$ принадлежит ровно одному левому смежному классу подгруппы $H$ , ^[1] и $H$ сам является левым смежным классом (и тем, который содержит единицу). ^[2]

Два элемента, находящиеся в одном левом смежном классе, также обеспечивают естественное отношение эквивалентности . Определите два элемента $G$ , $x$ и $y$ , чтобы они были эквивалентны по отношению к подгруппе $H,$ если $xH = yH$ (или, что то же самое, если $x -1 y$ принадлежит $H$ ). Классы эквивалентности этого отношения являются левыми смежными классами $H$ . ^[4]Как и любой набор классов эквивалентности, они образуют часть базового набора. Представитель смежного класса является представителем в смысле класса эквивалентности. Совокупность представителей всех смежных классов называется трансверсалью . В группе существуют и другие типы отношений эквивалентности, например сопряженность, которые образуют разные классы, не обладающие обсуждаемыми здесь свойствами.

Аналогичные утверждения применимы и к правым смежным классам.

Если $G$ — абелева группа , то $g + H = H + g$ для каждой подгруппы $H$ группы $G$ и каждого $g$ группы $G.$ элемента Для общих групп, учитывая элемент $g$ и подгруппу $H$ группы $G$ , правый смежный класс $H$ по $g$ также является левым смежным классом сопряженной подгруппы $g. -1 Hg$ относительно $g$ , то есть $Hg = g (g -1 Хг)$ .

Обычные подгруппы [ править ]

Подгруппа $N$ группы $G$ является нормальной подгруппой G $тогда и только тогда ,$ когда для всех элементов $g$ из $G$ соответствующие левые и правые смежные классы равны, то есть $gN = Ng$ . Так обстоит дело с подгруппой $H$ в первом примере выше. Более того, смежные классы $N$ в $G$ образуют группу, называемую факторгруппой или факторгруппой $G / N$ .

Если $H$ не является нормальным в $G$ , то его левые смежные классы отличаются от правых смежных классов. существует элемент $a$ То есть в $G$ такой, что ни один элемент $b$ не удовлетворяет условию $aH = Hb$ . Это означает, что разбиение $G$ на левые классы класса $H$ отличается от разделения $G$ на правые классы класса $H$ . Это иллюстрируется подгруппой $T$ в первом примере выше. ( Некоторые смежные классы могут совпадать. Например, если $a$ находится в центре G $,$ то $aH = Ha$ .)

С другой стороны, если подгруппа $N$ нормальна, множество всех смежных классов образует группу, называемую факторгруппой $G / N,$ с операцией $*,$ определяемой формулой $(aN) * (bN) = abN$ . Поскольку каждый правый смежный класс является левым, нет необходимости отличать «левые смежные классы» от «правых смежных классов».

Индекс подгруппы [ править ]

Каждый левый или правый смежный класс $H$ имеет то же количество элементов (или мощность в случае бесконечного H $)$ , что и $H.$ сам количество левых смежных классов равно количеству правых смежных классов и известно как индекс H в $:$ G , записываемый как $[G Кроме того , H]$ . Теорема Лагранжа позволяет вычислить индекс в случае, когда $G$ и $H$ конечны:

|G|=[G:H]|H|.

Это уравнение справедливо и в случае, когда группы бесконечны, хотя смысл может быть менее ясен.

Еще примеры [ править ]

Целые числа [ править ]

Пусть $G$ — аддитивная группа целых чисел, $Z = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ и $H —$ подгруппа $(3 Z, +) = ({ ..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}, +)$ . Тогда смежными классами $H$ в $G$ являются три множества $3 Z$ , $3 Z + 1$ и $3 Z + 2$ , где $3 Z + a = {..., -6 + a, -3 + a, a, 3 + а, 6 + а, ...}$ . Эти три множества разделяют множество $Z$ нет $, поэтому других правых смежных классов H$ . Ввиду коммутативности сложения $H + 1 = 1 + H$ и $H + 2 = 2 + H$ . То есть каждый левый смежный класс группы $H$ также является правым смежным классом, поэтому $H$ — нормальная подгруппа. ^[5] (То же рассуждение показывает, что каждая подгруппа абелевой группы нормальна. ^[6])

Этот пример можно обобщить. Снова пусть $G$ — аддитивная группа целых чисел, $Z = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ , и теперь пусть $H —$ подгруппа $(m Z, + ) = ({..., -2 m, - m, 0, m, 2 m, ...}, +)$ , где $m$ — целое положительное число. Тогда смежными классами $H$ в $G$ являются $m$ множеств $m Z$ , $m Z + 1$ , ..., $m Z + (m - 1)$ , где $m Z + a = {..., -2 m + a, - м + а, а, м + а, 2 м + а, ...}$ . Существует не более $m$ смежных классов, поскольку $m Z + m = m (Z + 1) = m Z$ . Смежный класс $(m Z + a, +)$ — это сравнения по $модулю$ m $.$ класс ^[7] Подгруппа $m Z$ нормальна в $Z$ , и поэтому ее можно использовать для формирования факторгруппы $Z / m Z$ группы целых чисел по модулю $m$ .

