Векторный потенциал

Эта статья посвящена общему понятию математической теории векторных полей. Чтобы узнать о векторном потенциале в электромагнетизме, см. Магнитный векторный потенциал . Чтобы узнать о векторном потенциале в механике жидкости, см. функцию потока .

В векторном исчислении векторный потенциал — это векторное поле которого , ротор является заданным векторным полем. Это аналогично скалярному потенциалу , который представляет собой скалярное поле, градиент которого представляет собой заданное векторное поле.

Формально, учитывая векторное поле $\mathbf {v}$векторный потенциал – это $C^{2}$ векторное поле $\mathbf {A}$ такой, что

$$\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .$$

Последствие

Если векторное поле $\mathbf {v}$ допускает векторный потенциал $\mathbf {A}$, то из равенства

$$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$$

( дивергенция ротора равна нулю) получаем

$$\nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,$$

что подразумевает, что $\mathbf {v}$ должно быть соленоидальным векторным полем .

Теорема

Позволять

$$\mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$$

— соленоидальное векторное поле , дважды непрерывно дифференцируемое . Предположим, что $\mathbf {v} (\mathbf {x} )$ уменьшается по крайней мере так же быстро, как $1/\|\mathbf {x} \|$ для $\|\mathbf {x} \|\to \infty$. Определять

$$\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y}$$

где $\nabla _{y}\times$ обозначает завиток относительно переменной $\mathbf {y}$. Затем $\mathbf {A}$ векторный потенциал для $\mathbf {v}$. То есть,

$$\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .$$

Область целостности может быть ограничена любой односвязной областью. $\mathbf {\Omega }$. То есть, $\mathbf {A'}$ также является векторным потенциалом $\mathbf {v}$, где

$$\mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .$$

Обобщением этой теоремы является теорема о разложении Гельмгольца , которая утверждает, что любое векторное поле можно разложить как сумму соленоидального векторного поля и безвихревого векторного поля .

По аналогии с законом Био-Савара , $\mathbf {A''} (\mathbf {x} )$ также квалифицируется как векторный потенциал для $\mathbf {v}$, где

$\mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )\times (\mathbf {x} -\mathbf {y} )}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{3}}}d^{3}\mathbf {y}$.

Замена $\mathbf {j}$ ( плотность тока ) для $\mathbf {v}$ и $\mathbf {H}$ ( H-поле ) для $\mathbf {A}$, дает закон Био-Савара.

Позволять $\mathbf {\Omega }$ быть звездным доменом с центром в точке $\mathbf {p}$, где $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}$. Применяя лемму Пуанкаре для дифференциальных форм к векторным полям, тогда $\mathbf {A'''} (\mathbf {x} )$ также является векторным потенциалом для $\mathbf {v}$, где

$\mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {x} -\mathbf {p} )\times (\mathbf {v} (s\mathbf {x} +(1-s)\mathbf {p} ))\ ds$

Неуникальность

Векторный потенциал, допускаемый соленоидальным полем, не единственен. Если $\mathbf {A}$ векторный потенциал для $\mathbf {v}$, тогда так и есть

$$\mathbf {A} +\nabla f,$$

где $f$— любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это следует из того, что ротор градиента равен нулю.

Эта неединственность приводит к некоторой степени свободы в формулировке электродинамики, или калибровочной свободе, и требует выбора калибра .

См. также

• Основная теорема векторного исчисления
• Магнитный векторный потенциал
• Соленоидальное векторное поле
• Замкнутые и точные дифференциальные формы

Ссылки

• «Основы инженерной электромагнетики» , Дэвид К. Ченг, Аддисон-Уэсли, 1993.