Стохастические геометрические модели беспроводных сетей

В математике и телекоммуникациях основанным модели стохастической геометрии беспроводных сетей относятся к математическим моделям, на стохастической геометрии , которые предназначены для представления аспектов беспроводных сетей . Соответствующее исследование состоит из анализа этих моделей с целью лучшего понимания сетей беспроводной связи, чтобы прогнозировать и контролировать различные показатели производительности сети. Модели требуют использования методов стохастической геометрии и смежных областей, включая точечные процессы , пространственную статистику , геометрическую вероятность , перколяции теорию , а также методы более общих математических дисциплин, таких как геометрия , теория вероятностей , случайные процессы , теория массового обслуживания , теория информации и т. д. Анализ Фурье .

В начале 1960-х годов модель стохастической геометрии был разработан для изучения беспроводных сетей. Эта модель считается новаторской и источником просачивания континуума . Сетевые модели, основанные на геометрической вероятности, были позже предложены и использовались в конце 1970-х годов. и продолжалось на протяжении 1980-х годов. для исследования сетей пакетной радиосвязи . Позже их использование значительно расширилось для изучения ряда технологий беспроводных сетей, включая мобильные одноранговые сети , сенсорные сети , автомобильные одноранговые сети , сети когнитивного радио и несколько типов сотовых сетей , таких как гетерогенные сотовые сети . Ключевые показатели производительности и качества обслуживания часто основаны на концепциях теории информации, таких как соотношение сигнал-помеха-плюс-шум , которое формирует математическую основу для определения сетевого подключения и покрытия.

Основная идея, лежащая в основе исследования этих моделей стохастической геометрии, также известных как случайные пространственные модели , заключается в том, что лучше всего предположить, что расположение узлов или структура сети и вышеупомянутые величины носят случайный характер из-за размера и непредсказуемости пользователей в беспроводных сетях. Использование стохастической геометрии может затем позволить получить выражения в замкнутой или полузамкнутой форме для этих величин, не прибегая к методам моделирования или (возможно, трудноразрешимым или неточным) детерминистическим моделям .

Обзор

Дисциплина стохастическая геометрия влечет за собой математическое исследование случайных объектов, определенных в некотором (часто евклидовом ) пространстве. В контексте беспроводных сетей случайные объекты обычно представляют собой простые точки (которые могут представлять расположение сетевых узлов, таких как приемники и передатчики) или формы (например, зона покрытия передатчика), а евклидово пространство представляет собой либо 3- мерная или, чаще, (2-мерная) плоскость, представляющая географический регион. В беспроводных сетях (например, сотовых сетях) базовая геометрия (относительное расположение узлов) играет фундаментальную роль из-за помех других передатчиков, тогда как в проводных сетях (например, Интернет ) базовая геометрия менее важна.

Каналы в беспроводной сети

Три типа каналов или ситуации подключения в беспроводных сетях

Беспроводную сеть можно рассматривать как совокупность ( теоретически информационных ) каналов, разделяющих пространство и некоторую общую полосу частот. Каждый канал состоит из набора передатчиков, пытающихся отправить данные набору приемников. Самый простой канал — это канал «точка-точка» , в котором используется один передатчик, предназначенный для отправки данных на один приемник. Вещательный канал, в терминологии теории информации, Это ситуация «один ко многим» , когда один передатчик направлен на отправку разных данных разным получателям, и она возникает, например, в нисходящей линии связи сотовой сети. Канал множественного доступа является обратным: несколько передатчиков предназначены для отправки разных данных на один приемник. Такая ситуация «многие к одному» возникает, например, в восходящей линии связи сотовых сетей. Существуют и другие типы каналов, например, ситуация «многие ко многим». Эти (теоретически информационные) каналы также называются сетевыми каналами, многие из которых будут одновременно активны в любой момент времени.

