Склон

Эта статья о математическом термине. Чтобы узнать об уклоне физического объекта, см. Уклон (уклон) . Чтобы узнать о других значениях, см. Наклон (значения) .

Склон: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )$

В математике наклон или уклон линии — это число, которое описывает направление и крутизну линии. Уклон , часто обозначаемый буквой m , рассчитывается как отношение изменения по вертикали к изменению по горизонтали («подъем над разбегом») между двумя разными точками на линии, что дает одно и то же число для любого выбора точек. Линия, нисходящая слева направо, имеет отрицательный подъем и отрицательный наклон. Линия может быть физической – заданной геодезистом , графической – на схеме дороги или крыши – или абстрактной .

Крутизна . , уклон или уклон линии — это абсолютное значение ее наклона: большее абсолютное значение указывает на более крутую линию Направление определяется следующим образом:

• линия Возрастающая идет вверх слева направо и имеет положительный наклон : $m>0$.
• линия Убывающая идет вниз слева направо и имеет отрицательный наклон : $m<0$.
• линия Горизонтальная (график постоянной функции ) имеет нулевой наклон : $m=0$.
• Вертикальная (см . линия имеет неопределенный или бесконечный наклон ниже).

Если две точки дороги имеют высоты y ₁ и y ₂ , подъем равен разнице ( y ₂ − y ₁ ) = Δ y . Пренебрегая кривизной Земли , если две точки имеют горизонтальное расстояние x ₁ и x ₂ от фиксированной точки, пробег равен ( x ₂ − x ₁ ) = Δ x . Наклон между двумя точками представляет собой разность коэффициентов :

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Это эквивалентно степени или градиенту по географии и гражданскому строительству . С помощью тригонометрии наклон m линии связан с ее углом наклона θ с помощью касательной функции.

$m=\tan(\theta ).$

Таким образом, восходящая линия под углом 45° имеет наклон m = +1, а нисходящая линия под углом 45° имеет наклон m = -1.

Обобщая это, дифференциальное исчисление определяет наклон кривой в точке как наклон ее касательной в этой точке. Когда кривая аппроксимируется серией точек, наклон кривой может быть аппроксимирован наклоном секущей линии между двумя соседними точками. Когда кривая представляет собой график алгебраического выражения , исчисление дает формулы для наклона в каждой точке. Таким образом, наклон является одной из центральных идей исчисления и его приложений для проектирования.

Кажется, нет четкого ответа на вопрос, почему буква м используется для обозначения наклона, но впервые она появляется на английском языке у О'Брайена (1844 г.). который ввел уравнение прямой как « y = mx + b » , его также можно найти у Тодхантера (1888). который написал « y = mx + c ».

Определение

Наклон показан для y = (3/2) x - 1 . Нажмите, чтобы увеличить

Наклон линии в системе координат от f ( x ) = −12 x + 2 до f ( x ) = 12 x + 2

Наклон линии в плоскости, содержащей оси x и y, обычно обозначается буквой m , и определяется как изменение координаты y , разделенное на соответствующее изменение координаты x между двумя различными точками на линии. Это описывается следующим уравнением:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertical}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.$

(Греческая буква дельта , Δ, обычно используется в математике для обозначения «разницы» или «изменения».)

Учитывая два пункта $(x_{1},y_{1})$ и $(x_{2},y_{2})$, изменение в $x$ от одного к другому $x_{2}-x_{1}$ ( run ), в то время как изменение в $y$ является $y_{2}-y_{1}$ ( рост ). Подстановка обеих величин в приведенное выше уравнение дает формулу:

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.$

Формула не работает для вертикальной линии, параллельной $y$ оси (см. Деление на ноль ), где наклон можно принять бесконечным , поэтому наклон вертикальной линии считается неопределенным.

Примеры

Предположим, линия проходит через две точки: P = (1, 2) и Q = (13, 8). Разделив разницу на $y$-координаты по разнице $x$-координаты, можно получить наклон линии:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}.$

Поскольку наклон положительный, направление линии увеличивается. Поскольку | м | < 1, уклон не очень крутой (уклон < 45°).

В качестве другого примера рассмотрим линию, проходящую через точки (4, 15) и (3, 21). Тогда наклон линии равен

$m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.$

Поскольку наклон отрицательный, направление линии уменьшается. Поскольку | м | > 1, это снижение довольно крутое (падение > 45°).

