Факториальная мера момента

В теории вероятности и статистике факториальная мера момента — это математическая величина, функция или, точнее, мера , определяемая по отношению к математическим объектам, известным как точечные процессы , которые представляют собой типы случайных процессов , часто используемые в качестве математических моделей физических явлений, представляемых как случайно расположенные точки во времени , пространстве или и то, и другое. Моментные меры обобщают идею факториальных моментов , которые полезны для изучения неотрицательных целочисленных величин случайных .

Первая факториальная моментная мера точечного процесса совпадает с его первой моментной мерой или мерой интенсивности . что дает ожидаемое или среднее количество точек точечного процесса, находящихся в некоторой области пространства. В общем случае, если количество точек в некоторой области рассматривать как случайную величину, то моментной факториальной мерой этой области является факториальный момент этой случайной величины. Факториальные меры момента полностью характеризуют широкий класс точечных процессов, а значит, с их помощью можно однозначно идентифицировать точечный процесс.

Если факториальная мера момента абсолютно непрерывна , то по отношению к мере Лебега говорят, что она имеет плотность (которая является обобщенной формой производной ) , и эта плотность известна под несколькими названиями, такими как факториальная плотность момента и плотность продукта , а также плотность совпадений , совместная интенсивность , корреляционная функция или многомерный частотный спектр Первая и вторая плотности факториального момента точечного процесса используются при определении парной корреляционной функции , что дает возможность статистически количественно оценить силу взаимодействия или корреляции между точками точечного процесса.

Факторные моменты служат полезным инструментом при изучении точечных процессов. а также смежные области стохастической геометрии и пространственная статистика , которые применяются в различных научных и инженерных дисциплинах, таких как биология , геология , физика и телекоммуникации .

Обозначение точечного процесса

Основная статья: Обозначение точечного процесса

Точечные процессы — это математические объекты, определенные в некотором базовом математическом пространстве . Поскольку эти процессы часто используются для представления наборов точек, случайно разбросанных в пространстве, времени или в том и другом, базовое пространство обычно представляет собой d -мерное евклидово пространство, обозначаемое здесь R. ^д , но их можно определить в более абстрактных математических пространствах.

Точечные процессы имеют ряд интерпретаций, что отражается в различных типах обозначений точечных процессов . Например, если точка $\textstyle x$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначенного N , то это можно записать как:

$\textstyle x\in {N},$

и представляет собой точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор . Альтернативно, количество точек N, расположенных в некотором борелевском множестве B, часто записывается как:

$\textstyle {N}(B),$

что отражает интерпретацию случайной меры для точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо.

Определения

n- я факториальная степень точечного процесса

Для некоторого положительного целого числа $\textstyle n=1,2,\ldots$, $\textstyle n$-я факториальная степень точечного процесса $\textstyle {N}$ на $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$ определяется как:

${N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1}\neq \dots \neq x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})$

где $\textstyle B_{1},...,B_{n}$ представляет собой совокупность не обязательно непересекающихся борелевских множеств в $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$, которые образуют $\textstyle n$-кратное декартово произведение множеств, обозначаемое:

$B_{1}\times \cdots \times B_{n}.$

Символ $\textstyle \mathbf {1}$ обозначает индикаторную функцию такую, что $\textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}$является мерой Дирака для множества $\textstyle B_{n}$. Суммирование в приведенном выше выражении производится по всем $\textstyle n$— кортежи различных точек, включая перестановки , которым можно противопоставить определение n -й степени точечного процесса . Символ $\textstyle \Pi$ обозначает умножение , в то время как существование различных обозначений точечного процесса означает, что n -я факториальная степень точечного процесса иногда определяется с использованием других обозначений.

n- я факториальная мера момента

Мера факториального момента n -го порядка или мера факториального момента n -го порядка определяется как:

$M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=E[{N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})],$

где E обозначает математическое ожидание ( оператор точечного процесса N. ) Другими словами, n -я факториальная мера момента — это математическое ожидание n- й факториальной степени некоторого точечного процесса.

я n- факториальная мера момента точечного процесса N определяется эквивалентно к:

$\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})M^{(n)}(dx_{1},\ldots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right],$

где $f$ — любая неотрицательная измеримая функция на ${\textbf {R}}^{nd}$, и указанное выше суммирование производится по всем $n$ кортежи различных точек, включая перестановки. Следовательно, факториальная мера момента определяется так, что в наборе произведений нет повторяющихся точек, в отличие от меры момента.