Геометрические объекты, представляющие интерес в беспроводных сетях

Существует ряд примеров геометрических объектов, которые могут представлять интерес для беспроводных сетей. Например, рассмотрим набор точек на евклидовой плоскости. Для каждой точки поместите на плоскости диск, центр которого находится в этой точке. Дискам разрешено перекрываться друг с другом, а радиус каждого диска является случайным и (стохастически) независимым от всех других радиусов. Математический объект, состоящий из объединения всех этих дисков, известен как булева модель (случайный диск). и может представлять собой, например, зону чувствительности сенсорной сети. Если все радиусы не случайны, а имеют общую положительную константу, то результирующая модель известна как модель диска Гилберта (булева).

Логическая модель как модель покрытия в беспроводной сети

Моделирование четырех моделей Пуассона – Буля (постоянный радиус или диск Гилберта) по мере увеличения плотности с наибольшими кластерами, выделенными красным.

Вместо размещения дисков на плоскости можно назначить каждому узлу непересекающуюся (или непересекающуюся) подобласть. Затем плоскость разбивается на набор непересекающихся подобластей. Например, каждая подобласть может состоять из совокупности всех мест этой плоскости, которые находятся ближе к некоторой точке базового массива точек, чем к любой другой точке точечного массива. Эта математическая структура известна как мозаика Вороного и может представлять, например, ячейки ассоциации в сотовой сети, где пользователи связываются с ближайшей базовой станцией.

Вместо размещения диска или ячейки Вороного в точке можно разместить ячейку, определенную из теоретических информационных каналов, описанных выше. Например, ячейка канала «точка-точка» точки была определена как совокупность всех мест плоскости, где приемник может поддерживать канал «точка-точка» с определенным качеством от передатчика, расположенного в этой точке. Это, учитывая, что другая точка также является активным передатчиком, само по себе является каналом «точка-точка».

В каждом случае тот факт, что базовый шаблон точек является случайным (например, точечный процесс) или детерминированным (например, решетка точек) или некоторой комбинацией того и другого, будет влиять на природу булевой модели, мозаики Вороного. и другие геометрические структуры, такие как ячейки двухточечного канала, построенные из него.

Ключевые показатели производительности

В проводной связи область теории информации (в частности, теорема Шеннона-Хартли ) мотивирует необходимость изучения отношения сигнал/шум (SNR). В беспроводной связи, когда несколько каналов активны одновременно, помехи от других каналов рассматриваются как шум, что мотивирует необходимость определения величины, известной как отношение сигнал-помеха-плюс-шум (SINR). ). Например, если у нас есть набор каналов «точка-точка», SINR канала конкретной пары передатчик-приемник определяется как:

${\text{SINR}}={\frac {S}{I+N}}$

где S — мощность в приемнике входящего сигнала от указанного передатчика, I — совокупная мощность всех остальных (мешающих) передатчиков в сети, а N — мощность некоторого члена теплового шума. SINR , уменьшается до SNR когда нет помех (т. е. I = 0). В сетях, где шум незначителен, также известных как сети с «ограничением помех», мы N = 0, что дает отношение сигнал/помеха (SIR).

Покрытие

Общей целью моделей беспроводной сети со стохастической геометрией является получение выражений для SINR или для функций SINR, которые определяют покрытие (или сбой) и возможность подключения. Например, концепция вероятности сбоя , _pout которая неформально представляет собой вероятность невозможности успешной отправки сигнала по каналу, в случае двухточечной связи становится более точной, определяя ее как вероятность того, что SINR канала меньше или равен некоторому пороговому значению, зависящему от сети. Вероятность покрытия p _c тогда представляет собой вероятность того, что SINR больше порогового значения SINR. Короче говоря, учитывая пороговое значение SINR t , вероятности сбоя и покрытия определяются выражением

$p_{\text{out}}=P({\text{SINR}}\leq t)$

и

$p_{\text{c}}=P({\text{SINR}}>t)=1-p_{\text{out}}$.

Ячейки SINR модели беспроводной сети расширяются по мере увеличения мощности передатчика.

Пропускная способность канала

Одной из целей моделей стохастической геометрии является получение вероятностных законов пропускной способности канала Шеннона или скорости типичного канала с учетом помех, создаваемых всеми другими каналами.

