Математическая зрелость
В математике математическая зрелость — это неофициальный термин, часто используемый для обозначения качества общего понимания и владения тем, как математики действуют и общаются. Оно относится к смеси математического опыта и знаний, которым невозможно научить напрямую. Вместо этого оно возникает в результате неоднократного воздействия математических концепций. Это показатель эрудиции студентов-математиков в математических структурах и методах, который может пересекаться с другими связанными понятиями, такими как математическая интуиция и математическая компетентность. Иногда эта тема также затрагивается в литературе сама по себе. [1] [2]
Определения [ править ]
Математическая зрелость определялась разными авторами по-разному и часто связывалась с другими связанными понятиями, такими как комфорт и компетентность в математике, математическая интуиция и математические убеждения. [2]
Одно из определений было дано следующим образом: [3]
... бесстрашие перед символами: способность читать и понимать обозначения , вводить ясные и полезные обозначения, когда это необходимо (и не иначе!), а также общая способность выражаться на кратком, но четком и точном языке, который математики используют для передачи идей.
Более широкий список характеристик математической зрелости выглядит следующим образом: [4]
- Способность обобщать конкретный пример до широкой концепции.
- Способность справляться со все более абстрактными идеями
- Способность общаться математически, изучая стандартные обозначения и приемлемый стиль.
- Значительный переход от обучения посредством запоминания к обучению через понимание.
- Способность отделять ключевые идеи от менее значимых.
- Возможность связать геометрическое представление с аналитическим представлением.
- Умение переводить вербальные задачи в математические задачи.
- Способность распознавать действительные доказательства и обнаруживать «небрежное» мышление.
- Способность распознавать математические закономерности
- Возможность перемещения вперед и назад между геометрическим (график) и аналитическим (уравнение)
- Улучшение математической интуиции за счет отказа от наивных предположений и развития более критического отношения.
Наконец, математическая зрелость также определяется как способность делать следующее: [5]
- Устанавливайте и используйте связи с другими проблемами и другими дисциплинами.
- Заполните недостающие данные
- Выявляйте, исправляйте и учитесь на ошибках
- Отсеивайте плевелы от пшеницы, доберитесь до сути, определите намерение
- Признавайте и цените элегантность
- Думайте абстрактно
- Читайте, пишите и критикуйте формальные доказательства.
- Проведите линию между тем, что вы знаете, и тем, чего вы не знаете
- Распознавать закономерности, темы, течения и водовороты
- Применяйте то, что вы знаете, творчески
- Приблизительно соответственно
- Научите себя
- Обобщать
- Оставайтесь сосредоточенными
- Используйте инстинкт и интуицию, когда это необходимо.
Иногда говорят, что развитие математической зрелости требует глубокого размышления над предметом в течение длительного периода времени, а также руководящего духа, который поощряет исследования. [5]
Прогресс [ править ]
Математик Теренс Тао предложил трехступенчатую модель математического образования , которую можно интерпретировать как общую основу развития математической зрелости. [6] Этапы сведены в следующую таблицу: [7] [8]
| Этап | Уровень | Фаза | Описание | Типичная продолжительность | Природа ошибок | Пример |
|---|---|---|---|---|---|---|
1 | Новичок | Предварительный строгий | Этот этап наступает до того, как студент-математик изучит математический формализм. Математика изучается в неформальной форме, которая часто включает примеры, нечеткие понятия и размахивание руками . Этот этап основан в основном на интуиции, и упор делается больше на вычисления, чем на теорию. На этом уровне важен природный талант. | До студенческих лет | Формальные ошибки возникают в результате слепого применения формальных правил или эвристики из-за непонимания строгого математического формализма. Такие ошибки бывает трудно исправить, даже если на них указано. | Введение исчисления с точки зрения наклонов , площадей , скорости изменения и т. д. |
