Оператор (физика)

Оператор — это функция из пространства физических состояний в другое пространство состояний. Простейшим примером полезности операторов является изучение симметрии (что делает понятие группы полезным в этом контексте). Благодаря этому они являются полезными инструментами в классической механике . Операторы еще более важны в квантовой механике , где они составляют неотъемлемую часть формулировки теории.

Операторы в классической механике

В классической механике движение частицы (или системы частиц) полностью определяется лагранжианом $L(q,{\dot {q}},t)$ или, что то же самое, гамильтониан $H(q,p,t)$ , функция обобщенных координат q , обобщенных скоростей ${\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t$ ему и сопряженные импульсы :

p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}

Если L или H не зависят от обобщенной координаты q , то это означает, что L и H не меняются при изменении q , что, в свою очередь, означает, что динамика частицы остается той же самой, даже когда q изменяется, соответствующие импульсы сопряжены с теми, координаты сохранятся (это часть теоремы Нётер , а инвариантность движения относительно координаты q является симметрией ). С этими симметриями связаны операторы классической механики.

Говоря более технически, когда H инвариантен относительно действия определенной группы преобразований G :

S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)

.

Элементами G являются физические операторы, которые отображают между собой физические состояния.

Таблица операторов классической механики

Трансформация	Оператор	Позиция	Импульс
Трансляционная симметрия	$X(\mathbf {a} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {a}$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p}$
Симметрия перевода времени	$U(t_{0})$	$\mathbf {r} (t)\rightarrow \mathbf {r} (t+t_{0})$	$\mathbf {p} (t)\rightarrow \mathbf {p} (t+t_{0})$
Вращательная инвариантность	$R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )$	$\mathbf {r} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow R(\mathbf {\hat {n}} ,\theta )\mathbf {p}$
Преобразования Галилея	$G(\mathbf {v} )$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} +\mathbf {v} t$	$\mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} +m\mathbf {v}$
Паритет	$P$	$\mathbf {r} \rightarrow -\mathbf {r}$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p}$
Т-симметрия	$T$	$\mathbf {r} \rightarrow \mathbf {r} (-t)$	$\mathbf {p} \rightarrow -\mathbf {p} (-t)$

где $R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )$ - матрица вращения вокруг оси, определяемой единичным вектором ${\hat {\boldsymbol {n}}}$ и угол θ .

Генераторы

Если преобразование бесконечно мало , действие оператора должно иметь вид

I+\epsilon A,

где $I$ является идентификационным оператором, $\epsilon$ является параметром с небольшим значением, и $A$ будет зависеть от текущего преобразования и называется генератором группы . Опять же, в качестве простого примера, мы выведем генератор пространственных сдвигов для 1D-функций.

Как было заявлено, $T_{a}f(x)=f(x-a)$ . Если $a=\epsilon$ бесконечно мало, то мы можем написать

T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).

Эту формулу можно переписать как

T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)

где $D$ является генератором группы трансляции, которая в данном случае является оператором производной . Таким образом, говорят, что генератор переводов является производной.

Экспоненциальная карта

Вся группа может быть восстановлена при нормальных обстоятельствах из генераторов с помощью экспоненциального отображения . В случае с переводами идея работает следующим образом.

Перевод для конечного значения $a$ может быть получено повторным применением бесконечно малого перевода:

T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)

с $\cdots$ стою за заявку $N$ раз. Если $N$ велика, то каждый из факторов можно считать бесконечно малым:

T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).

Но этот предел можно переписать в экспоненциальном виде:

T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).

Чтобы убедиться в справедливости этого формального выражения, мы можем разложить экспоненту в степенной ряд :

T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).

Правую часть можно переписать как

f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots

что представляет собой просто расширение Тейлора $f(x-a)$ , что было нашим первоначальным значением для $T_{a}f(x)$ .

Математические свойства физических операторов сами по себе представляют собой очень важную тему. Дополнительную информацию см. в C*-алгебре и теореме Гельфанда – Наймарка .