В случае канала «точка-точка» помехи, создаваемые другими передатчиками, рассматриваются как шум, и когда этот шум является гауссовым , закон типичной пропускной способности канала Шеннона затем определяется законом SINR по формуле Шеннона (в битах) . в секунду):

$C=B\log _{2}(1+{\text{SINR}})$

где B — пропускная способность канала в герцах . Другими словами, существует прямая зависимость между вероятностью покрытия или сбоя и пропускной способностью канала Шеннона. Проблема определения распределения вероятностей C при такой случайной настройке изучалась в нескольких типах архитектур или типов беспроводных сетей.

Ранняя история

В целом, использование методов теорий вероятности и случайных процессов в системах связи имеет долгую и переплетенную историю, уходящую более чем за столетие до новаторских работ Агнера Эрланга в области телетрафика . В рамках моделей стохастической геометрии Эдгар Гилберт в 1960-х годах предложил математическую модель беспроводных сетей, теперь известную как модель диска Гилберта. это привело к появлению теории континуальной перколяции, которая, в свою очередь, является обобщением дискретной перколяции. Начиная с конца 1970-х годов Леонард Кляйнрок и другие использовали беспроводные модели, основанные на процессах Пуассона, для изучения сетей с пересылкой пакетов. Эта работа продолжалась до 1990-х годов, где она пересеклась с работами по дробовому шуму.

Шум выстрела

Общая теория и методы стохастической геометрии и, в частности, точечных процессов часто мотивировались пониманием типа шума , возникающего в электронных системах, известного как дробовой шум . Для некоторых математических функций точечного процесса стандартным методом нахождения среднего значения (или математического ожидания ) суммы этих функций является формула Кэмпбелла или теорема, которая берет свое начало в новаторской работе Нормана Р. Кэмпбелла о дробовом шуме, проведенной более века назад. Намного позже, в 1960-х годах, Гилберт вместе с Генри Поллаком изучал процесс дробового шума. формируется из суммы функций отклика пуассоновского процесса и одинаково распределенных случайных величин. Процесс дробового шума вдохновил на более формальные математические работы в области точечных процессов. часто предполагает использование характеристических функций и позже будет использоваться для моделей помех сигналов от других узлов сети.

Сетевые помехи в виде дробового шума

Примерно в начале 1990-х годов был изучен дробовой шум, основанный на процессе Пуассона и степенной функции отталкивания, и было обнаружено его стабильное распределение . Независимо, исследователи успешно разработал методы преобразования Фурье и Лапласа для определения помех, испытываемых пользователем в беспроводной сети, в которых местоположения (мешающих) узлов или передатчиков расположены в соответствии с процессом Пуассона. Независимо было снова показано, что дробовой шум Пуассона, который теперь служит моделью помех, имеет стабильное распределение. с помощью характеристических функций или, что то же самое, преобразований Лапласа, с которыми часто легче работать, чем с соответствующими распределениями вероятностей.

Более того, предположение о экспоненциальном распределении мощности принятого (т. е. полезного) сигнала (например, из-за рэлеевского замирания) и дробового шума Пуассона (для которого известен коэффициент Лапласа) позволяет получить явное выражение в замкнутой форме для вероятности покрытия на основе на СИНР. Это наблюдение помогает объяснить, почему о замирании Рэлея. при построении моделей стохастической геометрии часто делается предположение

Модели покрытия и подключения SINR

Позже, в начале 2000-х годов, исследователи начали изучать свойства областей покрытия SINR в рамках стохастической геометрии и, в частности, процессов покрытия. Связность с точки зрения SINR изучалась с использованием методов теории перколяции континуума. Более конкретно, ранние результаты Гилберта были обобщены на случай SINR.