2 | Средний | строгий | На этом этапе учащиеся изучают математический формализм, который обычно включает в себя формальную логику и некоторую математическую логику . Это служит основой для изучения математических доказательств и различных методов доказательства. Начало этой фазы обычно происходит во время курса «перехода к высшей математике», курса «Введение в доказательства» или вводного курса математического анализа или абстрактной алгебры . Студенты, изучающие информатику или прикладную математику, могут столкнуться с этим формализмом во время учебы на первом курсе, изучая курс дискретной математики . Типично воздействие контрпримеров способность отличать здравую математическую аргументацию , и развивается от ошибочной математической аргументации. Это важный этап для устранения вводящих в заблуждение интуиций и развития точных интуиций, чему помогает математический формализм. Формальность помогает разобраться с техническими деталями, а интуиция помогает увидеть общую картину. Однако иногда на этом промежуточном этапе студент может застрять. Это происходит, когда учащийся отказывается от слишком хорошей интуиции, что делает его способным обрабатывать математику только на формальном уровне, а не на более интуитивном неформальном уровне. Такое застревание может повлиять на способность ученика читать математические статьи. | От старшеклассников до поступления аспирантуру в | Восприимчивость к формальным ошибкам сохраняется в результате неумелого формализма или неспособности выполнить «проверку здравомыслия» на основе интуиции или других практических правил, таких как тривиальная ошибка знака или неспособность проверить предположение, сделанное в ходе аргументации. Однако, в отличие от предыдущего этапа, такие ошибки обычно можно обнаружить и зачастую исправить после их обнаружения. | Повторное введение исчисления в контексте строгих обозначений ε, δ. |
3 | Передовой | Пост-строгий | На этом этапе учащиеся возвращаются к более интуитивному мышлению, аналогичному мышлению на начальном этапе, предшествующем строгому, за исключением того, что теперь вводящая в заблуждение интуиция погашена, что позволяет учащимся надежно рассуждать на более неформальном уровне. Усвоение математического формализма дает учащимся инстинктивное чувство математической правильности . Это позволяет им получить интуитивную схему математического аргумента, которую впоследствии можно преобразовать в формальное доказательство. Акцент теперь делается на приложениях, интуиции и «общей картине». Это оптимизирует эффективность решения проблем , поскольку теперь формальная строгость сочетается с утонченной интуицией. В этом идеальном состоянии каждый эвристический аргумент естественным образом предполагает свой строгий аналог, и наоборот. Это подготавливает практикующего специалиста к решению сложных математических задач, которые в противном случае были бы недоступны. Студенты обычно достигают этой фазы ближе к концу учебы в аспирантуре, когда они обычно начинают читать научные статьи по математике . | Более поздние годы учебы и далее | Подверженность формальным ошибкам сохраняется, хотя и по другой причине; формализм приостанавливается ради целесообразных интуитивных рассуждений, а затем позднее вспоминается для перевода в строгую аргументацию, которая иногда может быть неточной. | Импровизированное и временное использование бесконечно малых чисел или обозначений большого О ; временное построение неформальной, квазистрогой аргументации, которая позже может быть преобразована в формальную, строгую аргументацию. |
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Линн Артур Стин (1983) «Развитие математической зрелости», страницы с 99 по 110 в книге « Будущее математики в колледже: материалы конференции / семинара по первым двум годам математики в колледже» , редактор Энтони Ралстона, Springer ISBN 1-4612-5510-4
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Лью, Кристен. «Как математики описывают математическую зрелость?» (PDF) . Группы специальных интересов Американской математической ассоциации (SIGMAA) . Проверено 7 декабря 2019 г.
- ^ Математика 22, лекция A , Ларри Дененберг
- ^ Цели курса LBS 119 Calculus II , Научная школа Лаймана Бриггса
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Набор математических двусмысленностей , Кен Суман, факультет математики и статистики, Государственный университет Вайноны
- ^ Лью, К. (2019). Как математики описывают математическую зрелость? Познание и обучение, 37 (2), 121–142.
- ^ Математика – это нечто большее, чем просто строгость и доказательства. (2022, 26 ноября). Что нового. https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/
- ^ Числофил2. (2017, 18 марта). Терри Тао и «Cheating Strategically» (дополнительные кадры) – Numberphile [Видео]. Ютуб. https://www.youtube.com/watch?v=48Hr3CT5Tpk