Закон Био – Савара

В физике , в частности в электромагнетизме , действует закон Био-Савара ( / ˈ b iː oʊ s ə ˈ v ɑːr / или / ˈ b j oʊ s ə ˈ v ɑːr / ) — уравнение, описывающее магнитное поле , создаваемое постоянным электрическим током . Он связывает магнитное поле с величиной, направлением, длиной и близостью электрического тока.

Закон Био-Савара является фундаментальным для магнитостатики . Он действителен в магнитостатическом приближении и согласуется как с законом цепи Ампера , так и с законом Гаусса для магнетизма . Когда магнитостатика неприменима, закон Био-Савара следует заменить уравнениями Ефименко . Закон назван в честь Жана-Батиста Био и Феликса Савара , открывших эту взаимосвязь в 1820 году.

Уравнение

В следующих уравнениях предполагается, что среда не является магнитной (например, вакуум). Это позволяет напрямую вывести магнитное поле B фундаментальным вектором здесь является H. , тогда как

Электрические токи (по замкнутой кривой/проводу)

Показаны направления $Id{\boldsymbol {\ell }}$, $\mathbf {{\hat {r}}'}$, и значение $|\mathbf {r'} |$

Закон Био-Савара используется для расчета результирующей плотности магнитного потока B в позиции r в трехмерном пространстве, генерируемой нитевидным током I (например, из-за провода). Постоянный (или стационарный) ток — это непрерывный поток зарядов , который не меняется со временем, и заряд не накапливается и не истощается ни в одной точке. Закон представляет собой физический пример линейного интеграла , вычисляемого по пути C , по которому текут электрические токи (например, по проводу). Уравнение в СИ единицах тесла (Т) имеет вид

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}$

где $d{\boldsymbol {\ell }}$ вектор вдоль пути $C$ величина которого равна длине дифференциального элемента провода в направлении условного тока , ${\boldsymbol {\ell }}$ это точка на пути $C$, и $\mathbf {r'} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}$ – вектор полного смещения проволочного элемента ( $d{\boldsymbol {\ell }}$) в точке ${\boldsymbol {\ell }}$ до точки, в которой вычисляется поле ( $\mathbf {r}$), а µ ₀ — магнитная постоянная . Альтернативно: $$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}$$где $\mathbf {{\hat {r}}'}$ - вектор единичный $\mathbf {r'}$. Символы, выделенные жирным шрифтом, обозначают векторные величины .

Интеграл обычно находится по замкнутой кривой , поскольку стационарные электрические токи могут течь по замкнутым путям только тогда, когда они ограничены. Однако закон распространяется и на бесконечно длинные провода (это понятие использовалось в определении единицы электрического тока в системе СИ — ампера — до 20 мая 2019 года).

Чтобы применить это уравнение, точка пространства, в которой должно быть рассчитано магнитное поле, выбирается произвольно ( $\mathbf {r}$). Удерживая эту точку фиксированной, рассчитывается линейный интеграл по пути электрического тока, чтобы найти общее магнитное поле в этой точке. Применение этого закона неявно основано на принципе суперпозиции магнитных полей, т.е. на том факте, что магнитное поле представляет собой векторную сумму полей, создаваемых каждым бесконечно малым участком провода в отдельности.

Например, рассмотрим магнитное поле петли радиуса $R$ несущий ток $I.$ Для точки на расстоянии $x$ вдоль центральной линии контура вектор магнитного поля в этой точке равен: $$\mathbf {B} ({\hat {\mathbf {x} }})={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(x^{2}+R^{2})^{3/2}}}{\hat {\mathbf {x} }},$$где ${\hat {\mathbf {x} }}$ — единичный вектор вдоль центральной линии контура (при этом контур считается центрированным в начале координат). Петли, подобные описанной, появляются в таких устройствах, как катушка Гельмгольца , соленоид и двигательная система космического корабля Magsail . Расчет магнитного поля в точках за пределами центральной линии требует более сложной математики, включающей эллиптические интегралы , требующие численного решения или приближений.

Плотность электрического тока (по всему объему проводника)

Формулировки, приведенные выше, хорошо работают, когда ток можно аппроксимировать как протекающий по бесконечно узкому проводу. Если проводник имеет некоторую толщину, правильная формулировка закона Био-Савара (опять же в единицах СИ ):

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|^{3}}}$

где $\mathbf {r'}$ – вектор от dV до точки наблюдения $\mathbf {r}$, $dV$ — элемент объема , а $\mathbf {J}$ - вектор плотности тока в этом объеме (в системе СИ в единицах А/м). ² ).