Основы модели

Беспроводная сеть состоит из узлов (каждый из которых является передатчиком, приемником или и тем, и другим, в зависимости от системы), которые производят, ретранслируют или потребляют данные внутри сети. Например, базовые станции и пользователи в сети сотовой связи или сенсорные узлы в сенсорной сети. Прежде чем разрабатывать беспроводные модели стохастической геометрии , необходимы модели для математического представления распространения сигнала и положения узла. Модель распространения отражает, как сигналы распространяются от передатчиков к приемникам. Модель расположения или позиционирования узлов (идеализирует и) представляет положения узлов как точечный процесс. Выбор этих моделей зависит от характера беспроводной сети и ее среды. Тип сети зависит от таких факторов, как конкретная архитектура (например, сотовая) и протокол управления доступом к каналу или среде (MAC), который управляет каналами и, следовательно, связующими структурами сети. В частности, чтобы предотвратить коллизию передач в сети, протокол MAC на основе определенных правил диктует, когда пары передатчик-приемник могут получить доступ к сети как во времени, так и в пространстве, что также влияет на модель позиционирования активного узла.

Модель распространения

Необходимы подходящие и управляемые модели для распространения электромагнитных сигналов (или волн) через различные среды , такие как воздух, с учетом многолучевого распространения (из-за отражения, преломления, дифракции и дисперсии), вызванного столкновением сигналов с препятствиями, такими как здания. Модель распространения является строительным блоком модели беспроводной сети со стохастической геометрией. Распространенный подход заключается в рассмотрении моделей распространения с двумя отдельными частями, состоящими из случайной и детерминированной (или неслучайной) компоненты распространения сигнала.

Детерминированный компонент обычно представляет собой некоторую функцию потерь на трассе или затухания, которая использует расстояние, распространяемое сигналом (от его источника), для моделирования затухания мощности электромагнитных сигналов. Функция потерь на трассе, зависящая от расстояния, может быть простой степенной функцией (например, модель Хаты ), быстро убывающей экспоненциальной функцией, некоторой комбинацией того и другого или другой убывающей функцией. Благодаря своей гибкости модели часто включают в себя степенную функцию.

$\ell (|x-y|)=|x-y|^{\alpha }$,

где показатель потерь на трассе α > 2 и | х - у | обозначает расстояние между точкой y и источником сигнала в точке x .

Случайная составляющая стремится уловить определенные типы затухания сигнала, связанные с поглощением и отражением от препятствий. экспоненциальные случайные Используемые модели затухания включают распределения Рэлея (предполагающие величины для мощности), логнормальное распределение , распределение Райса и Накагами .

Как детерминированные, так и случайные компоненты распространения сигнала обычно считаются вредными для общей производительности беспроводной сети.

Модель позиционирования узла

Важной задачей в сетевых моделях стохастической геометрии является выбор математической модели расположения узлов сети. Стандартное предположение состоит в том, что узлы представлены (идеализированными) точками в некотором пространстве (часто евклидовом R ^н , а еще чаще в плоскости R ² ), что означает, что они образуют стохастическую или случайную структуру, известную как (пространственный) точечный процесс.

Согласно одному статистическому исследованию, расположение базовых станций сотовой или мобильной связи в австралийском городе Сидней напоминает реализацию точечного процесса Пуассона.

Пуассоновский процесс

Для моделирования расположения узлов беспроводной сети был предложен ряд точечных процессов. Среди них наиболее часто используется процесс Пуассона , который дает сетевую модель Пуассона. Процесс Пуассона в целом широко используется в качестве математической модели во многих дисциплинах из-за его легко управляемого и хорошо изученного характера. Часто предполагается, что процесс Пуассона является однородным (подразумевается, что это стационарный процесс ) с некоторой постоянной плотностью узлов λ . Для пуассоновского процесса на плоскости это означает, что вероятность наличия n точек или узлов в ограниченной области B определяется выражением

$P(n)={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|},$

где | Б | это площадь B и n ! обозначает n факториал. Приведенное выше уравнение быстро распространяется на R ³ случае путем замены термина площади термином объема .

Математическая понятность или простота работы с моделями Пуассона обусловлены главным образом их «полной независимостью», которая, по сути, означает, что две (или более) непересекающиеся (или непересекающиеся) ограниченные области соответственно содержат две (или более) точки Пуассона. которые независимы друг от друга. Это важное свойство характеризует процесс Пуассона и часто используется в качестве его определения.

