Суперсимметричная калибровочная теория

В теоретической физике существует множество теорий с суперсимметрией (SUSY), которые также обладают внутренней калибровочной симметрией . Суперсимметричная калибровочная теория обобщает это понятие.

Калибровочная теория

Калибровочная теория — это теория поля с калибровочной симметрией. Грубо говоря, существует два типа симметрии: глобальная и локальная. Глобальная симметрия — это симметрия, равномерно (в некотором смысле) применяемая к каждой точке многообразия . Локальная симметрия — это симметрия, зависящая от положения. Калибровочная симметрия является примером локальной симметрии, симметрия которой описывается группой Ли (которая математически описывает непрерывные симметрии), которая в контексте калибровочной теории называется калибровочной группой теории.

Квантовая хромодинамика и квантовая электродинамика являются известными примерами калибровочных теорий.

Суперсимметрия

В физике элементарных частиц существуют частицы с двумя типами статистики частиц : бозоны и фермионы . Бозоны имеют целочисленные значения спина и характеризуются способностью иметь любое количество идентичных бозонов, занимающих одну точку пространства. Таким образом, они отождествляются с силами . Фермионы имеют полуцелые значения спина, и по принципу Паули идентичные фермионы не могут занимать одну позицию в пространстве-времени. Бозонные и фермионные поля интерпретируются как материя . Таким образом, суперсимметрия считается сильным кандидатом на объединение излучения (бозонных сил) и материи.

Это объединение задается оператором $Q$ (или, как правило, множество операторов), известный как генератор суперзаряда или суперсимметрии, который схематически действует как

$Q|{\text{boson}}\rangle =|{\text{fermion}}\rangle$
$Q|{\text{fermion}}\rangle =|{\text{boson}}\rangle$

Например, генератор суперсимметрии может принять фотон в качестве аргумента и преобразовать его в фотоно и наоборот. Это происходит посредством трансляции в пространстве (параметров). Это суперпространство представляет собой ${\mathbb {Z} _{2}}$- градуированное векторное пространство ${\mathcal {W}}={\mathcal {W}}^{0}\oplus {\mathcal {W}}^{1}$, где ${\mathcal {W}}^{0}$ является бозонным гильбертовым пространством и ${\mathcal {W}}^{1}$ представляет собой фермионное гильбертово пространство.

Калибровочная теория SUSY

Мотивацией для суперсимметричной версии калибровочной теории может быть тот факт, что калибровочная инвариантность согласуется с суперсимметрией. Первые примеры были обнаружены Бруно Зумино и Серджио Феррарой , а также независимо Абдусом Саламом и Джеймсом Стратди в 1974 году.

Калибровочными частицами могут стать как полуцелые спин-фермионы, так и целочисленные спин-бозоны. Калибровочные векторные поля и их спинорные суперпартнеры могут находиться в одном и том же представлении внутренней группы симметрии.

Предположим, у нас есть $U(1)$ калибровочное преобразование $V_{\mu }\rightarrow V_{\mu }+\partial _{\mu }A$, где $V_{\mu }$ является векторным полем и $A$ – калибровочная функция. Основная трудность в построении калибровочной теории SUSY состоит в том, чтобы расширить описанное выше преобразование таким образом, чтобы оно согласовывалось с преобразованиями SUSY.

Калибровка Весса – Зумино (рецепт фиксации суперсимметричной калибровки ) обеспечивает успешное решение этой проблемы. Как только такая подходящая калибровка получена, динамика калибровочной теории SUSY работает следующим образом: мы ищем лагранжиан, инвариантный относительно суперкалибровочных преобразований (эти преобразования являются важным инструментом, необходимым для разработки суперсимметричной версии калибровочной теории). Тогда мы можем проинтегрировать лагранжиан, используя правила интегрирования Березина , и таким образом получить действие. Что в дальнейшем приводит к уравнениям движения и, следовательно, может обеспечить полный анализ динамики теории.

N = 1 SUSY в 4D (с 4 реальными генераторами)

Основная статья: 4D N = 1 глобальная суперсимметрия

В четырех измерениях минимальная суперсимметрия N = 1 может быть записана с использованием суперпространства . Это суперпространство включает в себя четыре дополнительные фермионные координаты. $\theta ^{1},\theta ^{2},{\bar {\theta }}^{1},{\bar {\theta }}^{2}$, преобразующийся как двухкомпонентный спинор и его сопряженный.

Каждое суперполе, т. е. поле, зависящее от всех координат суперпространства, может быть расширено по новым фермионным координатам. Существует особый вид суперполей, так называемые киральные суперполя , которые зависят только от переменных θ , но не от их сопряженных (точнее, ${\overline {D}}f=0$). Однако векторное суперполе зависит от всех координат. Оно описывает калибровочное поле и его суперпартнера , а именно фермион Вейля , подчиняющийся уравнению Дирака .

$V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}v_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right)$

V является векторным суперполем ( препотенциалом ) и вещественным ( V = V ). Поля справа являются полями компонентов.

Калибровочные преобразования действуют как

$V\to V+\Lambda +{\overline {\Lambda }}$

где Λ — любое киральное суперполе.

