Наклонная плоскость

«Рампа» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о компании, занимающейся финансовыми технологиями, см. Ramp (компания) . Чтобы узнать о других значениях, см. Рампа (значения) .

Эта статья о физической структуре. Чтобы узнать о других значениях, см. Наклонная плоскость (значения) .

Пандус для инвалидных колясок , отель Montescot, Шартр, Франция

Демонстрационный наклонный самолет, используемый в образовании, Музей Галилея , Флоренция.

, Наклонная плоскость также известная как пандус , представляет собой плоскую опорную поверхность, наклоненную под углом к ​​вертикальному направлению , причем один конец выше другого, используемый в качестве вспомогательного средства для подъема или опускания груза. Наклонная плоскость — одна из шести классических простых машин, определенных учеными эпохи Возрождения. Наклонные плоскости используются для перемещения тяжелых грузов через вертикальные препятствия. Примеры варьируются от пандуса, используемого для погрузки товаров в грузовик, до человека, поднимающегося по пешеходному пандусу, до автомобиля или железнодорожного поезда, поднимающегося на уклон.

Перемещение объекта вверх по наклонной плоскости требует меньше усилий , чем подъем его прямо вверх, но за счет увеличения пройденного расстояния. Механическое преимущество наклонной плоскости, коэффициент уменьшения силы, равно отношению длины наклонной поверхности к высоте, которую она охватывает. В силу закона сохранения энергии одно и то же количество механической энергии ( работы требуется для поднятия данного предмета на данное вертикальное расстояние ) , не считая потерь от трения , но наклонная плоскость позволяет совершить ту же работу с меньшей силой, приложенной над ним. большее расстояние.

Угол трения , также иногда называют углом естественного откоса , — максимальный угол, при котором груз может неподвижно лежать на наклонной плоскости за счет трения, не соскальзывая вниз. Этот угол равен арктангенсу коэффициента статического трения µs _между поверхностями.

Две другие простые машины часто считаются производными от наклонной плоскости. Клин можно рассматривать как движущуюся наклонную плоскость или две наклонные плоскости, соединенные в основании. Винт вокруг представляет собой узкую наклонную плоскость, обернутую цилиндра .

Этот термин может также относиться к конкретной реализации; прямой пандус, врезанный в крутой склон холма, для перевозки грузов вверх и вниз по холму. Сюда могут относиться автомобили, идущие по рельсам или подтянутые канатной системой; фуникулер , или канатная дорога например Джонстаунская наклонная плоскость .

Использует

Наклонные плоскости широко используются в виде погрузочных рамп для погрузки и разгрузки грузов на грузовые автомобили, корабли и самолеты. Пандусы для инвалидных колясок используются для того, чтобы люди в инвалидных колясках могли преодолевать вертикальные препятствия, не превышая при этом своих сил. Эскалаторы и наклонные конвейерные ленты также представляют собой формы наклонной плоскости. На фуникулере или канатной дороге вагон поднимают по крутой наклонной плоскости с помощью тросов. Наклонные самолеты также позволяют безопасно опускать тяжелые хрупкие объекты, включая людей, на вертикальное расстояние, используя нормальную силу самолета для уменьшения силы гравитации . для самолетов Эвакуационные трапы позволяют людям быстро и безопасно спуститься на землю с высоты пассажирского авиалайнера .

Использование пандусов для погрузки автомобиля на грузовик

Погрузка грузовика на корабль с помощью рампы

аварийной эвакуации самолета Слайд

Пандус для инвалидных колясок в японском автобусе

Погрузочная рампа на грузовике

Другие наклонные плоскости встроены в постоянные конструкции. Дороги для транспортных средств и железные дороги имеют наклонные плоскости в виде пологих уклонов, пандусов и дамб , что позволяет транспортным средствам преодолевать вертикальные препятствия, такие как холмы, без потери сцепления с поверхностью дороги. Аналогичным образом, пешеходные дорожки и тротуары имеют пологие пандусы, ограничивающие их наклон и гарантирующие пешеходам сохранение сцепления с дорогой. Наклонные плоскости также используются в качестве развлечения, позволяющего людям контролируемым образом скатиться вниз, на игровых площадках , водных горках , лыжных склонах и в скейт-парках .

Земляной пандус (справа), построенный римлянами в 72 году нашей эры для вторжения в Масаду , Израиль.

Пешеходный пандус, Паласио-ду-Планалто, Бразилиа

Джонстаунская наклонная плоскость, фуникулер .