Полная независимость или «случайность» свойство пуассоновых процессов приводит к некоторым полезным характеристикам и результатам операций точечного процесса, таким как свойство суперпозиции: суперпозиция $n$ Пуассоновские процессы с плотностью от λ ₁ до λ _n — это еще один пуассоновский процесс с плотностью

$\lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}.$

Более того, случайное прореживание пуассоновского процесса (с плотностью λ ), где каждая точка независимо удаляется (или сохраняется) с некоторой вероятностью p (или 1 − p ), образует другой пуассоновский процесс (с плотностью (1 − p ) λ ), в то время как сохраненные точки также образуют процесс Пуассона (с плотностью pλ ), который не зависит от процесса Пуассона удаленных точек.

Эти свойства и определение однородного пуассоновского процесса распространяются на случай неоднородного (или неоднородного) пуассоновского процесса, который представляет собой нестационарный случайный процесс с зависящей от местоположения плотностью λ ( x ), где x - точка ( обычно в плоскости, R ² ). Для получения дополнительной информации см. статьи о процессе Пуассона.

Другие точечные процессы

Несмотря на свой упрощающий характер, свойство независимости процесса Пуассона подвергалось критике за то, что оно не реалистично отражает конфигурацию развернутых сетей. Например, он не фиксирует «отталкивание» узлов, когда два (или более) узла в беспроводной сети обычно не могут быть размещены (произвольно) близко друг к другу (например, базовые станции в сотовой сети). В дополнение к этому, протоколы MAC часто вызывают корреляции или непуассоновские конфигурации в геометрии одновременно активного шаблона передатчика. Сильные корреляции также возникают в случае сетей когнитивного радио, где вторичным передатчикам разрешено осуществлять передачу только в том случае, если они находятся далеко от первичных приемников. Чтобы ответить на эту и другие критические замечания, был предложен ряд точечных процессов, представляющих расположение узлов, включая биномиальный процесс, кластерные процессы, жесткие процессы Матерна, и процессы Штрауса и Жинибре. Например, жесткие процессы Матерна строятся путем зависимого прореживания точечного процесса Пуассона. Зависимое прореживание выполняется таким образом, что для любой точки результирующего жесткого процесса не существует других точек в пределах определенного заданного радиуса от нее, таким образом создается «жесткое ядро» вокруг каждой точки процесса. С другой стороны, процессы с мягким ядром имеют точечное отталкивание, которое находится где-то между процессами с жестким ядром и процессами Пуассона (которые не имеют отталкивания). Более конкретно, вероятность существования точки рядом с другой точкой в ​​точечном процессе мягкого ядра некоторым образом уменьшается по мере приближения к другой точке, таким образом создавая «мягкое ядро» вокруг каждой точки, где другие точки могут существовать, но менее значимы. вероятный.

Хотя модели, основанные на этих и других точечных процессах, в некоторых ситуациях, например в конфигурации базовых станций сотовой связи, приближаются к реальности. они часто теряют управляемость, в то время как процесс Пуассона значительно упрощает математику и методы, что объясняет его постоянное использование для разработки стохастических геометрических моделей беспроводных сетей. Кроме того, было показано, что распределение SIR непуассоновских сотовых сетей можно точно аппроксимировать путем применения горизонтального сдвига к распределению SIR пуассоновской сети.

Классификация моделей

Тип сетевой модели представляет собой комбинацию таких факторов, как архитектурная организация сети (сотовая, одноранговая , когнитивная радиосвязь), используемый протокол управления доступом к среде (MAC), приложение, работающее на нем, а также является ли сеть мобильной или статический.

Модели, основанные на конкретных сетевых архитектурах

Примерно в начале 21 века возник ряд новых сетевых технологий, включая мобильные одноранговые сети и сенсорные сети. Для разработки моделей этих сетей использовались стохастическая геометрия и методы перколяции. Увеличение пользовательского трафика привело к применению стохастической геометрии в сотовых сетях.