Векторы [ править ]

Другой пример смежного класса приходит из теории векторных пространств . Элементы (векторы) векторного пространства образуют абелеву группу при сложении векторов . Подпространства подгруппами векторного пространства являются . этой группы Для векторного пространства $V$ , подпространства $W$ и фиксированного вектора $a$ в $V$ множества

\{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}

называются аффинными подпространствами и являются смежными классами (как левыми, так и правыми, поскольку группа абелева). С точки зрения трехмерных геометрических векторов, эти аффинные подпространства представляют собой все «линии» или «плоскости», параллельные подпространству, которое представляет собой линию или плоскость, проходящие через начало координат. Например, рассмотрим плоскость

R 2

. Если

m

— прямая, проходящая через начало координат

O

, то

m

— подгруппа абелевой группы

R 2

. Если

P

находится в

R 2

, то смежный класс

P + m

— это прямая

m',

параллельная

m

и проходящая через

P

. ^[8]

Матрицы [ править ]

Пусть $G$ — мультипликативная группа матриц, ^[9]

G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},

и подгруппа

H

группы

G

,

H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.

Для фиксированного элемента группы

G

рассмотрим левый смежный класс

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}

То есть левые смежные классы состоят из всех матриц из

G

, имеющих один и тот же верхний левый элемент. Эта подгруппа

H

нормальна в

G

, но подгруппа

T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}

не является нормальным

G.

в

группового действия Как орбиты

Подгруппу $H$ группы $G$ можно использовать для определения действия H $.$ на $G$ двумя естественными способами Правое действие , $G \times H \to G$ , заданное $(g, h) \to gh$ , или левое действие , $H \times G \to G$ , заданное $(h, g) \to hg$ . Орбитой , а орбитой g $при$ при правом действии является левый смежный класс $gH$ левом действии является правый смежный класс $Hg$ . ^[10]

История [ править ]

Понятие смежного класса восходит к . работам Галуа 1830–1831 годов Он ввел обозначения, но не дал названия концепции. Термин «комножество», по-видимому, впервые появляется в 1910 г. в статье Г. А. Миллера в « Ежеквартальном журнале чистой и прикладной математики» (т. 41, с. 382). Использовались различные другие термины, включая немецкую Nebengruppen ( Вебер ) и группу сопряжений ( Бернсайд ). ^[11] (Обратите внимание, что Миллер сократил свое самоцитирование до Ежеквартального журнала математики ; это не относится к одноименному журналу , который начал публиковаться только в 1930 году.)

Галуа был озабочен вопросом, когда данное полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах . Инструмент, который он разработал, заключался в том, чтобы отметить, что подгруппа $H$ группы перестановок $G$ индуцирует два разложения $G$ (то, что мы теперь называем левым и правым смежными классами). Если эти разложения совпали, то есть если левые классы совпадают с правыми классами, то существовал способ свести проблему к работе над $H$ вместо $G$ . Камиль Жордан в своих комментариях к работам Галуа в 1865 и 1869 годах развил эти идеи и определил нормальные подгруппы, как мы это сделали выше, хотя он не использовал этот термин. ^[6]

Называя смежный класс $gH$ левым смежным классом g $по$ H $,$ хотя это наиболее распространено сегодня, ^[10]в прошлом не было универсально верным. Например, Холл (1959) назвал бы $gH$ , правым смежным классом подчеркивая, что подгруппа находится справа.

Приложение из теории кодирования [ править ]

