Четыре силы

В относительности специальной теории четырехсила — это четырехвекторная сила , заменяющая классическую силу .

В специальной теории относительности

Четырехсила определяется как скорость изменения четырехимпульса частицы частицы по отношению к собственному времени :

$$\mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {P} \over \mathrm {d} \tau }.$$

Для частицы постоянной инвариантной массы $m>0$, $\mathbf {P} =m\mathbf {U}$ где $\mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )$ — это четырехскорость , поэтому мы можем связать четыре силы с четырьмя ускорениями $\mathbf {A}$ как во втором законе Ньютона :

$$\mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right).$$

Здесь

$${\mathbf {f} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}$$

и

$${\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma mc^{2}\right)={\mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.$$

где $\mathbf {u}$, $\mathbf {p}$ и $\mathbf {f}$ представляют собой векторы трехмерного пространства, описывающие скорость, импульс частицы и силу, действующую на нее соответственно.

Включая термодинамические взаимодействия

Из формул предыдущего раздела следует, что временная составляющая четырехсилы — это затраченная мощность, $\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$, кроме релятивистских поправок $\gamma /c$. Это справедливо только в чисто механических ситуациях, когда теплообмен исчезает или им можно пренебречь.

В полном термомеханическом случае не только работа , но и тепло способствует изменению энергии, которая является временной составляющей ковектора энергии-импульса . Временная составляющая четырехсилы в данном случае включает в себя скорость нагрева $h$, помимо власти $\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$. Однако обратите внимание, что работу и тепло нельзя осмысленно разделить, поскольку они оба несут инерцию. Этот факт распространяется и на контактные силы, т. е. на тензор напряжения-энергии-импульса .

Следовательно, в термомеханических ситуациях временная составляющая четырехсилы не пропорциональна мощности $\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$ но имеет более общее выражение, которое следует давать в каждом конкретном случае, которое представляет собой запас внутренней энергии в результате сочетания работы и тепла: и который в ньютоновском пределе становится $h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u}$.

В общей теории относительности

В общей теории относительности связь между четырьмя силами и четырьмя ускорениями остается прежней, но элементы четырех сил связаны с элементами четырех импульсов через ковариантную производную по собственному времени.

$$F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }$$

Кроме того, мы можем сформулировать силу, используя концепцию преобразований координат между различными системами координат. Предположим, что мы знаем правильное выражение для силы в системе координат, в которой частица в данный момент находится в покое. Затем мы можем выполнить преобразование в другую систему, чтобы получить соответствующее выражение силы. В специальной теории относительности преобразование будет преобразованием Лоренца между системами координат, движущимися с относительной постоянной скоростью, тогда как в общей теории относительности это будет преобразование общей координаты.

Рассмотрим четыре силы $F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F} )$ действующее на частицу массы $m$ который на мгновение покоится в системе координат. Релятивистская сила $f^{\mu }$ в другой системе координат, движущейся с постоянной скоростью $v$, относительно другого, получается с помощью преобразования Лоренца:

$${\begin{aligned}\mathbf {f} &=\mathbf {F} +(\gamma -1)\mathbf {v} {\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} \over v^{2}},\\f^{0}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .\end{aligned}}$$

где ${\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c$.

В общей теории относительности выражение силы принимает вид

$$f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }$$

с ковариантной производной $D/d\tau$. Уравнение движения становится

$$m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau },$$

где $\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }$ — символ Кристоффеля . Если нет внешней силы, это становится уравнением геодезических в искривленном пространстве-времени . Второй член в приведенном выше уравнении играет роль гравитационной силы. Если $f_{f}^{\alpha }$ является правильным выражением силы в свободно падающей системе отсчета $\xi ^{\alpha }$, мы можем использовать принцип эквивалентности , чтобы записать четырехсилу в произвольной координате $x^{\mu }$:

$$f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.$$

Примеры

В специальной теории относительности четырехсила Лоренца (четыре силы, действующие на заряженную частицу, находящуюся в электромагнитном поле) можно выразить как: $$f_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu },$$

где

• $F_{\mu \nu }$ – электромагнитный тензор ,
• $U^{\nu }$ - четырехскоростная , и
• $q$ это электрический заряд .

См. также

• четырехвекторный
• четырехскоростной
• четыре ускорения
• четырехимпульсный
• четырехградиентный

Ссылки

• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-853953-3 .