мобильных одноранговых сетей Модели

Модель биполярной сети Пуассона представляет собой тип модели стохастической геометрии, основанной на процессе Пуассона, и является ранним примером модели мобильных одноранговых сетей (MANET). которые представляют собой самоорганизующуюся сеть беспроводной связи, в которой мобильные устройства не зависят от инфраструктуры (базовых станций или точек доступа). В моделях MANET передатчики образуют случайный точечный процесс, и приемник каждого передатчика расположен на некотором случайном расстоянии и в произвольной ориентации. Каналы образуют набор пар передатчик-приемник или «биполей»; сигнал канала передается по соответствующему биполюсу, тогда как помехи создаются всеми другими передатчиками, кроме сигнала биполя. Подход к рассмотрению биполей передатчик-приемник привел к разработке и анализу одной из моделей биполярной сети Пуассона. В частности, был сделан выбор вероятности доступа к среде, которая максимизирует среднее количество успешных передач на единицу пространства.

Модели сенсорных сетей

Беспроводная сенсорная сеть состоит из пространственно распределенного набора автономных сенсорных узлов. Каждый узел предназначен для мониторинга физических условий или условий окружающей среды, таких как температура, звук, давление и т. д. и совместно передавать собранные данные через сеть в основное место. В неструктурированных сенсорных сетях развертывание узлов может осуществляться случайным образом. Главным критерием эффективности всех сенсорных сетей является способность сети собирать данные, что обуславливает необходимость количественной оценки покрытия или зоны обнаружения сети. Также важно оценить возможность подключения сети или ее способность передавать собранные данные обратно в основное место.

Случайный характер неструктурированных сетей датчиков мотивировал использование методов стохастической геометрии. Например, для изучения покрытия и связности использовались инструменты теории непрерывной перколяции и процессов покрытия. Одной из моделей, которая используется для изучения этих сетей и беспроводных сетей в целом, является модель Пуассона-Буля , которая представляет собой тип процесса покрытия из теории перколяции континуума .

Одним из основных ограничений сенсорных сетей является энергопотребление, при котором обычно каждый узел имеет батарею и, возможно, встроенную форму сбора энергии. Чтобы снизить потребление энергии в сенсорных сетях, были предложены различные схемы сна, которые влекут за собой переход подгруппы узлов в спящий режим с низким энергопотреблением. Эти схемы сна, очевидно, влияют на покрытие и возможность подключения сенсорных сетей. Были предложены элементарные модели энергосбережения, такие как простая нескоординированная или децентрализованная «мигающая» модель, в которой (в каждый интервал времени) каждый узел независимо выключается (или включается) с некоторой фиксированной вероятностью. Используя инструменты теории перколяции, была предложена модель нового типа, называемая мигающей булевой моделью Пуассона, для анализа задержки и производительности подключения сенсорных сетей с такими схемами сна.

Модели сотовой сети

Сотовая сеть — это радиосеть, распределенная по некоторому региону с подразделениями, называемыми ячейками, каждое из которых обслуживается как минимум одним приемопередатчиком с фиксированным местоположением , известным как базовая станция соты. В сотовых сетях каждая сота использует набор частот, отличный от соседних ячеек, для уменьшения помех и обеспечения более высокой пропускной способности внутри каждой соты. Операторам сотовых сетей необходимо знать определенные показатели производительности или качества обслуживания (QoS) для определения размеров сетей, что означает регулировку плотности развернутых базовых станций для удовлетворения потребностей пользовательского трафика для требуемого уровня QoS.

В сотовых сетях канал от пользователей (или телефонов) к базовой станции (станциям) известен как канал восходящей линии связи. И наоборот, канал нисходящей линии связи идет от базовой станции(й) к пользователям. Канал нисходящей линии связи является наиболее изученным с помощью моделей стохастической геометрии, в то время как модели для случая восходящей линии связи, который является более сложной проблемой, начинают разрабатываться.