Двоичный линейный код — это $n$ -мерное подпространство $C$ V $m$ -мерного векторного пространства $над$ двоичным полем $GF(2)$ . Поскольку $V$ — аддитивная абелева группа, $C$ — подгруппа этой группы. Коды можно использовать для исправления ошибок, которые могут возникнуть при передаче. Когда кодовое слово (элемент $C$ ) передается, некоторые из его битов могут быть изменены в процессе, и задача получателя состоит в том, чтобы определить наиболее вероятное кодовое слово, искаженное полученное слово с которого могло начаться . Эта процедура называется декодированием , и если при передаче допущено лишь несколько ошибок, ее можно эффективно выполнить с очень небольшим количеством ошибок. Один метод, используемый для декодирования, использует расположение элементов $V$ (полученное слово может быть любым элементом $V$ ) в стандартный массив . Стандартный массив представляет собой разложение смежных классов $V$ , определенным образом представленное в табличной форме. А именно, верхняя строка массива состоит из элементов $C$ , записанных в любом порядке, за исключением того, что нулевой вектор должен быть записан первым. Затем выбирается элемент $V$ с минимальным числом единиц, которого еще нет в верхней строке, и смежный класс $C$ , содержащий этот элемент, записывается как вторая строка (а именно, строка формируется путем взятия суммы этого элемента с каждым элементом $C$ непосредственно над ним). Этот элемент называется лидером смежного класса , и при его выборе может существовать некоторый выбор. Теперь процесс повторяется, новый вектор с минимальным количеством единиц, который еще не появился, выбирается в качестве нового лидера смежного класса, а содержащий его смежный класс $C$ является следующей строкой. Процесс заканчивается, когда все векторы $V$ рассортированы по смежным классам.

Пример стандартного массива для 2-мерного кода $C = {00000, 01101, 10110, 11011}$ в 5-мерном пространстве $V$ (с 32 векторами) выглядит следующим образом:

00000	01101	10110	11011
10000	11101	00110	01011
01000	00101	11110	10011
00100	01001	10010	11111
00010	01111	10100	11001
00001	01100	10111	11010
11000	10101	01110	00011
10001	11100	00111	01010

чтобы найти полученное слово в таблице и затем прибавить к нему лидера смежного класса той строки, в которой оно находится. Поскольку в двоичной арифметике сложение — это та же операция, что и вычитание, в результате всегда получается элемент $C.$ Процедура декодирования заключается в том , В случае, если ошибки передачи произошли именно в ненулевых позициях лидера смежного класса, результатом будет правильное кодовое слово. В этом примере при возникновении единичной ошибки метод всегда ее исправит, поскольку в массиве появляются все возможные лидеры смежных классов с единственной.

Декодирование синдромов можно использовать для повышения эффективности этого метода. Это метод вычисления правильного смежного класса (строки), в котором будет находиться полученное слово. Для $n$ -мерного кода $C$ в $m$ -мерном двоичном векторном пространстве матрица проверки четности представляет собой матрицу $m - n) \times m.$ ( $H,$ обладающий тем свойством, что $x H Т = 0$ тогда и только тогда, когда $x$ находится в $C$ . ^[12] Вектор $x H Т$ называется синдромом x $.$ , и по линейности каждый вектор в одном смежном классе будет иметь один и тот же синдром При декодировании поиск теперь сводится к поиску лидера смежного класса, имеющего тот же синдром, что и полученное слово. ^[13]

Двойные классы [ править ]

Учитывая две подгруппы, $H$ и $K$ (которые не обязательно должны быть различными) группы $G$ , двойные классы H $и$ K $в$ G $являются$ множествами вида $HgK = {hgk : h — элемент H, k — элемент K}$ . Это левые классы $K$ и правые классы $H$ , когда $H = 1$ и $K = 1$ соответственно. ^[14]

Два двойных класса $HxK$ и $HyK$ либо не пересекаются, либо совпадают. ^[15] Набор всех двойных смежных классов для фиксированных $H$ и $K$ образует разбиение $G$ .

Двойной класс $HxK$ содержит полные правые классы $H$ (в $G$ ) формы $Hxk$ , где $k$ элементом $K$ , и полные левые классы $K$ (в $G$ ) формы $hxK$ , с $h$ в $H.$ является ^[15]

Обозначения [ править ]

Пусть $G$ группа с подгруппами $H$ и $K.$ — Несколько авторов, работающих с этими наборами, разработали для своей работы специальную систему обозначений, где ^[16]^[17]

$G / H$ обозначает множество левых смежных ${gH : g в G}$ группы $H$ в $G.$ классов
$H \ G$ обозначает множество правых смежных ${Hg : g в G}$ группы $H$ в $G.$ классов
$K \ G / H$ обозначает набор двойных смежных классов ${KgH : g в G}$ для $H$ и $K$ в $G$ , иногда называемый пространством двойных смежных классов .
$G // H$ обозначает двойное смежное пространство $H \ G / H$ подгруппы $H$ в $G$ .

