Стохастическая геометрия
В математике стохастическая геометрия — это изучение случайных пространственных закономерностей. В основе предмета лежит изучение случайных точечных узоров. Это приводит к теории пространственных точечных процессов и, следовательно, к понятиям обусловленности Пальма, которые распространяются на более абстрактную настройку случайных мер .
Модели [ править ]
Существуют различные модели точечных процессов, обычно основанные на классическом однородном точечном процессе Пуассона (базовая модель полной пространственной случайности ), но выходящие за его рамки, чтобы найти выразительные модели, которые позволяют использовать эффективные статистические методы.
Теория точечных паттернов представляет собой основной строительный блок для генерации процессов случайных объектов, позволяя создавать сложные случайные пространственные паттерны. Самая простая версия, булева модель , помещает случайный компактный объект в каждую точку точечного процесса Пуассона. Более сложные версии допускают взаимодействие, различным образом основанное на геометрии объектов. К различным направлениям применения относятся: создание моделей случайных изображений либо в виде множества-объединения объектов, либо в виде шаблонов перекрывающихся объектов; также создание геометрических моделей для основного точечного процесса (например, распределение точечных рисунков может быть смещено экспоненциальным фактором, включающим площадь объединения объектов; это связано с моделью Уидома – Роулинсона. [1] статистической механики).
Случайный объект [ править ]
Что подразумевается под случайным объектом? Полный ответ на этот вопрос требует теории случайных замкнутых множеств , которая соприкасается с передовыми понятиями теории меры. Основная идея состоит в том, чтобы сосредоточиться на вероятности того, что данный случайный замкнутый набор попадет в заданные тестовые наборы. Возникают вопросы вывода (например, оценки множества, охватывающего заданный набор точек) и теории обобщения средних и т. д., применимые к случайным наборам. В настоящее время устанавливаются связи между этой последней работой и недавними достижениями в области геометрического математического анализа, касающихся общих метрических пространств и их геометрии. Хорошая параметризация конкретных случайных наборов может позволить нам отнести процессы случайных объектов к теории процессов с отмеченными точками; Пары объект-точка рассматриваются как точки в большем пространстве продукта, сформированном как произведение исходного пространства и пространства параметризации.
Линейные и гиперплоские процессы [ править ]
Предположим, нас больше интересуют не компактные объекты, а объекты, которые пространственно расширены: линии на плоскости или плоскости в трехмерном пространстве. Это приводит к рассмотрению линейных процессов, а также процессов флетов или гиперфлетов. Больше не может быть предпочтительного пространственного местоположения для каждого объекта; однако теория может быть преобразована обратно в теорию точечных процессов, представляя каждый объект точкой в подходящем пространстве представления. Например, в случае направленных линий на плоскости пространство представления можно принять за цилиндр. Сложность состоит в том, что тогда евклидовы симметрии движения будут выражаться в пространстве представления несколько необычным способом. Более того, в расчетах необходимо учитывать интересные пространственные отклонения (например, сегменты линий с меньшей вероятностью будут затронуты случайными линиями, которым они почти параллельны), и это обеспечивает интересную и важную связь с чрезвычайно важной областью стереологии , которая в некотором смысле можно рассматривать как еще одну тему стохастической геометрии. Зачастую расчеты лучше всего выполнять с использованием групп строк, попадающих в различные тестовые наборы, а не работая в пространстве представления.
Линейные и гиперплоские процессы имеют свои собственные прямые применения, но также находят применение как один из способов создания мозаики, разделяющей пространство; поэтому, например, можно говорить о мозаике линий Пуассона. Примечательный недавний результат [2] доказывает, что ячейка в начале мозаики линий Пуассона имеет примерно круглую форму, если ее придать большую величину. Конечно, тесселяции в стохастической геометрии можно создавать и другими способами, например, используя конструкции Вороного и варианты конструкций, а также путем итерации различных способов построения.
Происхождение названия [ править ]
Название, похоже, было придумано Дэвидом Кендаллом и Клаусом Крикебергом. [3] во время подготовки к семинару в Обервольфахе в июне 1969 года , хотя предшественники теории простираются гораздо дальше под названием «геометрическая вероятность» . Термин «стохастическая геометрия» также использовался Фришем и Хаммерсли в 1963 году. [4] как одно из двух предложений по названию теории «случайных нерегулярных структур», вдохновленной теорией перколяции .
