Измерение момента

В теории вероятности и статистике моментная мера — это математическая величина, функция или, точнее, мера , определяемая по отношению к математическим объектам, известным как точечные процессы , которые представляют собой типы случайных процессов , часто используемые в качестве математических моделей физических явлений, представляемых как случайные. позиционированные точки во времени , пространстве или в том и другом. Моментные меры обобщают идею (необработанных) моментов и случайных величин поэтому часто возникают при изучении точечных процессов и связанных с ними полей.

Примером меры момента является мера первого момента точечного процесса, часто называемая средней мерой или мерой интенсивности , которая дает ожидаемое или среднее количество точек точечного процесса, расположенных в некоторой области пространства. Другими словами, если число точек точечного процесса, находящихся в некоторой области пространства, является случайной величиной, то мера первого момента соответствует первому моменту этой случайной величины.

Моментные меры занимают видное место при изучении точечных процессов. а также смежные области стохастической геометрии и пространственная статистика чьи приложения можно найти во многих научных и инженерных дисциплинах, таких как биология , геология , физика и телекоммуникации .

Обозначение точечного процесса

Основная статья: Обозначение точечного процесса

Точечные процессы — это математические объекты, определенные в некотором базовом математическом пространстве . Поскольку эти процессы часто используются для представления наборов точек, случайно разбросанных в физическом пространстве, времени или в том и другом, базовым пространством обычно является d -мерное евклидово пространство, обозначаемое здесь как $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$, но их можно определить в более абстрактных математических пространствах.

Точечные процессы имеют ряд интерпретаций, что отражается в различных типах обозначений точечных процессов . Например, если точка $\textstyle x$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначаемого $\textstyle {N}$, то это можно записать так:

$\textstyle x\in {N},$

и представляет собой точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор . Альтернативно, количество баллов $\textstyle {N}$ находится в каком-то наборе Бореля $\textstyle B$ часто пишется так:

$\textstyle {N}(B),$

что отражает интерпретацию случайной меры для точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо.

Определения

n -я степень точечного процесса

Для некоторого целого числа $\textstyle n=1,2,\dots$, $\textstyle n$-я степень точечного процесса $\textstyle {N}$ определяется как:

${N}^{n}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}{N}(B_{i})$

где $\textstyle B_{1},...,B_{n}$ представляет собой совокупность не обязательно непересекающихся борелевских множеств (в $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$), которые образуют $\textstyle n$-кратное декартово произведение множеств, обозначаемое $B_{1}\times \cdots \times B_{n}$. Символ $\textstyle \Pi$ обозначает стандартное умножение .

Обозначения $\textstyle {N}(B_{i})$ отражает интерпретацию точечного процесса $\textstyle {N}$ как случайная мера.

The $\textstyle n$-я степень точечного процесса $\textstyle {N}$ можно эквивалентно определить как:

${N}^{n}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})$

где суммирование производится по всем $\textstyle n$- кортежи (возможно, повторяющиеся) точек и $\textstyle \mathbf {1}$ обозначает индикаторную функцию такую, что $\textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}$является мерой Дирака . Это определение можно противопоставить определению n -факториальной степени точечного процесса , для которого каждый n - кортеж состоит из n различных точек.

n -я мера момента

The $\textstyle n$-я моментная мера определяется как:

$M^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=E[{N}^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})],$

где E обозначает математическое ожидание ( оператор ) точечного процесса $\textstyle {N}$. Другими словами, мера n -го момента — это математическое ожидание n -й степени некоторого точечного процесса.

The $\textstyle n\,$моментная мера точечного процесса $\textstyle {N}$ эквивалентно определено как:

$\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\dots ,x_{n})M^{n}(dx_{1},\dots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in {N}}f(x_{1},\dots ,x_{n})\right],$

где $\textstyle f$ — любая неотрицательная измеримая функция на $\textstyle {\textbf {R}}^{nd}$ и сумма закончилась $\textstyle n$- кортежи точек, для которых допускается повторение.

Мера первого момента

Для некоторого борелевского множества B первый момент точечного процесса N равен:

$M^{1}(B)=E[{N}(B)],$

где $\textstyle M^{1}$ известен, среди прочего, как мера интенсивности или имею в виду меру , и интерпретируется как ожидаемое или среднее количество баллов $\textstyle {N}$ найден или находится в наборе $\textstyle B$.

Мера второго момента

Вторая моментная мера для двух борелевских множеств $\textstyle A$ и $\textstyle B$ является:

$M^{2}(A\times B)=E[{N}(A){N}(B)],$

что для одного набора Бореля $\textstyle B$ становится

$M^{2}(B\times B)=(E[{N}(B)])^{2}+{\text{Var}}[{N}(B)],$

где $\textstyle {\text{Var}}[{N}(B)]$ обозначает дисперсию случайной величины $\textstyle {N}(B)$.

Предыдущий термин дисперсии намекает на то, как моменты, такие как моменты случайных величин, могут использоваться для расчета таких величин, как дисперсия точечных процессов. Еще одним примером является ковариация точечного процесса. $\textstyle {N}$ для двух комплектов Бореля $\textstyle A$ и $\textstyle B$, который определяется:

${\text{Cov}}[{N}(A),{N}(B)]=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A)M^{1}(B)$

Пример: процесс точки Пуассона

Для общего точечного процесса Пуассона с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ мера первого момента:

$M^{1}(B)=\Lambda (B),$

что для однородного точечного процесса Пуассона с постоянной интенсивностью $\textstyle \lambda$ означает:

$M^{1}(B)=\lambda |B|,$

где $\textstyle |B|$ — это длина, площадь или объём (или, в более общем смысле, мера Лебега ) $\textstyle B$.

Для случая Пуассона с мерой $\textstyle \Lambda$ мера второго момента, определенная на наборе продуктов $(B\times B)$ является:

$M^{2}(B\times B)=\Lambda (B)+\Lambda (B)^{2}.$

что в однородном случае сводится к

$M^{2}(B\times B)=\lambda |B|+(\lambda |B|)^{2}.$

См. также

• Факториальный момент
• Факториальная мера момента
• Момент