С точки зрения единичного вектора $\mathbf {{\hat {r}}'}$$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ dV{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}$$

Постоянный равномерный ток

В частном случае однородного постоянного тока I магнитное поле $\mathbf {B}$ является $$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}$$т. е. ток можно вынести из интеграла.

Точечный заряд с постоянной скоростью

В случае точечной заряженной частицы q, движущейся с постоянной скоростью v , уравнения Максвелла дают следующее выражение для электрического и магнитного полей: $${\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}\\\mathbf {H} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D} \\\mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{aligned}}$$где $\mathbf {\hat {r}} '$ — единичный вектор, указывающий от текущего (незапаздывающего) положения частицы к точке, в которой измеряется поле, а θ — угол между $\mathbf {v}$ и $\mathbf {r} '$. Альтернативно, их можно получить, рассматривая преобразование Лоренца силы Кулона (в форме четырех сил ) в инерциальной системе отсчета заряда источника.

Когда v ² ≪ с ² , электрическое поле и магнитное поле можно аппроксимировать как $$\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}$$$$\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}$$

Эти уравнения были впервые выведены Оливером Хевисайдом в 1888 году. Некоторые авторы вызовите приведенное выше уравнение для $\mathbf {B}$ «Закон Био-Савара для точечного заряда» из-за его близкого сходства со стандартным законом Био-Савара. Однако эта формулировка вводит в заблуждение, поскольку закон Био-Савара применим только к постоянным токам, а точечный заряд, движущийся в пространстве, не представляет собой постоянный ток.

Применение магнитных реакций

Закон Био-Савара можно использовать при расчете магнитных откликов даже на атомном или молекулярном уровне, например, химического экранирования или магнитной восприимчивости , при условии, что плотность тока может быть получена из квантово-механических расчетов или теории.

Аэродинамические приложения

На рисунке показана скорость ( $dV$), индуцированный в точке P элементом вихревой нити ( $dl$) силы $\Gamma$.

Закон Био-Савара также используется в теории аэродинамики для расчета скорости, создаваемой вихревыми линиями .

В аэродинамическом применении роли завихренности и тока меняются местами по сравнению с магнитным применением.

В статье Максвелла 1861 года «О физических силовых линиях» Напряженность магнитного поля H напрямую приравнивалась к чистой завихренности (спину), тогда как B представляла собой взвешенную завихренность, взвешенную по плотности вихревого моря. Максвелл считал магнитную проницаемость ц мерой плотности вихревого моря. Отсюда и отношения,

Ток магнитной индукции

$$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$$ по сути, была вращательной аналогией линейного соотношения электрического тока,

Электрический конвекционный ток

$$\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} ,$$ где ρ — плотность электрического заряда.

B рассматривалась как своего рода магнитный поток вихрей, выровненных в своих осевых плоскостях, где H - окружная скорость вихрей.

Уравнение электрического тока можно рассматривать как конвективный ток электрического заряда, который предполагает линейное движение. По аналогии, магнитное уравнение представляет собой индуктивный ток, включающий спин. нет Линейного движения индуктивного тока вдоль направления вектора B . Магнитно-индуктивный ток представляет собой силовые линии. В частности, он представляет собой линии силы закона обратных квадратов.

В аэродинамике индуцированные потоки воздуха образуют соленоидальные кольца вокруг оси вихря. Можно провести аналогию с тем, что ось вихря играет роль, которую электрический ток играет в магнетизме . Это ставит воздушные потоки аэродинамики (поле скорости жидкости) в эквивалентную роль вектора магнитной индукции B в электромагнетизме.

В электромагнетизме линии B образуют соленоидальные кольца вокруг источника электрического тока, тогда как в аэродинамике воздушные потоки (скорости) образуют соленоидальные кольца вокруг оси вихря источника.

Следовательно, в электромагнетизме вихрь играет роль «следствия», тогда как в аэродинамике вихрь играет роль «причины». Тем не менее, когда мы смотрим на линии B изолированно, мы видим именно аэродинамический сценарий, поскольку B — это ось вихря, а H — окружная скорость, как в статье Максвелла 1861 года.

В двух измерениях для вихревой линии бесконечной длины индуцированная скорость в точке определяется выражением $$v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$$где Γ — сила вихря, а r — расстояние по перпендикуляру между точкой и вихревой линией. Это похоже на магнитное поле, создаваемое на плоскости бесконечно длинной прямой тонкой проволокой, перпендикулярной плоскости.