Бирма-роуд, Ассам, Индия, через Бирму в Китай, гр. 1945 год

Наклонные самолеты в скейт-парке

История

Доказательство Стевина

В 1586 году фламандский инженер Саймон Стевин (Стевинус) обнаружил механическое преимущество наклонной плоскости, аргументируя это использованием нитки бус. Он представил себе две наклонные плоскости одинаковой высоты, но с разными углами наклона, расположенные спина к спине, как в призме ( А, В, С выше). На наклонные плоскости накинута петля из нити с бисеринками через равные промежутки, часть нити свисает вниз. опирающиеся на плоскости, действуют на плоскости как грузы, удерживаемые силой натяжения струны в точке Т. Бусины , Аргументация Стевина звучит так: Струна должна быть неподвижной, в статическом равновесии . Если бы нить была тяжелее с одной стороны, чем другая, и начала бы скользить вправо или влево под собственным весом, то, когда каждая бусина переместилась бы в положение предыдущей бусины, нить была бы неотличима от своего первоначального положения и, следовательно, продолжала бы двигаться. быть неуравновешенным и скользить. Этот аргумент можно повторять бесконечно, в результате чего возникнет круговое вечное движение , что абсурдно. Следовательно, он неподвижен, силы с обеих сторон в точке Т ( выше ) равны. Часть цепочки, свисающая ниже наклонных плоскостей, симметрична, с равным количеством бусинок с каждой стороны. Он оказывает одинаковую силу на каждую сторону струны. Поэтому этот участок струны можно отрезать по краям плоскостей (точки S и V) , оставив только бусины, опирающиеся на наклонные плоскости, а этот оставшийся участок все равно будет находиться в статическом равновесии. Поскольку бусины расположены на нити через равные промежутки, общее количество бусинок, поддерживаемых каждой плоскостью, общая нагрузка пропорциональна длине плоскости. Поскольку входная поддерживающая сила, натяжение струны, одинакова для обеих, механическое преимущество каждой плоскости пропорционально ее наклонной длине. Как отметил Дейкстерхейс, Аргументация Стевина не совсем убедительна. Силы, действующие на висячую часть цепи, не обязательно должны быть симметричными, поскольку висячая часть не обязана сохранять свою форму, когда ее отпускают. Даже если цепочка выпущена с нулевым угловым моментом, движение, включая колебания, возможно, если цепь изначально не находится в равновесной конфигурации - предположение, которое сделало бы аргумент круговым.

Наклонные плоскости использовались людьми с доисторических времен для перемещения тяжелых предметов. Наклонные дороги и дамбы, построенные древними цивилизациями, такими как римляне, являются примерами сохранившихся ранних наклонных плоскостей и показывают, что они понимали ценность этого устройства для перемещения предметов в гору. Тяжелые камни, используемые в древних каменных сооружениях, таких как Стоунхендж. предположительно, были перемещены и установлены на месте с помощью наклонных плоскостей, сделанных из земли, хотя трудно найти свидетельства существования таких временных пандусов. Египетские пирамиды были построены с использованием наклонных плоскостей. Осадные пандусы позволяли древним армиям преодолевать крепостные стены. Древние греки построили мощеную рампу Диолкос длиной 6 км (3,7 мили) , чтобы перетаскивать корабли по суше через Коринфский перешеек .

Однако наклонная плоскость была последней из шести классических простых машин, признанной машиной. Вероятно, это связано с тем, что это пассивное и неподвижное устройство (нагрузка – движущаяся часть), а еще потому, что он встречается в природе в виде склонов и холмов. Хотя они понимали его использование для подъема тяжелых предметов, древнегреческие философы, давшие определение остальным пяти простым машинам, не включали наклонную плоскость в число машин. Эта точка зрения сохранялась среди некоторых более поздних ученых; еще в 1826 году Карл фон Лангсдорф писал, что наклонная плоскость « …не более машина, чем склон горы ». Задача расчета силы, необходимой для поднятия груза по наклонной плоскости (его механического преимущества), была предпринята греческими философами Героном Александрийским (ок. 10–60 н. э.) и Паппом Александрийским (ок. 290–350 н. э.), но их решения были неверными.

Лишь в эпоху Возрождения наклонная плоскость была решена математически и отнесена к другим простым машинам. Первый правильный анализ наклонной плоскости появился в работе автора 13 века Иордана де Немора , однако его решение, очевидно, не было сообщено другим философам того времени. Джироламо Кардано (1570) предложил неправильное решение, заключающееся в том, что входная сила пропорциональна углу плоскости. Затем, в конце 16 века, в течение десяти лет были опубликованы три правильных решения: Михаилом Варро (1584 г.), Симоном Стевином (1586 г.) и Галилео Галилеем (1592 г.). Хотя это было не первое изобретение фламандского инженера Саймона Стевина. является наиболее известным из-за своей оригинальности и использования нитки бус (см. Вставку). В 1600 году итальянский ученый Галилео Галилей включил наклонную плоскость в свой анализ простых машин в книге «Le Meccaniche» («О механике»), показав ее основное сходство с другими машинами в качестве усилителя силы.