Первая факториальная мера момента

Первая факториальная мера момента $\textstyle M^{1}$ совпадает с мерой первого момента :

$M^{(1)}(B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)],$

где $\textstyle M^{1}$ известен, среди прочего, как мера интенсивности или имею в виду меру , и интерпретируется как ожидаемое количество баллов $\textstyle {N}$ найден или находится в наборе $\textstyle B$

Вторая факториальная мера момента

Вторая факториальная мера момента для двух борелевских множеств $\textstyle A$ и $\textstyle B$ является:

$M^{(2)}(A\times B)=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A\cap B).$

Объяснение имени

Для некоторого набора Бореля $\textstyle B$, тезка этой меры раскрывается, когда $\textstyle n\,$факториальная мера момента сводится к:

$M^{(n)}(B\times \cdots \times B)=E[{N}(B)({N}(B)-1)\cdots ({N}(B)-n+1)],$

что такое $\textstyle n\,$-й факториальный момент случайной величины $\textstyle {N}(B)$.

Факториальная плотность момента

Если факториальная мера момента абсолютно непрерывна , то она имеет плотность (точнее, производную или плотность Радона-Никодима ) относительно меры Лебега и эта плотность известна как плотность факториального момента или плотность произведения , совместная интенсивность , корреляционная функция , или многомерный частотный спектр . Обозначая $\textstyle n$-я факториальная плотность момента по $\textstyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})$, он определяется по уравнению:

$M^{(n)}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=\int _{B_{1}}\cdots \int _{B_{n}}\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}.$

Кроме того, это означает следующее выражение

$E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right]=\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n},$

где $\textstyle f$ — любая неотрицательная ограниченная измеримая функция, определенная на $\textstyle {\textbf {R}}^{n}$.

Парная корреляционная функция

В пространственной статистике и стохастической геометрии для измерения статистической корреляционной связи между точками точечного процесса используется парная корреляционная функция точечного процесса. ${N}$ определяется как:

$\rho (x_{1},x_{2})={\frac {\mu ^{(2)}(x_{1},x_{2})}{\mu ^{(1)}(x_{1})\mu ^{(1)}(x_{2})}},$

где точки $x_{1},x_{2}\in R^{d}$. В общем, $\rho (x_{1},x_{2})\geq 0$ тогда как $\rho (x_{1},x_{2})=1$ соответствует отсутствию корреляции (между точками) в типичном статистическом смысле.

Примеры

Точный процесс Пуассона

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ тот $\textstyle n$-я факториальная мера момента определяется выражением:

$M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],$

где $\textstyle \Lambda$ является мерой интенсивности или мерой первого момента $\textstyle {N}$, что для некоторого множества Бореля $\textstyle B$ дается:

$\Lambda (B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)].$

Для Пуассона однородного точечного процесса $\textstyle n$-я факториальная мера момента проста:

$M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,$

где $\textstyle |B_{i}|$ — это длина, площадь или объём (или, в более общем смысле, мера Лебега ) $\textstyle B_{i}$. Кроме того, $\textstyle n$-я факториальная плотность момента равна:

$\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lambda ^{n}.$

Парная корреляционная функция однородного точечного процесса Пуассона имеет вид:

$\rho (x_{1},x_{2})=1,$

что отражает отсутствие взаимодействия между точками этого точечного процесса.

Факториальное разложение момента

Математические ожидания общих функционалов от простых точечных процессов при определенных математических условиях имеют (возможно, бесконечные) разложения или ряды, состоящие из соответствующих факториальных моментных мер. По сравнению с рядом Тейлора , который состоит из ряда производных некоторой функции, n- я факториальная мера момента играет роль, как и n- я производная ряда Тейлора. Другими словами, если задан общий функционал f некоторого простого точечного процесса, то эта теорема типа Тейлора для непуассоновских точечных процессов означает, что существует разложение для математических ожиданий функции E при условии, что выполняется некоторое математическое условие, обеспечивающее сходимость расширение.

См. также

• Факториальный момент
• Момент
• Измерение момента