Это предельный случай формулы для вихревых сегментов конечной длины (аналогично конечной проволоке): $$v={\frac {\Gamma }{4\pi r}}\left[\cos A-\cos B\right]$$где A и B — углы (со знаком) между точкой и двумя концами отрезка.

Закон Био-Савара, закон цепи Ампера и закон Гаусса для магнетизма.

См. Также: Curl (математика) и тождества векторного исчисления.

В магнитостатической ситуации магнитное поле B, рассчитанное на основе закона Био-Савара, всегда будет удовлетворять закону Гаусса для магнетизма и закону цепи Ампера :

Доказательство

Начнем с закона Био-Савара: $$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}$$

Подставляя отношение $${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)$$и используя правило произведения для завитков , а также тот факт, что J не зависит от $\mathbf {r}$, это уравнение можно переписать как $$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \iiint _{V}d^{3}l{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {l} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}$$

Поскольку дивергенция ротора всегда равна нулю, это устанавливает закон Гаусса для магнетизма . Далее, взяв завиток обеих сторон, воспользовавшись формулой завитка завитка , и снова воспользовавшись тем, что J не зависит от $\mathbf {r}$, в конечном итоге мы получим результат $$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\cdot \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)$$

Наконец, подключив отношения $${\begin{aligned}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)&=-\nabla _{l}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right),\\\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)&=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {l} )\end{aligned}}$$(где δ — дельта-функция Дирака ), используя тот факт, что дивергенция J равна нулю (в силу предположения магнитостатики ), и производя интегрирование по частям , результат получается $$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$$т.е. круговой закон Ампера. В силу предположения магнитостатики ( $\partial \mathbf {E} /\partial t=\mathbf {0}$ нет дополнительного смещения текущего члена , поэтому в законе Ампера .)

В немагнитостатической ситуации закон Био-Савара перестает быть верным (его заменяют уравнения Ефименко ), в то время как закон Гаусса для магнетизма и закон Максвелла-Ампера все еще верны.

Теоретическая основа

Первоначально закон Био–Савара был открыт экспериментально, затем этот закон различными способами выводился теоретически. В «Фейнмановских лекциях по физике» сначала подчеркивается подобие выражений для электрического потенциала вне статического распределения зарядов и векторного магнитного потенциала вне системы непрерывно распределенных токов, а затем магнитное поле рассчитывается через ротор из векторный потенциал. Другой подход предполагает общее решение неоднородного волнового уравнения для векторного потенциала в случае постоянных токов. Магнитное поле также можно рассчитать как следствие преобразований Лоренца для электромагнитной силы, действующей от одной заряженной частицы на другую частицу. Два других способа вывода закона Био-Савара включают: 1) преобразование Лоренца компонент электромагнитного тензора из движущейся системы отсчета, где существует только электрическое поле с некоторым распределением зарядов, в стационарную систему отсчета, в которой эти заряды движутся. 2) использование метода запаздывающих потенциалов .

См. также

Люди

• Андре-Мари Ампер
• Джеймс Клерк Максвелл
• Пьер-Симон Лаплас

Электромагнетизм

• Дарвин Лагранжиан

Ссылки

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-805326-Х .
• Фейнман, Ричард (2005). Фейнмановские лекции по физике (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-8053-9045-2 .

Дальнейшее чтение

• Электричество и современная физика (2-е издание), ГЭГ Беннет, Эдвард Арнольд (Великобритания), 1974 г., ISBN   0-7131-2459-8
• «Основные принципы физики», П.М. Уилан, М.Дж. Ходжесон, 2-е издание, 1978 г., Джон Мюррей, ISBN   0-7195-3382-1
• Кембриджский справочник физических формул, Г. Воан, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN   978-0-521-57507-2 .
• Физика для ученых и инженеров - с современной физикой (6-е издание), П. А. Типлер, Г. Моска, Фриман, 2008 г., ISBN   0-7167-8964-7
• Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер , Г.Л. Тригг, издатели VHC, 1991, ISBN (издательская компания) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
• Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е издание), CB Parker, 1994, ISBN   0-07-051400-3

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с законом Био-Савара, на Викискладе?
• MISN-0-125 Закон Ампера-Лапласа-Био-Савара, авторы Ориллы МакХаррис и Питера Сигнелла для проекта PHYSNET .