Операторы в квантовой механике

Математическая формулировка квантовой механики (КМ) построена на концепции оператора.

Физические чистые состояния в квантовой механике представляются в виде векторов единичной нормы (вероятности нормированы на единицу) в специальном комплексном гильбертовом пространстве . Эволюция времени в этом векторном пространстве задается применением оператора эволюции .

Любая наблюдаемая , т. е. любая величина, которую можно измерить в физическом эксперименте, должна быть сопоставлена с самосопряженным линейным оператором . Операторы должны выдавать реальные собственные значения , поскольку это значения, которые могут возникнуть в результате эксперимента. Математически это означает, что операторы должны быть эрмитовыми . ^[1] Вероятность каждого собственного значения связана с проекцией физического состояния на подпространство, связанное с этим собственным значением. Ниже приведены математические подробности об эрмитовых операторах.

В волновой механики формулировке КМ см. в пространстве положения и импульса волновая функция меняется в зависимости от пространства и времени или, что эквивалентно, импульса и времени ( подробности ), поэтому наблюдаемые величины являются дифференциальными операторами .

В матричной механики формулировке норма физического состояния должна оставаться фиксированной, поэтому оператор эволюции должен быть унитарным , а операторы могут быть представлены в виде матриц. Любая другая симметрия, отображающая одно физическое состояние в другое, должна сохранять это ограничение.

Волновая функция

Волновая функция должна быть интегрируемой с квадратом (см. L ^п пробелы ), что означает:

\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty

и нормируемый, так что:

\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1

Два случая собственных состояний (и собственных значений):

для дискретных собственных состояний $|\psi _{i}\rangle$ образуя дискретный базис, поэтому любое состояние представляет собой сумму $|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle$ где c _i — комплексные числа такие, что | с _я | ² = с _я^*c _i — вероятность измерения состояния $|\phi _{i}\rangle$ , и соответствующий набор собственных значений a _i также дискретен — либо конечен , либо счетен . В этом случае внутренний продукт двух собственных состояний определяется выражением $\langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}$ , где $\delta _{mn}$ обозначает дельту Кронекера . Однако,
для континуума собственных состояний $|\psi _{i}\rangle$ образуя непрерывную основу, любое государство является целостным $|\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle$ где c ( φ ) — комплексная функция такая, что | с (φ)| ² = с (φ) ^*c (φ) — вероятность измерения состояния $|\phi \rangle$ , и существует несчетное множество собственных значений a . В этом случае внутренний продукт двух собственных состояний определяется как $\langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')$ , где здесь $\delta (x-y)$ обозначает дельту Дирака .

Линейные операторы в волновой механике

Пусть $ψ$ — волновая функция квантовой системы и ${\hat {A}}$ быть любым линейным оператором для некоторой наблюдаемой $A$ (например, положения, импульса, энергии, углового момента и т. д.). Если $ψ$ — собственная функция оператора ${\hat {A}}$ , затем

{\hat {A}}\psi =a\psi ,

где $a$ — собственное значение оператора, соответствующее измеренному значению наблюдаемой, т.е. наблюдаемая $A$ имеет измеренное значение $a$ .

Если $ψ$ — собственная функция данного оператора ${\hat {A}}$ , то определенная величина (собственное значение $a$ ) будет наблюдаться, если измерение наблюдаемой $A$ производится в состоянии $ψ$ . Обратно, если $ψ$ не является собственной функцией ${\hat {A}}$ , то он не имеет собственного значения для ${\hat {A}}$ , и наблюдаемая в этом случае не имеет ни одного определенного значения. Вместо этого измерения наблюдаемой $A$ будут давать каждое собственное значение с определенной вероятностью (связанной с разложением $ψ$ относительно ортонормированного собственного базиса ${\hat {A}}$ ).

В обозначениях бра-кет можно записать вышеизложенное;

{\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}

которые равны, если $\left|\psi \right\rangle$ является собственным вектором или собственной кеткой наблюдаемой $A$ .