Первые элементарные правила трения скольжения по наклонной плоскости были открыты Леонардо да Винчи (1452-1519), но остались неопубликованными в его записных книжках. Они были заново открыты Гийомом Амонтоном (1699 г.) и получили дальнейшее развитие Шарля-Огюстена де Кулона (1785 г.). Леонард Эйлер (1750) показал, что тангенс угла естественного откоса на наклонной плоскости равен коэффициенту трения .

Терминология

Наклон

Механическое преимущество наклонной плоскости зависит от ее наклона , то есть уклона или крутизны. Чем меньше уклон, тем больше механическое преимущество и тем меньше сила, необходимая для поднятия заданного веса. Наклон плоскости s равен разнице высот между двумя ее концами, или « подъемом », деленной на ее горизонтальную длину, или « пробег ». Его также можно выразить углом, образующим плоскость с горизонтом: $\theta$.

Геометрия наклонной плоскости основана на прямоугольном треугольнике . Горизонтальную длину иногда называют Run , вертикальное изменение высоты Rise .

$\theta =\tan ^{-1}{\bigg (}{\frac {\text{Rise}}{\text{Run}}}{\bigg )}\,$

Механическое преимущество

Механическое преимущество $\mathrm {MA}$ простой машины определяется как отношение выходной силы, действующей на нагрузку, к приложенной входной силе. Для наклонной плоскости выходная сила нагрузки представляет собой просто силу гравитации объекта нагрузки на плоскости, его вес $F_{\text{w}}$. Входная сила – это сила $F_{\text{i}}$ приложенная к объекту параллельно плоскости, для перемещения его вверх по плоскости. Механическое преимущество заключается в

$\mathrm {MA} ={\frac {F_{\text{w}}}{F_{\text{i}}}}\,$

The $\mathrm {MA}$ идеальную наклонную плоскость без трения иногда называют идеальным механическим преимуществом. $\mathrm {IMA}$ тогда как MA с учетом трения называется фактическим механическим преимуществом. $\mathrm {AMA}$.

Наклонная плоскость без трения

Наклонная плоскость с инструментами, используемая для обучения физике, около 1900 года. Левая гиря обеспечивает силу нагрузки. $F_{\text{w}}$. Правый груз обеспечивает входную силу. $F_{\text{i}}$ вытягивание ролика вверх по плоскости.

нет трения Если между перемещаемым предметом и плоскостью , то устройство называется идеальной наклонной плоскостью . Это условие может быть достигнуто, если объект катится как бочка или поддерживается на колесах или роликах . Ввиду сохранения энергии для наклонной плоскости без трения работа, совершаемая грузом, поднимающим ее, равна $W_{\text{out}}$, равен работе, совершаемой приложенной силой, $W_{\text{in}}$

$W_{\rm {out}}=W_{\rm {in}}\,$

Работа определяется как сила, умноженная на перемещение объекта. Работа, совершаемая над грузом, равна его весу, умноженному на вертикальное перемещение, которое он поднимает, что представляет собой «подъем» наклонной плоскости.

$W_{\rm {out}}=F_{\rm {w}}\cdot {\text{Rise}}\,$

Входная работа равна силе $F_{\text{i}}$ на объекте, умноженное на длину диагонали наклонной плоскости.

$W_{\rm {in}}=F_{\rm {i}}\cdot {\text{Length}}\,$

Подставляя эти значения в приведенное выше уравнение сохранения энергии и переставляя

${\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {\text{Length}}{\text{Rise}}}\,$

Чтобы выразить механическое преимущество через угол $\theta$ самолета, видно, из диаграммы (вверху) что

$\sin \theta ={\frac {\text{Rise}}{\text{Length}}}\,$

Так

${\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {1}{\sin \theta }}\,$

Таким образом, механическое преимущество наклонной плоскости без трения равно обратной величине синуса угла наклона. Входная сила $F_{\rm {i}}$ Из этого уравнения выводится сила, необходимая для того, чтобы удерживать груз неподвижно на наклонной плоскости или толкать его вверх с постоянной скоростью. Если входная сила больше этого значения, нагрузка ускорит самолет. Если сила меньше, он будет ускоряться вниз по самолету.