В случае нисходящей линии связи передатчики и приемники можно рассматривать как два отдельных точечных процесса. В простейшем случае на каждый приемник (т. е. пользователя) имеется один двухточечный канал, и для данного приемника этот канал идет от ближайшего передатчика (т. е. базовой станции) к приемнику. Другой вариант состоит в выборе передатчика с наилучшей мощностью сигнала для приемника. В любом случае каналов с одним и тем же передатчиком может быть несколько.

Первый подход к анализу сотовых сетей заключается в рассмотрении типичного пользователя, который, как можно предположить, находится в любой точке плоскости. В предположении эргодичности точечного процесса (удовлетворяемого при использовании однородных процессов Пуассона) результаты для типичного пользователя соответствуют средним значениям пользователя. Вероятность покрытия типичного пользователя затем интерпретируется как доля пользователей сети, которые могут подключиться к сотовой сети.

Опираясь на предыдущую работу над моделью Aloha , вероятность покрытия типичного пользователя была получена для сети Пуассона. Пуассоновая модель сотовой сети оказывается более удобной, чем гексагональная модель. Между тем, это наблюдение можно аргументировать тем фактом, что подробный и точный вывод функции распределения вероятности затухания канала между случайным узлом и опорной базовой станцией для гексагональной модели был явно получен; и этот результат можно использовать для удобного определения вероятности отключения электроэнергии.

При наличии достаточно сильного и независимого логнормального затухания (или затенения) тени и сингулярной степенной функции затухания это наблюдалось путем моделирования. для гексагональных сетей, а затем математически доказано что для обычных стационарных (включая гексагональные) сетей такие величины, как SINR и SIR типичного пользователя, ведут себя стохастически, как если бы базовая сеть была пуассоновской. Другими словами, учитывая функцию потерь на трассе, использование модели сотовой сети Пуассона с постоянным затенением эквивалентно (с точки зрения SIR, SINR и т. д.) допущению достаточно большого и независимого замирания или затенения в математической модели с расположенными базовыми станциями. в соответствии с детерминированной или случайной конфигурацией с постоянной плотностью.

Первоначально результаты были получены для затенения журналов, но затем были распространены на большое семейство моделей затухания и затенения. Для логарифмически нормального затенения также математически было показано, что беспроводные сети все еще могут иметь пуассоновский эффект, если между затенением существует некоторая корреляция.

Гетерогенные модели сотовой сети

В контексте сотовых сетей гетерогенная сеть (иногда известная как HetNet) — это сеть, которая использует несколько типов базовых станций, макробазовые станции , пикобазовые станции и/или фемтобазовые станции для обеспечения лучшего покрытия. и битрейты . Это, в частности, используется, чтобы справиться с трудностями покрытия макробазовыми станциями только открытой внешней среды, офисных зданий, домов и подземных помещений. Недавно были разработаны модели на основе Пуассона для определения вероятности покрытия таких сетей в случае нисходящей линии связи. Общий подход состоит в том, чтобы иметь несколько слоев или «ярусов» сетей, которые затем объединяются или накладываются друг на друга в одну гетерогенную или многоуровневую сеть. Если каждый ярус является сетью Пуассона, то объединенная сеть также является сетью Пуассона в силу суперпозиции, характерной для пуассоновских процессов. Затем рассчитывается преобразование Лапласа для этой наложенной модели Пуассона, что приводит к вероятности покрытия в (нисходящем канале) сотовой сети с несколькими уровнями, когда пользователь подключается к мгновенно самой сильной базовой станции. и когда пользователь в среднем подключен к самой мощной базовой станции (не считая небольших замираний).

Модели сотовой сети с несколькими пользователями

В последние годы широко использовался подход к формулированию модели, учитывающий «типичного пользователя» в сотовых (или других) сетях. Однако это лишь первый подход, который позволяет охарактеризовать только спектральную эффективность (или скорость передачи данных) сети. Другими словами, этот подход обеспечивает наилучшее обслуживание, которое может быть предоставлено одному пользователю, которому не нужно делиться ресурсами беспроводной сети с другими пользователями.