Благодаря линейности векторы могут быть определены в любом количестве измерений, поскольку каждый компонент вектора действует на функцию отдельно. Одним из математических примеров является оператор del , который сам по себе является вектором (полезен в квантовых операторах, связанных с импульсом, в таблице ниже).

Оператор в n -мерном пространстве можно записать:

\mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}

где e _j — базисные векторы, соответствующие каждому компонентному оператору A _j . Каждый компонент будет давать соответствующее собственное значение. $a_{j}$ . Действуя таким образом на волновую функцию $ψ$ :

\mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)

в котором мы использовали ${\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .$

В обозначениях бра-кет:

{\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}

Коммутация операторов на Ψ

Если две наблюдаемые A и B имеют линейные операторы ${\hat {A}}$ и ${\hat {B}}$ , коммутатор определяется формулой,

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}

Коммутатор сам по себе является (составным) оператором. Воздействие коммутатора на ψ дает:

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .

Если ψ — собственная функция с собственными значениями a и b для наблюдаемых A и B соответственно, и если операторы коммутируют:

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,

тогда наблюдаемые A и B могут быть измерены одновременно с бесконечной точностью, т. е. неопределенности $\Delta A=0$ , $\Delta B=0$ одновременно. Тогда говорят, что ψ является одновременной собственной функцией A и B. Чтобы проиллюстрировать это:

{\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}

Это показывает, что измерение A и B не вызывает какого-либо сдвига состояния, т. е. начальное и конечное состояния одинаковы (нет возмущений из-за измерения). Предположим, мы измеряем А, чтобы получить значение а. Затем мы измеряем B, чтобы получить значение b. Измеряем А еще раз. Мы по-прежнему получаем то же значение a. Очевидно, что состояние ( ψ ) системы не разрушается, и поэтому мы можем измерять A и B одновременно с бесконечной точностью.

Если операторы не ездят на работу:

\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,

существует соотношение неопределенности они не могут быть подготовлены одновременно с произвольной точностью, и между наблюдаемыми

\Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|

даже если ψ является собственной функцией, приведенное выше соотношение выполняется. Известные пары - это соотношения неопределенности положения и импульса, энергии и времени, а также угловые моменты (спиновые, орбитальные и полные) вокруг любых двух ортогональных осей (таких как L _x и L _y или s _y и s _z и т. д.) . .). ^[2]

Ожидаемые значения операторов на Ψ

Ожидаемое значение (эквивалентно среднему или среднему значению) — это среднее измерение наблюдаемой частицы в R. области Ожидаемое значение $\left\langle {\hat {A}}\right\rangle$ оператора ${\hat {A}}$ рассчитывается из: ^[3]

\left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .

Это можно обобщить на любую функцию F оператора:

\left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,

Примером F является 2-кратное действие A на ψ , т.е. возведение оператора в квадрат или выполнение его дважды:

{\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!

Эрмитовы операторы

Определение эрмитова оператора : ^[1]

{\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }

Отсюда в обозначениях бра-кет:

\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.

Важные свойства эрмитовых операторов включают в себя:

действительные собственные значения,
собственные векторы с разными собственными значениями ортогональны ,
собственные векторы могут быть выбраны как полный ортонормированный базис ,

Операторы в матричной механике

Оператор можно записать в матричной форме для отображения одного базисного вектора в другой. Поскольку операторы линейны, матрица представляет собой линейное преобразование (также известное как матрица перехода) между базами. Каждый базовый элемент $\phi _{j}$ может быть подключен к другому, ^[3] по выражению:

A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,

который является матричным элементом:

{\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}

Еще одним свойством эрмитова оператора является то, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. ^[1] В матричной форме операторы позволяют находить действительные собственные значения, соответствующие измерениям. Ортогональность позволяет подходящему базисному набору векторов представлять состояние квантовой системы. Собственные значения оператора также вычисляются так же, как и для квадратной матрицы, путем решения характеристического полинома :

