Единичный вектор

В математике единичный вектор в нормированном векторном пространстве — это вектор (часто пространственный вектор ) длины 1. Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с циркумфлексом или «шляпкой», как в ${\hat {\mathbf {v} }}$ (произносится как «в-хэт»).

Термин вектор направления , обычно обозначаемый как d , используется для описания единичного вектора, используемого для представления пространственного направления и относительного направления . Двумерные пространственные направления численно эквивалентны точкам на единичном круге. а пространственные направления в 3D эквивалентны точке на единичной сфере .

Нормализованный вектор û ненулевого вектора u является единичным вектором в направлении u , т. е.

\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}

где ‖ u ‖ — норма (или длина) u . ^[1]^[2] Термин нормализованный вектор иногда используется как синоним единичного вектора .

Единичные векторы часто выбираются в качестве основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан как линейная комбинация единичных векторов.

Ортогональные координаты

Декартовы координаты

Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат:

\mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемый стандартным базисом в линейной алгебре .

Их часто обозначают с использованием общепринятых векторных обозначений (например, x или ${\vec {x}}$ ), а не стандартное обозначение единичного вектора (например, x̂ ). В большинстве контекстов можно предположить, что x , y и z (или ${\vec {x}},$ ${\vec {y}},$ и ${\vec {z}}$ ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Обозначения ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ ₁ , x̂ ₂ , x̂ ₃ ), ( ê _x , ê _y , ê _z ) или ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ), со шляпой или без нее , являются также используется, ^[1] особенно в контекстах, где i , j , k может привести к путанице с другой величиной (например, с индексными символами, такими как i , j , k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных).

Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовых обозначениях как линейная комбинация x , y , z , его три скалярные компоненты можно назвать направляющими косинусами . Значение каждой компоненты равно косинусу угла, образованного единичным вектором с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой, сегмента прямой, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).

Цилиндрические координаты

Три ортогональных единичных вектора, соответствующие цилиндрической симметрии:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (также обозначенный $\mathbf {\hat {e}}$ или ${\boldsymbol {\hat {s}}}$ ), представляющий направление, по которому измеряется расстояние точки от оси симметрии;
${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ , представляющее направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
$\mathbf {\hat {z}}$ , представляющий направление оси симметрии;

Они связаны с декартовым базисом. ${\hat {x}}$ , ${\hat {y}}$ , ${\hat {z}}$ к:

{\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}

{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .

Векторы ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ и ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ являются функциями $\varphi ,$ и не являются постоянными по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах необходимо также работать с самими единичными векторами. Производные по $\varphi$ являются:

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}

{\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .

Сферические координаты

Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии: $\mathbf {\hat {r}}$ , направление, в котором увеличивается радиальное расстояние от начала координат; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x , направление, в котором увеличивается ; и ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ угол от положительной оси z , направление, в котором увеличивается . Чтобы минимизировать избыточность представлений, полярный угол $\theta$ обычно принимается в диапазоне от нуля до 180 градусов. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного тройка, записанного в сферических координатах , поскольку роли ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ и ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ часто бывают обратными. Вот американская «физическая» конвенция ^[3] используется. Это оставляет азимутальный угол $\varphi$ определяется так же, как и в цилиндрических координатах. Декартовы : отношения

\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}}

{\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}

{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}

Сферические единичные векторы зависят от обоих $\varphi$ и $\theta$ , и, следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Более полное описание см. в разделе «Матрица и определитель Якобиана» . Ненулевые производные:

{\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}

Общие единичные векторы

Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : ^[4]

Единичный вектор	Номенклатура	Диаграмма
Касательный вектор к кривой/линии потока	$\mathbf {\hat {t}}$	Нормальный вектор $\mathbf {\hat {n}}$ к плоскости, содержащей и определяемой вектором радиального положения $r\mathbf {\hat {r}}$ и угловое тангенциальное направление вращения $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ необходимо для того, чтобы выполнялись векторные уравнения углового движения.
Нормаль к касательной плоскости к поверхности/плоскость, содержащая радиальную составляющую положения и угловую тангенциальную составляющую	$\mathbf {\hat {n}}$ В терминах полярных координат ; $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
Бинормальный вектор к касательной и нормали	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$ ^[5]
Параллельно некоторой оси/линии	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	Один единичный вектор $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ выровнено параллельно главному направлению (красная линия) и перпендикулярному единичному вектору $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ находится в любом радиальном направлении относительно главной линии.
Перпендикулярно некоторой оси/линии в некотором радиальном направлении	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
Возможное угловое отклонение относительно какой-либо оси/линии	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	Единичный вектор при остром угле отклонения φ (включая 0 или π /2 рад) относительно главного направления.

Криволинейные координаты

В общем, система координат может быть однозначно задана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов. $\mathbf {\hat {e}} _{n}$ ^[1] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного трехмерного пространства эти векторы можно обозначить $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ . Почти всегда удобно определить систему как ортонормированную и правую :

\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}

\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}

где $\delta _{ij}$ - это дельта Кронекера (которая равна 1 для i = j и 0 в противном случае) и $\varepsilon _{ijk}$ — это символ Леви-Чивита (который равен 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и -1 для перестановок, упорядоченных как kji ).

Правый вариант

Единичный вектор в $\mathbb {R} ^{3}$ был назван правым версором , У. Р. Гамильтоном когда он разработал свои кватернионы $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$ . Фактически, он был создателем термина вектор , поскольку каждый кватернион $q=s+v$ имеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v — единичный вектор в $\mathbb {R} ^{3}$ , то квадрат v в кватернионах равен –1. по формуле Эйлера Таким образом , $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ является версором в 3-сфере . Когда θ является прямым углом , версор является прямым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в $\mathbb {R} ^{3}$ .

Таким образом, правые версоры расширяют понятие мнимых единиц, найденных в комплексной плоскости , где правые версоры теперь располагаются по 2-сфере. $\mathbb {S} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H}$ а не пара {i, –i} в комплексной плоскости.

В более широком смысле, правый кватернион является вещественным кратным правому версору.

См. также

Примечания

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Единичный вектор» . Вольфрам Математический мир . Проверено 19 августа 2020 г.
^ «Единичные векторы» . Блестящая вики по математике и естественным наукам . Проверено 19 августа 2020 г.
^ Тевиан Дрей и Корин А. Маноуг, Сферические координаты, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
^ Ф. Эйрес; Э. Мендельсон (2009). Исчисление (серия «Очерки Шаума») (5-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN 978-0-07-150861-2 .
^ г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (серия «Очерки Шаума») (2-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7 .

Ссылки

ГБ Арфкен и Х. Дж. Вебер (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Академическая пресса. ISBN 0-12-059825-6 .
Шпигель, Мюррей Р. (1998). Очерки Шаума: Математический справочник формул и таблиц (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-038203-4 .
Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-Х .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Единичный вектор» . Вольфрам Математический мир . Проверено 19 августа 2020 г.

[2] «Единичные векторы» . Блестящая вики по математике и естественным наукам . Проверено 19 августа 2020 г.

[3] Тевиан Дрей и Корин А. Маноуг, Сферические координаты, College Math Journal 34, 168-169 (2003).

[4] Ф. Эйрес; Э. Мендельсон (2009). Исчисление (серия «Очерки Шаума») (5-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN 978-0-07-150861-2 .

[5] г-н Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ (серия «Очерки Шаума») (2-е изд.). Мак Грау Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]