Алгебра и геометрия

Наклоны параллельных и перпендикулярных линий

• Если $y$ является линейной функцией $x$, то коэффициент $x$ — наклон линии, созданной путем построения функции. Следовательно, если уравнение линии задано в виде

  $y=mx+b$

  затем $m$ это наклон. Эта форма уравнения прямой называется формой пересечения наклона , потому что $b$ можно интерпретировать как y , то есть точку пересечения оси $y$-координата пересечения прямой с $y$-ось.
• Если наклон $m$ линии и точки $(x_{1},y_{1})$ на прямой оба известны, то уравнение линии можно найти по формуле наклона точки :

  $y-y_{1}=m(x-x_{1}).$

• Наклон линии, определяемый линейным уравнением
  $ax+by+c=0$
  является

  $-{\frac {a}{b}}$.

• Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не являются одной и той же линией (совпадают) и либо их наклоны равны, либо они обе вертикальны и, следовательно, обе имеют неопределенный наклон.
• Две линии перпендикулярны, если произведение их наклонов равно -1 или одна имеет наклон 0 (горизонтальная линия), а другая имеет неопределенный наклон (вертикальная линия).
• Угол θ между −90 ° и 90 °, который линия образует с осью x, связан с наклоном m следующим образом:
  $m=\tan(\theta )$
  и

  $\theta =\arctan(m)$ (это обратная функция тангенса; см. обратные тригонометрические функции ).

Примеры

Например, рассмотрим линию, проходящую через точки (2,8) и (3,20). Эта линия имеет наклон m , равный

${\frac {(20-8)}{(3-2)}}=12.$

Затем можно написать уравнение линии в форме наклона точки:

$y-8=12(x-2)=12x-24.$

или:

$y=12x-16.$

Угол θ между −90 ° и 90 °, который эта линия образует с осью x, равен

$\theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }.$

Рассмотрим две строки: y = −3 x + 1 и y = −3 x − 2 . Обе линии имеют наклон m = −3 . Это не одна и та же линия. Итак, это параллельные прямые.

Рассмотрим две линии y = −3 x + 1 и y = ⁠ Икс / 3 ⁠ - 2 . Наклон первой линии равен m ₁ = −3 . Уклон второй линии составляет м ₂ = ⁠ 1 / 3 ⁠ . Произведение этих двух наклонов равно -1. Итак, эти две прямые перпендикулярны.

Статистика

В статистике градиент регрессии наименьших квадратов наиболее подходящей линии для данной выборки данных может быть записан как:

$m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}$,

Эта величина m называется наклоном регрессии для линии $y=mx+c$. Количество $r$ – коэффициент корреляции Пирсона , $s_{y}$ - стандартное отклонение значений y и $s_{x}$ — стандартное отклонение значений x. Это также можно записать как отношение ковариаций :

$m={\frac {\operatorname {cov} (Y,X)}{\operatorname {cov} (X,X)}}$

Уклон дороги или железной дороги

Основные статьи: Уклон (уклон) и разделение уклонов.

Есть два распространенных способа описания крутизны автомобильной или железной дороги . Один — это угол от 0° до 90° (в градусах), а другой — наклон в процентах. См. также железную дорогу с крутым уклоном и зубчатую железную дорогу .

Формулы для преобразования уклона, выраженного в процентах, в угол в градусах и наоборот:

${\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)$ (это обратная функция тангенса; см. тригонометрия )

и

${\mbox{slope}}=100\%\times \tan({\mbox{angle}}),$

где угол измеряется в градусах, а тригонометрические функции действуют в градусах. Например, уклон 100 % или 1000 ‰ соответствует углу 45°.

Третий способ — придать одной единице подъема, скажем, 10, 20, 50 или 100 горизонтальных единиц, например 1:10. 1:20, 1:50 или 1:100 (или «1 из 10», «1 из 20» и т. д.) 1:10 круче, чем 1:20. Например, крутизна 20% означает 1:5 или уклон с углом 11,3°.

Автомобильные и железные дороги имеют как продольные, так и поперечные уклоны.

• 
  Предупреждающий знак уклона в Нидерландах
• 
  Предупреждающий знак уклона в Польше
• 
  Участок железной дороги длиной 1371 метр с уклоном 20 ‰ . Чешская Республика
• 
  Градиентный столб железной дороги эпохи пара, указывающий уклон в обоих направлениях на железнодорожной станции Меолс , Соединенное Королевство.

