Трансфер (теория групп)

математической области теории групп перенос В определяет для группы G и подгруппы H конечного индекса групповой гомоморфизм из G в абелианизацию H данной . Его можно использовать в сочетании с теоремами Силова для получения некоторых численных результатов о существовании конечных простых групп.

Передача была определена Иссаем Шуром ( 1902 ) и заново открыта Эмилем Артином ( 1929 ).

Строительство

Построение карты происходит следующим образом: Пусть [ G : H ] = n и выберите смежных классов представителей , скажем

$x_{1},\dots ,x_{n},\,$

для H в G , поэтому G можно записать как дизъюнктное объединение

$G=\bigcup \ x_{i}H.$

Учитывая y в G , каждый yx _i находится в некотором смежном классе x _j H , и поэтому

$yx_{i}=x_{j}h_{i}$

для некоторого индекса j и некоторого элемента h _i из H . Значение трансфера для y определяется как изображение продукта.

$\textstyle \prod _{i=1}^{n}h_{i}$

в H / H ′, где H ′ — коммутант группы H . Порядок факторов не имеет значения, поскольку H / H ′ абелева.

Несложно показать , что, хотя индивидуальный hi _{зависит от выбора представителей смежных классов ,} ценность трансфера не зависит. Также несложно показать, что определенное таким образом отображение является гомоморфизмом.

Пример

Если G циклический, то при передаче любой элемент y из G переносится в y. ^{[ Г : Ч ]} .

Простой случай виден в лемме Гаусса о квадратичных вычетах , которая фактически вычисляет перенос для мультипликативной группы ненулевых классов вычетов по модулю простого числа p относительно подгруппы {1, −1}. Одним из преимуществ такого подхода является легкость, с которой можно найти правильное обобщение, например, для кубических вычетов в случае, когда p - 1 делится на три.

Гомологическая интерпретация

Этот гомоморфизм может быть установлен в контексте гомологии групп . В общем случае для любой подгруппы H группы G и любого G -модуля A существует коограничивающее отображение групп гомологий. $\mathrm {Cor} :H_{n}(H,A)\to H_{n}(G,A)$ индуцированное отображением включения $i:H\to G$, но если мы имеем, что H имеет конечный индекс в G , существуют также отображения ограничений $\mathrm {Res} :H_{n}(G,A)\to H_{n}(H,A)$. В случае n = 1 и $A=\mathbb {Z}$ с тривиальной структурой G -модуля мы имеем отображение $\mathrm {Res} :H_{1}(G,\mathbb {Z} )\to H_{1}(H,\mathbb {Z} )$. отмечая, что $H_{1}(G,\mathbb {Z} )$ может быть отождествлен с $G/G'$ где $G'$ — подгруппа коммутатора, это дает карту переноса через $G\xrightarrow {\pi } G/G'\xrightarrow {\mathrm {Res} } H/H'$, с $\pi$ обозначающий естественную проекцию. Перенос также наблюдается в алгебраической топологии , когда он определяется между классифицирующими пространствами групп.

Терминология

Название трансфера переводится как немецкое Verlagerung , которое было придумано Гельмутом Хассе .

Подгруппа коммутатора

Если G конечно порождена, подгруппа G ' группы G имеет конечный индекс в G и H=G ', то соответствующее трансфер-отображение тривиально. Другими словами, отображение переводит G в 0 при абелианизации G ′. Это важно при доказательстве основной теоремы об идеале в теории полей классов . См. заметки Эмиля Артина и Джона Тейта по теории поля классов .

См. также

• Теорема о фокальной подгруппе , важное применение переноса
• Согласно закону взаимности Артина, перенос Артина описывает принципализацию идеальных классов в расширениях полей алгебраических чисел.

Ссылки

• Артин, Эмиль (1929), «Идеальные классы верхней части тела и общий закон взаимности», Статьи математического семинара Гамбургского университета , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159 , S2CID   121475651
• Шур, Иссаи (1902), «Новое доказательство теоремы о конечных группах», Труды Королевской прусской академии наук : 1013–1019, JFM   33.0146.01
• Скотт, WR (1987) [1964]. Теория групп . Дувр. стр. 60 и далее. ISBN  0-486-65377-3 . Збл   0641.20001 .
• Серр, Жан-Пьер (1979). Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 67. Перевод Гринберга, Марвин Джей . Спрингер-Верлаг . стр. 120–122. ISBN  0-387-90424-7 . Збл   0423.12016 .