Легко проверить, что киральное суперполе

$W_{\alpha }\equiv -{\tfrac {1}{4}}{\overline {D}}^{2}D_{\alpha }V$

является калибровочным инвариантом. Так же как и его комплексное сопряжение ${\overline {W}}_{\dot {\alpha }}$.

несуперсимметричная ковариантная калибровка Часто используемая — это калибровка Весса – Зумино . Здесь C, χ, M и N установлены равными нулю. Остаточные калибровочные симметрии представляют собой калибровочные преобразования традиционного бозонного типа.

Киральное суперполе X с зарядом q преобразуется как

$X\to e^{q\Lambda }X,\qquad {\overline {X}}\to e^{q{\overline {\Lambda }}}X$

Поэтому X e ^{− qВ} X является калибровочным инвариантом. Здесь е ^{− qВ} называется мостом , поскольку он «соединяет» поле, которое преобразуется только под действием Λ , с полем, которое преобразуется только под действием Λ .

В более общем смысле, если у нас есть вещественная калибровочная группа G , которую мы хотим суперсимметризировать, нам сначала нужно комплексифицировать ее до G ^с ⋅ и ^{− qВ} затем действует компенсатор сложных калибровочных преобразований, фактически поглощая их, оставляя только действительные части. Именно это и происходит в калибровке Весса-Зумино.

Дифференциальные суперформы

Давайте перефразируем все, чтобы оно больше походило на традиционную калибровочную теорию Янга – Миллса . У нас есть калибровочная симметрия U (1), действующая на полное суперпространство с 1-суперформной калибровочной связностью A. В аналитическом базисе касательного пространства ковариантная производная задается выражением $D_{M}=d_{M}+iqA_{M}$. Условия интегрируемости киральных суперполей с киральным ограничением

${\overline {D}}_{\dot {\alpha }}X=0$

оставь нас с

$\left\{{\overline {D}}_{\dot {\alpha }},{\overline {D}}_{\dot {\beta }}\right\}=F_{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}=0.$

Аналогичное ограничение для антикиральных суперполей оставляет нам F _αβ = 0 . Это означает, что мы можем либо оценить исправление $A_{\dot {\alpha }}=0$ или A _α = 0 , но не то и другое одновременно. Назовите две разные схемы крепления манометра I и II соответственно. В калибре I, ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}X=0$ а в калибровке II d _α X = 0 . Хитрость заключается в том, чтобы одновременно использовать два разных датчика; калибровка I для киральных суперполей и калибровка II для антикиральных суперполей. Чтобы соединить две разные шкалы, нам нужно калибровочное преобразование. Назови это е ^{− V} (по соглашению). Если бы мы использовали одну калибровку для всех полей, X X был бы калибровочно-инвариантным. Однако нам нужно преобразовать датчик I в датчик II, преобразуя X в ( e ^{− V} ) ^д Х. ​Итак, калибровочно-инвариантная величина равна X e ^{− qВ} Х. ​

В калибре I у нас все еще есть остаточный калибр e. ^л где ${\overline {d}}_{\dot {\alpha }}\Lambda =0$ а в калибровке II имеем остаточную калибровку e ^л удовлетворяющее d _α Λ знак равно 0 . Под остаточными колеями мост трансформируется как

$e^{-V}\to e^{-{\overline {\Lambda }}-V-\Lambda }.$

Без каких-либо дополнительных ограничений мост e ^{− V} не даст всей информации о калибровочном поле. Однако при наличии дополнительного ограничения $F_{{\dot {\alpha }}\beta }$, существует только одно уникальное калибровочное поле, совместимое с калибровочными преобразованиями моста по модулю. Теперь мост дает точно такой же информационный контент, как и поле датчика.

Теории с 8 или более генераторами SUSY ( N > 1 )

В теориях с более высокой суперсимметрией (и, возможно, более высокой размерностью) векторное суперполе обычно описывает не только калибровочное поле и фермион Вейля, но и по крайней мере одно комплексное скалярное поле .

Примеры

Чистые суперсимметричные калибровочные теории

• N = 1 Супер Ян – Миллс
• N = 2 Супер Ян – Миллса
• N = 4 Супер Ян – Миллса

Суперсимметричные калибровочные теории с материей

• Супер КХД
• MSSM (минимальная суперсимметричная стандартная модель)
• NMSSM (Ближайшая к минимальной суперсимметричная Стандартная модель)

См. также

• суперпотенциал
• D-термин
• F-термин
• текущее суперполе
• Суперсимметричная квантовая механика

Ссылки

• Стивен П. Мартин. Учебник по суперсимметрии , arXiv : hep-ph/9709356 .
• Пракаш, Нирмала. Математический взгляд на теоретическую физику: путешествие от черных дыр к суперструнам , World Scientific (2003).
• Кулшрешта, Д.С.; Мюллер-Кирстен, HJW (1991). «Квантование систем с ограничениями: метод Фаддеева-Джеки в сравнении с методом Дирака, примененным к суперполям». Физический обзор D . Физ. Ред. Д43, 3376-3383. 43 (10): 3376–3383. Бибкод : 1991PhRvD..43.3376K . дои : 10.1103/PhysRevD.43.3376 .