\det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,

где I — n × n единичная матрица размера , как оператор она соответствует единичному оператору. Для дискретной основы:

{\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|

а на постоянной основе:

{\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi

Обратный оператор

Несингулярный оператор ${\hat {A}}$ имеет обратную ${\hat {A}}^{-1}$ определяется:

{\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}

Если оператор не имеет обратного, то это сингулярный оператор. В конечномерном пространстве оператор неособен тогда и только тогда, когда его определитель отличен от нуля:

\det \left({\hat {A}}\right)\neq 0

и, следовательно, определитель сингулярного оператора равен нулю.

Таблица операторов QM

Операторы, используемые в квантовой механике, собраны в таблице ниже (см., например, ^[1]^[4]). Векторы, выделенные жирным шрифтом с циркумфлексами, не являются единичными векторами , это 3-векторные операторы; все три пространственных компонента вместе взятые.

Оператор (общее имя/имена)	Декартова составляющая	Общее определение	И объединились	Измерение
Позиция	${\begin{aligned}{\hat {x}}&=x,&{\hat {y}}&=y,&{\hat {z}}&=z\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {r} \,\!$	м	[Л]
Импульс	Общий ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},&{\hat {p}}_{y}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},&{\hat {p}}_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\end{aligned}}$	Общий $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!$	Дж см ⁻¹ = Н с	[М] [Л] [Т] ⁻¹
Импульс	Электромагнитное поле ${\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\\{\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\\{\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\end{aligned}}$	Электромагнитное поле (использует кинетический момент ; A , векторный потенциал) ${\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} &=\mathbf {\hat {P}} -q\mathbf {A} \\&=-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \\\end{aligned}}\,\!$	Дж см ⁻¹ = Н с	[М] [Л] [Т] ⁻¹
Кинетическая энергия	Перевод ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{y}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\\[2pt]{\hat {T}}_{z}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla )\cdot (-i\hbar \nabla )\\&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\end{aligned}}\,\!$	Дж	[М] [Л] ² [Т] ⁻²
	Электромагнитное поле ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{x}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}-qA_{x}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{y}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-qA_{y}\right)^{2}\\{\hat {T}}_{z}&={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}-qA_{z}\right)^{2}\end{aligned}}\,\!$	Электромагнитное поле ( А , векторный потенциал ) ${\begin{aligned}{\hat {T}}&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} \\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\cdot (-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )\\&={\frac {1}{2m}}(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} )^{2}\end{aligned}}\,\!$	Дж	[М] [Л] ² [Т] ⁻²
	Вращение ( I , момент инерции ) ${\begin{aligned}{\hat {T}}_{xx}&={\frac {{\hat {J}}_{x}^{2}}{2I_{xx}}}\\{\hat {T}}_{yy}&={\frac {{\hat {J}}_{y}^{2}}{2I_{yy}}}\\{\hat {T}}_{zz}&={\frac {{\hat {J}}_{z}^{2}}{2I_{zz}}}\\\end{aligned}}\,\!$	Вращение ${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {J}} \cdot \mathbf {\hat {J}} }{2I}}\,\!$ ^{[ нужна ссылка ]}	Дж	[М] [Л] ² [Т] ⁻²
Потенциальная энергия	Н/Д	${\hat {V}}=V\left(\mathbf {r} ,t\right)=V\,\!$	Дж	[М] [Л] ² [Т] ⁻²
Общая энергия	Н/Д	Временной потенциал: ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\,\!$ Независимые от времени: ${\hat {E}}=E\,\!$	Дж	[М] [Л] ² [Т] ⁻²
гамильтониан		${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {1}{2m}}\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} +V\\&={\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+V\\\end{aligned}}\,\!$	Дж	[М] [Л] ² [Т] ⁻²
Оператор углового момента	${\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}&=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\\{\hat {L}}_{y}&=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right)\\{\hat {L}}_{z}&=-i\hbar \left(x{\partial \over \partial y}-y{\partial \over \partial x}\right)\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {L}} =\mathbf {r} \times -i\hbar \nabla$	Дж с = Н см	[М] [Л] ² [Т] ⁻¹
Спиновый угловой момент	${\begin{aligned}{\hat {S}}_{x}&={\hbar \over 2}\sigma _{x}&{\hat {S}}_{y}&={\hbar \over 2}\sigma _{y}&{\hat {S}}_{z}&={\hbar \over 2}\sigma _{z}\end{aligned}}$ где ${\begin{aligned}\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ — матрицы Паули для частиц со спином 1/2 .	$\mathbf {\hat {S}} ={\hbar \over 2}{\boldsymbol {\sigma }}\,\!$ где σ — вектор, компонентами которого являются матрицы Паули.	Дж с = Н см	[М] [Л] ² [Т] ⁻¹
Полный угловой момент	${\begin{aligned}{\hat {J}}_{x}&={\hat {L}}_{x}+{\hat {S}}_{x}\\{\hat {J}}_{y}&={\hat {L}}_{y}+{\hat {S}}_{y}\\{\hat {J}}_{z}&={\hat {L}}_{z}+{\hat {S}}_{z}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {\hat {J}} &=\mathbf {\hat {L}} +\mathbf {\hat {S}} \\&=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla +{\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}\end{aligned}}$	Дж с = Н см	[М] [Л] ² [Т] ⁻¹
Переходный дипольный момент (электрический)	${\begin{aligned}{\hat {d}}_{x}&=q{\hat {x}},&{\hat {d}}_{y}&=q{\hat {y}},&{\hat {d}}_{z}&=q{\hat {z}}\end{aligned}}$	$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}}$	См	[Я] [Т] [Л]