Наклонная плоскость с трением

Там, где между самолетом и грузом существует трение , как, например, когда тяжелый ящик скользит вверх по пандусу, часть работы, приложенной прилагаемой силой, рассеивается в виде тепла за счет трения. $W_{\text{fric}}$, поэтому над нагрузкой выполняется меньше работы. Благодаря сохранению энергии сумма выходной работы и потерь энергии на трение равна входной работе.

$W_{\text{in}}=W_{\text{fric}}+W_{\text{out}}\,$

Следовательно, требуется большая входная сила, а механическое преимущество ниже, чем если бы трение отсутствовало.При трении груз будет двигаться только в том случае, если результирующая сила, параллельная поверхности, больше силы трения. $F_{\text{f}}$ выступая против этого. Максимальная сила трения определяется выражением

$F_{f}=\mu F_{n}\,$

где $F_{\text{n}}$ - нормальная сила между нагрузкой и плоскостью, направленная нормально к поверхности, и $\mu$ — коэффициент статического трения между двумя поверхностями, который варьируется в зависимости от материала. Если входная сила не приложена, если угол наклона $\theta$ плоскости меньше некоторого максимального значения $\phi$ составляющая силы тяжести, параллельная плоскости, будет слишком мала, чтобы преодолеть трение, и груз останется неподвижным. Этот угол называется углом естественного откоса и зависит от состава поверхностей, но не зависит от веса груза. Ниже показано, что тангенс угла естественного откоса $\phi$ равно $\mu$

$\phi =\tan ^{-1}\mu \,$

При трении всегда существует некоторый диапазон входной силы. $F_{\text{i}}$ для которого нагрузка является стационарной, не скользя ни вверх, ни вниз по плоскости, тогда как в случае наклонной плоскости без трения существует только одно конкретное значение входной силы, при котором нагрузка является стационарной.

Анализ

Ключ: F _n = N = нормальная сила , перпендикулярная плоскости, F _i = f = входная сила, F _w = mg = вес груза, где m = масса , g = сила тяжести.

На груз, лежащий на наклонной плоскости, если рассматривать его как свободное тело, на него действуют три силы:

• Приложенная сила, $F_{\text{i}}$ приложенная к его перемещению нагрузка, действующая параллельно наклонной плоскости.
• Вес груза, $F_{\text{w}}$, который действует вертикально вниз
• Сила самолета на нагрузку. Эту проблему можно разделить на две составляющие:
  • Нормальная сила $F_{\text{n}}$ наклонной плоскости на груз, поддерживающий его. Оно направлено перпендикулярно ( нормально ) к поверхности.
  • Сила трения, $F_{\text{f}}$ плоскости на нагрузку действует параллельно поверхности и всегда направлена ​​в сторону, противоположную движению объекта. Она равна нормальной силе, умноженной на коэффициент статического трения μ между двумя поверхностями.

Согласно второму закону Ньютона, груз будет находиться в стационарном или установившемся движении, если сумма действующих на него сил равна нулю. Поскольку направление силы трения противоположно для случая движения вверх и вниз, эти два случая необходимо рассматривать отдельно:

• Движение вверх: общая сила, действующая на груз, направлена ​​к стороне подъема, поэтому сила трения направлена ​​вниз по плоскости, противодействуя входной силе.

show Получение механического преимущества при движении в гору The equilibrium equations for forces parallel and perpendicular to the plane are $\sum F_{\|}=F_{i}-F_{f}-F_{w}\sin \theta =0\,$ $\sum F_{\perp }=F_{n}-F_{w}\cos \theta =0\,$ Substituting $F_{f}=\mu F_{n}\,$ into first equation $F_{i}-\mu F_{n}-F_{w}\sin \theta =0\,$ Solving second equation to get $F_{n}=F_{w}\cos \theta \,$ and substituting into the above equation $F_{i}-\mu F_{w}\cos \theta -F_{w}\sin \theta =0\,$ ${\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta +\mu \cos \theta }}\,$ Defining $\mu =\tan \phi \,$ ${\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta +\tan \phi \cos \theta }}={\dfrac {1}{\sin \theta +{\dfrac {\sin \phi }{\cos \phi }}\cos \theta }}={\frac {\cos \phi }{\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi }}\,$ Using a sum-of-angles trigonometric identity on the denominator,

Механическое преимущество заключается в

$\mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta +\phi )}}\,$

где $\phi =\tan ^{-1}\mu \,$. Это условие надвигающегося движения вверх по наклонной плоскости. Если приложенная сила F _i больше, чем указано в этом уравнении, груз переместится вверх по плоскости.