Больше приложений [ править ]

Классы $Q$ в $R$ используются при построении множеств Витали , типа неизмеримого множества .
Классы смежности занимают центральное место в определении передачи .
Классы смежности важны в вычислительной теории групп. Например, алгоритм Тистлтуэйта для решения кубика Рубика в значительной степени опирается на смежные классы.
В геометрии форма Клиффорда–Клейна — это двойное смежное пространство $Γ \ G / H$ , где $G$ — редуктивная группа Ли , $H$ — замкнутая подгруппа, а $Γ$ — дискретная подгруппа (группы $G$ ), которая действует надлежащим образом разрывно на однородной пространство $Г / Ч$ .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Ротман 2006 , с. 156
^ Перейти обратно: ^а ^б Дин 1990 , с. 100
^ «Косеты ААТА» . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. Проверено 9 декабря 2020 г.
^ Ротман 2006 , стр.155.
^ Фрэли 1994 , с. 117
^ Перейти обратно: ^а ^б Фрэли 1994 , с. 169
^ Джоши 1989 , с. 323
^ Ротман 2006 , с. 155
^ Бертон 1988 , стр. 128, 135.
^ Перейти обратно: ^а ^б Джейкобсон 2009 , с. 52
^ Миллер 2012 , с. 24 сноска
^ Матрица транспонирования используется для того, чтобы векторы можно было записать как векторы-строки.
^ Ротман 2006 , с. 423
^ Скотт 1987 , с. 19
^ Перейти обратно: ^а ^б Холл 1959 , стр. 14–15.
^ Зейтц, Гэри М. (1998), «Двойные смежные классы в алгебраических группах», в Картере, RW; Саксл, Дж. (ред.), Алгебраические группы и их представление , Springer, стр. 241–257, doi : 10.1007/978-94-011-5308-9_13 , ISBN 978-0-7923-5292-1
^ Дакворт, В. Итан (2004), «Бесконечность наборов двойных смежных классов в алгебраических группах», Journal of Algebra , 273 (2), Elsevier: 718–733, arXiv : math/0305256 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2003.08 .011 , S2CID 17839580

Ссылки [ править ]

Бертон, Дэвид М. (1988), Абстрактная алгебра , Wm. Издательство C. Brown, ISBN 0-697-06761-0
Дин, Ричард А. (1990), Классическая абстрактная алгебра , Харпер и Роу, ISBN 0-06-041601-7
Фрэли, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-53467-2
Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп , The Macmillan Company
Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Основная алгебра I (2-е изд.), Дувр, ISBN 978-0-486-47189-1
Джоши, К.Д. (1989), «§5.2 Классы подгрупп», Основы дискретной математики , New Age International, стр. 322 и далее, ISBN 81-224-0120-1
Миллер, Джорджия (2012) [1916], Теория и приложения конечных групп , Applewood Books, ISBN 9781458500700
Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-186267-8
Скотт, WR (1987), «§1.7 Классы смежности и индекс», Теория групп , Courier Dover Publications, стр. 19 и далее, ISBN 0-486-65377-3

Дальнейшее чтение [ править ]

Зассенхаус, Ханс Дж. (1999), «Подгруппы §1.4», Теория групп , Courier Dover Publications, стр. 10 и далее, ISBN 0-486-40922-8

Внешние ссылки [ править ]

Николас Брэй. «Козет» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Левый школьник» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Правильный Козет» . Математический мир .
Иванова, О.А. (2001) [1994], «Козет в группе» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Козет в PlanetMath .
Иллюстрированные примеры
«Козет» . групповой реквизит . Вики-страница свойств группы.

[Rotman2006-1] Перейти обратно: ^а ^б Ротман 2006 , с. 156

[Dean-2] Перейти обратно: ^а ^б Дин 1990 , с. 100

[3] «Косеты ААТА» . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. Проверено 9 декабря 2020 г.

[4] Ротман 2006 , стр.155.

[5] Фрэли 1994 , с. 117

[Fraleigh-6] Перейти обратно: ^а ^б Фрэли 1994 , с. 169

[7] Джоши 1989 , с. 323

[8] Ротман 2006 , с. 155

[9] Бертон 1988 , стр. 128, 135.

[Jacobson-10] Перейти обратно: ^а ^б Джейкобсон 2009 , с. 52

[11] Миллер 2012 , с. 24 сноска

[12] Матрица транспонирования используется для того, чтобы векторы можно было записать как векторы-строки.

[13] Ротман 2006 , с. 423

[14] Скотт 1987 , с. 19

[Hall-15] Перейти обратно: ^а ^б Холл 1959 , стр. 14–15.

[16] Зейтц, Гэри М. (1998), «Двойные смежные классы в алгебраических группах», в Картере, RW; Саксл, Дж. (ред.), Алгебраические группы и их представление , Springer, стр. 241–257, doi : 10.1007/978-94-011-5308-9_13 , ISBN 978-0-7923-5292-1

[17] Дакворт, В. Итан (2004), «Бесконечность наборов двойных смежных классов в алгебраических группах», Journal of Algebra , 273 (2), Elsevier: 718–733, arXiv : math/0305256 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2003.08 .011 , S2CID 17839580

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]