Абстракция (математика)
Абстракция в математике — это процесс извлечения основных структур , закономерностей или свойств математической концепции, устранения любой зависимости от объектов реального мира, с которыми она изначально могла быть связана, и ее обобщения так, чтобы она имела более широкое применение или сопоставление с другими абстрактными понятиями. описания эквивалентных явлений . [1] [2] [3] Другими словами, быть абстрактным — значит удалить контекст и применение. [4] Двумя наиболее абстрактными областями современной математики являются теория категорий и теория моделей .
Описание [ править ]
Многие области математики начинались с изучения проблем реального мира до того, как основные правила и концепции были идентифицированы и определены как абстрактные структуры . Например, геометрия берет свое начало в вычислении расстояний и площадей в реальном мире, а алгебра началась с методов решения арифметических задач .
Абстракция — это непрерывный процесс в математике, и историческое развитие многих математических тем демонстрирует прогресс от конкретного к абстрактному. Например, первые шаги в абстракции геометрии исторически были сделаны древними греками, при этом «Начала» Евклида были самой ранней дошедшей до нас документацией аксиом плоской геометрии, хотя Прокл рассказывает о более ранней аксиоматизации Гиппократа Хиосского . [5] В 17 веке Декарт ввел декартовы координаты , которые позволили разработать аналитическую геометрию . Дальнейшие шаги в абстракции были предприняты Лобачевским , Больяи , Риманом и Гауссом , которые обобщили понятия геометрии для разработки неевклидовых геометрий . Позже в 19 веке математики еще больше обобщили геометрию, развив такие области, как геометрия в n измерениях , проективная геометрия , аффинная геометрия и конечная геометрия . Наконец, » Феликса Кляйна « Эрлангенская программа определила основную тему всех этих геометрий, определив каждую из них как исследование инвариантных относительно данной группы симметрий свойств , . Этот уровень абстракции выявил связь между геометрией и абстрактной алгеброй . [6]
В математике абстракция может быть полезна следующими способами:
- Оно раскрывает глубокие связи между различными областями математики.
- Известные результаты в одной области могут наводить на предположения в другой смежной области.
- Техники и методы из одной области могут применяться для подтверждения результатов в других смежных областях.
- Закономерности одного математического объекта можно обобщить на другие подобные объекты того же класса.
С другой стороны, абстракция также может быть невыгодной, поскольку очень абстрактные концепции могут быть трудными для изучения. [7] определенная математическая зрелость может потребоваться Для концептуального усвоения абстракций и опыт.
Бертран Рассел в «Научном обзоре» (1931) пишет, что «Обычный язык совершенно непригоден для выражения того, что на самом деле утверждает физика, поскольку слова повседневной жизни недостаточно абстрактны. Только математика и математическая логика могут сказать так мало, как имеет в виду физик. сказать». [8]
См. также [ править ]
- Абстрактная деталь
- Обобщение
- Абстрактное мышление
- Абстрактная логика
- Абстрактная алгебраическая логика
- Абстрактная теория моделей
- Абстрактная чушь
- Концепция
- Математическая зрелость
Ссылки [ править ]
- ^ Бертран Рассел в «Принципах математики», том 1 (стр. 219), ссылается на «принцип абстракции».
- ^ Роберт Б. Эш. Букварь абстрактной математики. Издательство Кембриджского университета, 1 января 1998 г.
- ^ Новый американский энциклопедический словарь. Под редакцией Эдварда Томаса Роу, Ле Роя Хукера, Томаса В. Хэндфорда. стр. 34
- ^ Дональдсон, Нил. Введение в теорию групп . п. 1.
- ↑ Краткое изложение Прокла , заархивировано 23 сентября 2015 г. в Wayback Machine.
- ^ Торретти, Роберто (2019), «Геометрия девятнадцатого века» , в Залте, Эдвард Н. (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. осени 2019 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет , получено 22 октября 2019 г.
- ^ «... ознакомление учеников с абстрактной математикой - непростая задача и требует долгосрочных усилий, которые должны учитывать разнообразие контекстов, в которых используется математика», П. Л. Феррари, Абстракция в математике , Фил. Пер. Р. Сок. Лонд. Б 29 июля 2003 г. т. Б. 358 нет. 14:35 12:25-12:30
- ^ «Цитаты Рассела» . MacTutor Архив истории математики . Архивировано из оригинала 17 января 2002 г. Проверено 22 октября 2019 г.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Байнок, Бела (2013). Приглашение к абстрактной математике . Спрингер. ISBN 978-1-4614-6635-2 .