• Движение под гору: общая сила, действующая на груз, направлена ​​в сторону спуска, поэтому сила трения направлена ​​вверх по плоскости.

show Получение механического преимущества при движении под уклон The equilibrium equations are $\sum F_{\|}=F_{i}+F_{f}-F_{w}\sin \theta =0\,$ $\sum F_{\perp }=F_{n}-F_{w}\cos \theta =0\,$ Substituting $F_{f}=\mu F_{n}\,$ into first equation $F_{i}+\mu F_{n}-F_{w}\sin \theta =0\,$ Solving second equation to get $F_{n}=F_{w}\cos \theta \,$ and substituting into the above equation $F_{i}+\mu F_{w}\cos \theta -F_{w}\sin \theta =0\,$ ${\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta -\mu \cos \theta }}\,$ Substituting in $\mu =\tan \phi \,$ and simplifying as above ${\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin \theta \cos \phi -\cos \theta \sin \phi }}\,$ Using another trigonometric identity on the denominator,

Механическое преимущество заключается в

$\mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta -\phi )}}\,$

Это условие неизбежного движения вниз по плоскости; если приложенная сила F _i меньше, чем указано в этом уравнении, груз будет скользить по плоскости. Есть три случая:

1. $\theta <\phi \,$: Механическое преимущество отрицательное. В отсутствие приложенной силы груз останется неподвижным, и для его скольжения вниз потребуется некоторая отрицательная (нисходящая) сила.
2. $\theta =\phi \,$: « Угол откоса ». Механическое преимущество безгранично. Без приложенной силы груз не будет скользить, но малейшая отрицательная сила (вниз по склону) заставит его скользить.
3. $\theta >\phi \,$: Механическое преимущество положительное. В отсутствие приложенной силы груз будет скользить вниз по плоскости, и для его удержания в неподвижном состоянии требуется некоторая положительная (подъемная) сила.

преимущество за

Ключ: N = нормальная сила , перпендикулярная плоскости, W = мг, где m = масса , g = гравитация и θ ( тета ) = угол наклона плоскости.

Механическое преимущество наклонной плоскости заключается в соотношении веса груза на пандусе к силе, необходимой для его подъема по пандусу. Если энергия не рассеивается и не накапливается при движении груза, то это механическое преимущество можно рассчитать, исходя из размеров пандуса.

Чтобы показать это, пусть положение r железнодорожного вагона на пандусе с углом θ над горизонтом задается формулой

$\mathbf {r} =R(\cos \theta ,\sin \theta ),$

где R – расстояние по пандусу. Теперь скорость автомобиля на пандусе равна

$\mathbf {v} =V(\cos \theta ,\sin \theta ).$

Поскольку потерь нет, мощность, используемая силой F для перемещения груза вверх по пандусу, равна выходной мощности, которая представляет собой вертикальный подъем веса W. груза

Входная мощность, тянущая автомобиль вверх по пандусу, определяется выражением

$P_{\mathrm {in} }=FV,\!$

и выходная мощность

$P_{\mathrm {out} }=\mathbf {W} \cdot \mathbf {v} =(0,W)\cdot V(\cos \theta ,\sin \theta )=WV\sin \theta .$

Приравняйте входную мощность к выходной мощности, чтобы получить механическое преимущество, как

$\mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {1}{\sin \theta }}.$

Механическое преимущество наклонной плоскости также можно рассчитать по отношению длины пандуса L к его высоте H, поскольку синус угла пандуса определяется выражением

$\sin \theta ={\frac {H}{L}},$

поэтому,

$\mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {L}{H}}.$

Схема системы тросового привода наклонной плоскости Liverpool Minard.

Пример: Если высота пандуса H = 1 метр, а его длина L = 5 метров, то механическое преимущество равно

$\mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=5,$

это означает, что сила в 20 фунтов поднимет груз массой 100 фунтов.

Наклонная плоскость Liverpool Minard имеет размеры 1804 х 37,50 метра, что обеспечивает механическое преимущество:

$\mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=1804/37.50=48.1,$

таким образом, сила натяжения троса в 100 фунтов поднимет груз массой 4810 фунтов. Степень этого наклона составляет 2%, что означает, что угол θ достаточно мал, чтобы sin θ≈tan θ.

См. также

• Наклонная плоскость канала
• Уклон (уклон)
• Наклонная плоская железная дорога
• Функция линейного изменения
• Наклонная плоскость
• Лестница

Внешние ссылки

• Интерактивное моделирование наклонной плоскости по физике.