Приложения [ править ]
Это краткое описание сосредоточено на теории [3] [5] стохастической геометрии, которая позволяет увидеть структуру предмета. Однако большая часть жизни и интересов предмета, а также многие из его оригинальных идей проистекают из очень широкого спектра приложений, например: астрономия, [6] пространственно распределенные телекоммуникации , [7] моделирование и анализ беспроводных сетей, [8] моделирование замирания канала , [9] [10] лесное хозяйство, [11] статистическая теория формы, [12] материаловедение, [13] многомерный анализ , проблемы анализа изображений [14] и стереология . Есть ссылки на статистическую механику, [15] Цепь Маркова Монте-Карло и реализации теории в статистических вычислениях (например, spatstat [16] в Р ). Совсем недавно начали играть роль детерминантные и постоянные точечные процессы (связанные с теорией случайных матриц). [17]
См. также [ править ]
- Функция ближайшего соседа
- Функция распределения сферических контактов
- Факториальная мера момента
- Измерение момента
- Теория перколяции континуума
- Случайные графики
- Пространственная статистика
- Стохастические геометрические модели беспроводных сетей
- Математическая морфология
- Информационная геометрия
- Стохастическая дифференциальная геометрия
Ссылки [ править ]
- ^ Чейес, Джей Ти ; Чейес, Л.; Котецкий, Р. (1995). «Анализ модели Уидома-Роулинсона стохастическими геометрическими методами» . Связь в математической физике . 172 (3): 551–569. Бибкод : 1995CMaPh.172..551C . дои : 10.1007/BF02101808 .
- ^ Коваленко И.Н. (1999). «Упрощенное доказательство гипотезы Д.Г. Кендалла о форме случайных многоугольников» . Журнал прикладной математики и стохастического анализа . 12 (4): 301–310. дои : 10.1155/S1048953399000283 .
- ^ Jump up to: а б См. предисловие в Стоян, Д.; Кендалл, штат Вашингтон; Мекке, Дж. (1987). Стохастическая геометрия и ее приложения . Уайли . ISBN 0-471-90519-4 .
- ^ Фриш, Х.Л.; Хаммерсли, Дж. М. (1963). «Процессы перколяции и связанные с ними темы». SIAM Journal по прикладной математике . 11 (4): 894–918. дои : 10.1137/0111066 .
- ^ Шнайдер, Р .; Вейль, В. (2008). Стохастическая и интегральная геометрия . Вероятность и ее приложения. Спрингер . дои : 10.1007/978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4 . МР 2455326 .
- ^ Мартинес, виджей; Саар, Э. (2001). Статистика распределения галактик . Чепмен и Холл . ISBN 1-58488-084-8 .
- ^ Бачелли, Ф.; Кляйн, М.; Лебурж, М.; Зуев, С. (1997). «Стохастическая геометрия и архитектура сетей связи». Телекоммуникационные системы . 7 : 209–227. дои : 10.1023/A:1019172312328 .
- ^ М. Хэнгги. Стохастическая геометрия для беспроводных сетей . Издательство Кембриджского университета, 2012.
- ^ Питербарг, VI; Вонг, КТ (2005). «Коэффициент пространственной корреляции на базовой станции в явном аналитическом выражении в закрытой форме, обусловленный гетерогенно распределенными по Пуассону рассеивателями». Антенны IEEE и письма о распространении беспроводной связи . 4 (1): 385–388. Бибкод : 2005IAWPL...4..385P . дои : 10.1109/LAWP.2005.857968 .
- ^ Абдулла, М.; Шаян, Ю.Р. (2014). «Крупномасштабное замирание в сотовой сети с равномерным пространственным распределением». Беспроводная связь и мобильные вычисления . 4 (7): 1–17. arXiv : 1302.0891 . дои : 10.1002/WCM.2565 .
- ^ Стоян, Д.; Пенттинен, А. (2000). «Недавние применения методов точечных процессов в статистике лесного хозяйства». Статистическая наука . 15 : 61–78.
- ^ Кендалл, генеральный директор (1989). «Обзор статистической теории формы» . Статистическая наука . 4 (2): 87–99. дои : 10.1214/ss/1177012582 .
- ^ Торквато, С. (2002). Случайно-неоднородные материалы . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-95167-9 .
- ^ Ван Лисхаут, MNM (1995). Модели стохастической геометрии в анализе изображений и пространственной статистике . Трактат КРИ, 108. КРИ . ISBN 90-6196-453-9 .
- ^ Георгий, Х.-О.; Хэггстрем, О.; Мэйс, К. (2001). «Случайная геометрия равновесных фаз». Фазовые переходы и критические явления . Том. 18. Академическая пресса . стр. 1–142.
- ^ Бэддели, А.; Тернер, Р. (2005). «Spatstat: пакет R для анализа шаблонов пространственных точек» . Журнал статистического программного обеспечения . 12 (6): 1–42. дои : 10.18637/jss.v012.i06 .
- ^ МакКаллах, П.; Мёллер, Дж. (2006). «Перманентный процесс». Достижения в области прикладной теории вероятности . 38 (4): 873–888. дои : 10.1239/aap/1165414583 .
| Базы данных органов управления : Национальные |
|---|