Примеры применения квантовых операторов

Процедура извлечения информации из волновой функции заключается в следующем. В качестве примера рассмотрим импульс p частицы . Оператор импульса в позиционном базисе в одном измерении:

{\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}

Действуя на ψ, мы получаем:

{\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,

если ψ — собственная функция ${\hat {p}}$ , то собственное значение импульса p — это значение импульса частицы, найденное по формуле:

-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .

Для трех измерений оператор импульса использует оператор набла , чтобы стать:

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .

в декартовых координатах (с использованием стандартных декартовых базисных векторов e _x , e _y , e _zЭто можно записать );

\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),

то есть:

{\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!

Процесс нахождения собственных значений тот же. Поскольку это векторное и операторное уравнение, если ψ является собственной функцией, то каждый компонент оператора импульса будет иметь собственное значение, соответствующее этому компоненту импульса. Действуя $\mathbf {\hat {p}}$ на ψ получает:

{\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Молекулярная квантовая механика, части I и II: Введение в квантовую химию (том 1), П. В. Аткинс, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
^ Баллентайн, Л.Е. (1970), «Статистическая интерпретация квантовой механики», Reviews of Modern Physics , 42 (4): 358–381, Бибкод : 1970RvMP...42..358B , doi : 10.1103/RevModPhys.42.358
^ Jump up to: ^а ^б Квантовая механика демистифицирована, Д. МакМахон, МакГро Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9
^ Операторы - Фейнмановские лекции по физике

[QUANTUM_CHEMISRTY_1977-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Молекулярная квантовая механика, части I и II: Введение в квантовую химию (том 1), П. В. Аткинс, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0

[Ballentine1970-2] Баллентайн, Л.Е. (1970), «Статистическая интерпретация квантовой механики», Reviews of Modern Physics , 42 (4): 358–381, Бибкод : 1970RvMP...42..358B , doi : 10.1103/RevModPhys.42.358

[Quantum_Mechanics_Demystified_2006-3] Jump up to: ^а ^б Квантовая механика демистифицирована, Д. МакМахон, МакГро Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9

[4] Операторы - Фейнмановские лекции по физике

[1]

[2]

[3]

[4]