Теория перколяции континуума
В математике и вероятностей теории теория перколяции континуума — это раздел математики, который расширяет дискретную теорию перколяции на непрерывное пространство (часто евклидово пространство ). н ). Более конкретно, основные точки дискретной перколяции образуют типы решеток, тогда как основные точки континуальной перколяции часто располагаются случайным образом в некотором непрерывном пространстве и образуют своего рода точечный процесс . Для каждой точки на ней часто размещается случайная форма, и формы перекрывают друг друга, образуя комки или компоненты. Как и в случае дискретной перколяции, общим направлением исследований континуальной перколяции является изучение условий возникновения бесконечных или гигантских компонентов. [1] [2] В этих двух типах теории перколяции, а также в изучении случайных графов и случайных геометрических графов существуют и другие общие концепции и методы анализа .
Проникновение континуума возникло из ранней математической модели беспроводных сетей . [2] [3] который, с появлением в последние годы нескольких технологий беспроводных сетей, был обобщен и изучен с целью определения теоретических границ информационной емкости и производительности в беспроводных сетях. [4] [5] В дополнение к этому, перколяция континуума получила применение в других дисциплинах, включая биологию, геологию и физику, таких как изучение пористых материалов и полупроводников , став при этом самостоятельным предметом математического интереса. [6]
Ранняя история
[ редактировать ]В начале 1960-х Эдгар Гилберт [3] предложил математическую модель беспроводных сетей, которая положила начало теории континуальной перколяции, тем самым обобщив дискретную перколяцию. [2] Основные точки этой модели, иногда известной как модель диска Гилберта, были равномерно разбросаны в бесконечной плоскости ℝ 2 по однородному процессу Пуассона . Гилберт, который заметил сходство между дискретной и континуальной перколяцией, [7] затем использовал концепции и методы из области вероятности ветвящихся процессов , чтобы показать, что существует пороговое значение для бесконечной или «гигантской» компоненты.
Определения и терминология
[ редактировать ]Точные названия, терминология и определения этих моделей могут незначительно отличаться в зависимости от источника, что также отражается на использовании обозначения точечного процесса .
Распространенные модели
[ редактировать ]Существует ряд хорошо изученных моделей перколяции континуума, которые часто основаны на однородных точечных процессах Пуассона .
Модель диска
[ редактировать ]Рассмотрим набор точек { x i } на плоскости ℝ 2 образующие однородный пуассоновский процесс Φ с постоянной (точечной) плотностью λ . Для каждой точки пуассоновского процесса (т. е. x i ∈ Φ ) поместите диск Di с центром , расположенным в точке x i . Если каждый диск D i имеет случайный радиус R i (из общего распределения ), который не зависит от всех других радиусов и всех лежащих в его основе точек { x i } , то результирующая математическая структура известна как модель случайного диска.
Булева модель
[ редактировать ]объединение множеств всех дисков { D i } Для модели случайного диска, если взять , то результирующая структура ⋃ i D i известна как булева модель – Пуассона (также известная как просто булева модель ), [8] которая является широко изучаемой моделью перколяции в континууме [1] а также стохастическая геометрия . [8] Если для всех радиусов задана некоторая общая константа, скажем, r > 0 , то результирующую модель иногда называют моделью диска Гилберта (булевой). [9]
Модель зародышевого зерна
[ редактировать ]Модель диска можно обобщить на более произвольные формы, где вместо диска используется случайный компакт (следовательно, ограниченный и замкнутый в ℝ 2 ) фигура S i помещается в каждую точку x i . Опять же, каждая форма S i имеет общее распределение и не зависит от всех других форм и основного (пуассоновского) точечного процесса. Эта модель известна как модель зародыш-зерно, где основные точки { x i } являются зародышами , а случайные компактные формы S i являются зернами . Объединение множеств всех фигур образует булеву модель зародышевого зерна. Типичный выбор зерен включает диски, случайный многоугольник и сегменты случайной длины. [8]
Булевы модели также являются примерами стохастических процессов, известных как процессы покрытия. [10] Вышеуказанные модели можно выдвигать из плоскости ℝ 2 в общее евклидово пространство ℝ н .
Компоненты и критичность
[ редактировать ]В модели Буля–Пуассона диски могут представлять собой изолированные группы или сгустки дисков, не контактирующие ни с какими другими сгустками дисков. Эти комки известны как компоненты. Если площадь (или объем в более высоких измерениях) компонента бесконечна, говорят, что это бесконечный или «гигантский» компонент. Основное внимание теории перколяции уделяется установлению условий, при которых в моделях существуют гигантские компоненты, что имеет параллели с изучением случайных сетей. Если большого компонента не существует, модель называется подкритической. Условия критичности гигантского компонента естественным образом зависят от таких параметров модели, как плотность основного точечного процесса.
Теория исключенных зон
[ редактировать ]Исключенная область размещаемого объекта определяется как минимальная область вокруг объекта, в которую не может быть помещен дополнительный объект без перекрытия с первым объектом. Например, в системе случайно ориентированных однородных прямоугольников длины l , ширины w и соотношения сторон r = l / w , средняя исключенная площадь определяется по формуле: [11]
![{\displaystyle A_{r}=2lw\left(1+{\frac {4}{\pi ^{2}}}\right)+{\frac {2}{\pi }}\left(l^{ 2}+w^{2}\right)=2l^{2}\left[{\frac {1}{r}}\left(1+{\frac {4}{\pi ^{2}}} \right)+{\frac {1}{\pi }}\left(1+{\frac {1}{r^{2}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754d99b8b772aa1f90af80030e56d2809fda0370)
В системе одинаковых эллипсов с полуосями a и b и отношением r = a / b и периметр C , среднее значение исключенных площадей определяется по формуле: [12]
Теория исключенных зон утверждает, что критическая плотность числа (порог перколяции) N c системы обратно пропорциональна средней исключенной площади A r :
С помощью моделирования Монте-Карло было показано, что порог перколяции как в однородных, так и в неоднородных системах прямоугольников или эллипсов определяется средними исключенными областями и может быть достаточно хорошо аппроксимирован линейным соотношением
с константой пропорциональности в диапазоне 3,1–3,5. [11] [12]
Приложения
[ редактировать ]
Приложения теории перколяции разнообразны и варьируются от материаловедения до систем беспроводной связи . Часто работа включает в себя демонстрацию того, что тот или иной фазовый переход в системе происходит .