Исчисление

В каждой точке производная представляет собой наклон линии , касательной к кривой в этой точке. Примечание. Производная в точке A положительна , если она зеленая и штрихпунктирная, отрицательна, если красная и пунктирная, и равна нулю , если черная и сплошная.

Понятие наклона является центральным в дифференциальном исчислении . Для нелинейных функций скорость изменения варьируется вдоль кривой. Производная к кривой в этой точке, и, таким образом , функции в точке представляет собой наклон линии, касательной равна скорости изменения функции в этой точке.

Если мы позволим Δ x и Δ y быть расстояниями (вдоль осей x и y соответственно) между двумя точками на кривой, то наклон, заданный приведенным выше определением,

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$,

- наклон секущей линии к кривой. Для линии секущей между любыми двумя точками является сама линия, но это не относится к любому другому типу кривой.

Например, наклон секущей, пересекающей y = x ² в (0,0) и (3,9) равен 3. (Наклон касательной в точке x = 3 ⁄ 2 тоже 3 — следствие о теоремы среднем значении .)

При перемещении двух точек ближе друг к другу так, чтобы Δy и Δx уменьшались , секущая линия более точно приближается к касательной к кривой, и, таким образом, наклон секущей приближается к наклону касательной. Используя дифференциальное исчисление , мы можем определить предел или значение, к которому приближается Δy / Δx , когда Δy и Δx приближаются к нулю ; отсюда следует, что этот предел представляет собой точный наклон касательной. Если y зависит от x , то достаточно взять предел, при котором только Δ x стремится к нулю. Следовательно, наклон касательной является пределом Δ y /Δ x, когда Δ x приближается к нулю, или d y /d x . Мы называем этот предел производной .

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Значение производной в определенной точке функции дает нам наклон касательной в этом точном месте. Например, пусть y = x ² . Точка этой функции равна (−2,4). Производная этой функции d y ⁄ d Икс знак равно 2 Икс . Таким образом, наклон линии, касательной к y в точке (−2,4), равен 2 ⋅ (−2) = −4 . Уравнение этой касательной линии: y − 4 = (−4)( x − (−2)) или y = −4 x − 4 .

Разница склонов

Иллюзия парадокса площади развеивается сравнением склонов, где встречаются синие и красные треугольники.

Расширение идеи угла следует из разницы наклонов. Рассмотрим отображение сдвига

$(u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.$

Затем $(1,0)$ отображается на $(1,v)$. Наклон $(1,0)$ равен нулю, а наклон $(1,v)$ является $v$. Картирование сдвига добавило наклон $v$. За два балла $\{(1,y):y\in \mathbb {R} \}$ со склонами $m$ и $n$, изображение

$(1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)$

наклон увеличился на $v$, но разница $n-m$ склонов одинакова до и после сдвига. Эта инвариантность разностей наклонов делает наклон угловой инвариантной мерой наравне с круговым углом (инвариантным при вращении) и гиперболическим углом с группой инвариантности отображений сжатия .

Другое использование

Концепция наклона или градиента также используется как основа для разработки других приложений в математике:

• Градиентный спуск — алгоритм итеративной оптимизации первого порядка для поиска минимума функции.
• Теорема о градиенте , теорема о том, что линейный интеграл через поле градиента можно вычислить путем оценки исходного скалярного поля в конечных точках кривой.
• Градиентный метод — алгоритм решения задач с направлениями поиска, определяемыми градиентом функции в текущей точке.
• Метод сопряженных градиентов — алгоритм численного решения частных систем линейных уравнений.
• Нелинейный метод сопряженных градиентов , обобщает метод сопряженных градиентов для нелинейной оптимизации.
• Стохастический градиентный спуск , итерационный метод оптимизации дифференцируемой целевой функции

См. также

• Евклидово расстояние
• Оценка
• Наклонная плоскость
• Линейная функция
• Линия наибольшего уклона
• через
• Определения уклона
• Оценщик Тейла – Сена , линия со средним наклоном среди набора точек выборки.

Внешние ссылки

• «Наклон линии (координатная геометрия)» . Открытый справочник по математике. 2009 . Проверено 30 октября 2016 г. интерактивный