Беспроводные сети
[ редактировать ]использовалась перколяция континуума Беспроводные сети иногда лучше всего представляются стохастическими моделями из-за их сложности и непредсказуемости, поэтому для разработки стохастических геометрических моделей беспроводных сетей . Например, инструменты теории непрерывной перколяции и процессов покрытия использовались для изучения покрытия и связности сенсорных сетей . [13] [14] Одним из основных ограничений этих сетей является энергопотребление: обычно каждый узел имеет батарею и встроенную форму сбора энергии. Чтобы снизить потребление энергии в сенсорных сетях, были предложены различные схемы сна, которые влекут за собой переход подгруппы узлов в спящий режим с низким энергопотреблением. Эти схемы сна, очевидно, влияют на покрытие и возможность подключения сенсорных сетей. Были предложены простые модели энергосбережения, такие как простая нескоординированная модель «мигания», в которой (в каждом временном интервале) каждый узел независимо выключается (или включается) с некоторой фиксированной вероятностью. Используя инструменты теории перколяции, была проанализирована мигающая булева модель Пуассона для изучения эффектов задержки и связности такой простой схемы питания. [13]
См. также
[ редактировать ]- Стохастические геометрические модели беспроводных сетей
- Случайные графики
- Булева модель (теория вероятностей)
- Пороги перколяции
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Мистер, Р. (1996). Континуальная перколяция . Том. 119. Издательство Кембриджского университета. [ ISBN отсутствует ]
- ^ Перейти обратно: а б с Франческетти, М.; Мистер, Р. (2007). Случайные сети для коммуникации: от статистической физики к информационным системам . Том. 24. Издательство Кембриджского университета. [ ISBN отсутствует ]
- ^ Перейти обратно: а б Гилберт, EN (1961). «Случайные плоские сети». Журнал Общества промышленной и прикладной математики . 9 (4): 533–543. дои : 10.1137/0109045 .
- ^ Дусс, О.; Бачелли, Ф.; Тиран, П. (2005). «Влияние помех на возможность подключения в одноранговых сетях». Транзакции IEEE/ACM в сети . 13 (2): 425–436. CiteSeerX 10.1.1.5.3971 . дои : 10.1109/tnet.2005.845546 . S2CID 1514941 .
- ^ Дусс, О.; Франческетти, М.; Макрис, Н.; Мистер, Р.; Тиран, П. (2006). «Просачивание на графике отношения сигнал/помеха» . Журнал прикладной вероятности . 2006 (2): 552–562. дои : 10.1239/яп/1152413741 .
- ^ Бальберг, И. (1987). «Последние достижения в области просачивания континуума». Философский журнал Б. 56 (6): 991–1003. Бибкод : 1987PMagB..56..991B . дои : 10.1080/13642818708215336 .
- ^ Холл, П. (1985). «О просачивании континуума» . Анналы вероятности . 13 (4): 1250–1266. дои : 10.1214/aop/1176992809 .
- ^ Перейти обратно: а б с Стоян, Д.; Кендалл, штат Вашингтон; Мекке, Дж.; Рушендорф, Л. (1995). Стохастическая геометрия и ее приложения . Том. 2. Уайли Чичестер. [ ISBN отсутствует ]
- ^ Балистер, Пол; Саркар, амиты; Боллобас, Бела (2008). «Просачивание, связность, покрытие и раскраска случайных геометрических графов». Справочник по крупномасштабным случайным сетям . стр. 117–142. [ ISBN отсутствует ]
- ^ Холл, П. (1988). Введение в теорию процессов покрытия . Том. 1. Нью-Йорк: Уайли. [ ISBN отсутствует ]
- ^ Перейти обратно: а б Ли, Цзяньтун; Эстлинг, Микаэль (2013). «Пороги перколяции двумерных континуальных систем прямоугольников». Физический обзор E . 88 (1): 012101. Бибкод : 2013PhRvE..88a2101L . дои : 10.1103/PhysRevE.88.012101 . ISSN 1539-3755 . ПМИД 23944408 . S2CID 21438506 .
- ^ Перейти обратно: а б Ли, Цзяньтун; Эстлинг, Микаэль (2016). «Точные пороги перколяции двумерных случайных систем, состоящих из перекрывающихся эллипсов» . Физика А: Статистическая механика и ее приложения . 462 : 940–950. Бибкод : 2016PhyA..462..940L . дои : 10.1016/j.physa.2016.06.020 . ISSN 0378-4371 .
- ^ Перейти обратно: а б Дусс, О.; Маннерсало, П.; Тиран, П. (2004). «Задержка беспроводных сенсорных сетей с несогласованными механизмами энергосбережения». Материалы 5-го Международного симпозиума ACM по мобильным одноранговым сетям и вычислениям . АКМ. стр. 109–120.
- ^ Гуй, К.; Мохапатра, П. (2004). «Энергосбережение и качество наблюдения в сетях датчиков сопровождения целей». Материалы 10-й ежегодной международной конференции по мобильным вычислениям и сетям . АКМ. стр. 129–143.