Были предложены модели, выходящие за рамки типичного пользовательского подхода, с целью анализа показателей QoS совокупности пользователей, а не только одного пользователя. В общих чертах эти модели можно разделить на четыре типа: статические, полустатические, полудинамические и (полностью) динамические. Более конкретно:

• Статические модели имеют заданное количество активных пользователей с фиксированными позициями.
• Полустатические модели рассматривают сети в определенные моменты времени, представляя экземпляры или «снимки» активных пользователей как реализации пространственных (обычно пуассоновских) процессов.
• В полудинамических моделях телефонные звонки пользователей происходят в случайном месте и длятся некоторую случайную продолжительность. При этом предполагается, что каждый пользователь во время разговора неподвижен. В этой модели пространственные процессы рождения и смерти, которые, в некотором смысле, являются пространственными расширениями (только по времени) моделей массового обслуживания (например, систем потерь Эрланга и моделей совместного использования процессоров), используются в этом контексте для оценки средних по времени показателей QoS пользователя. Модели массового обслуживания успешно используются для определения размеров (или соответствующей настройки параметров) сетей с коммутацией каналов и других сетей связи. Адаптация этих моделей к задаче определения размеров радиочасти беспроводных сотовых сетей требует соответствующего пространственно-временного усреднения по геометрии сети и временной эволюции процесса прибытия пользователя (телефонного звонка).
• Динамические модели более сложны и имеют те же предположения, что и полудинамическая модель, но пользователи могут перемещаться во время звонков.

Конечная цель при построении этих моделей состоит в том, чтобы связать следующие три ключевых параметра сети: потребность в пользовательском трафике на единицу поверхности, плотность сети и метрики QoS пользователя. Эти отношения являются частью инструментов определения параметров сети, которые позволяют сетевым операторам соответствующим образом изменять плотность базовых станций для удовлетворения требований к трафику и требуемого уровня производительности.

Модели на основе протоколов MAC

Протокол MAC контролирует, когда передатчики могут получить доступ к беспроводной среде. Цель состоит в том, чтобы уменьшить или предотвратить коллизии путем ограничения мощности помех, испытываемых активным приемником. Протокол MAC определяет шаблон одновременно активных каналов, учитывая базовый шаблон доступных каналов. Следовательно, разные протоколы MAC выполняют разные операции прореживания на доступных каналах, что приводит к необходимости использования разных моделей стохастической геометрии.

Алоха модели MAC

Беспроводная сеть Aloha с слотами использует протокол Aloha MAC, в котором каналы получают доступ к среде независимо в каждом временном интервале с некоторой вероятностью p . Если базовые каналы (то есть их передатчики для случая «точка-точка») расположены согласно процессу Пуассона (с плотностью λ ), то узлы, обращающиеся к сети, также образуют сеть Пуассона (с плотностью pλ ), которая позволяет использовать модель Пуассона. ALOHA — это не только один из самых простых и классических протоколов MAC, но также было показано, что он достигает равновесия Нэша при интерпретации как схемы управления мощностью.

Несколько ранних стохастических моделей беспроводных сетей были основаны на точечных процессах Пуассона с целью изучения производительности Aloha с слотами. При рэлеевском замирании и степенной функции потерь на трассе выражения вероятности сбоя (или, что эквивалентно, покрытия) были получены путем рассмотрения члена помех как дробового шума и использования моделей преобразования Лапласа: которая позже была расширена до общей функции потерь на трассе, а затем расширен до чистого корпуса Aloha или без прорезей.

Модели MAC с множественным доступом с контролем несущей

Протокол MAC множественного доступа с контролем несущей (CSMA) управляет сетью таким образом, что каналы, расположенные близко друг к другу, никогда не получают доступ к среде одновременно. Было показано, что применительно к точечному процессу Пуассона это естественным образом приводит к точечному процессу типа Матерна с жестким ядром (или мягким ядром в случае затухания), который демонстрирует желаемое «отталкивание». Вероятность планирования канала известна в закрытом виде, а также так называемая парная корреляционная функция точечного процесса запланированных узлов.

Модели MAC с множественным доступом с кодовым разделением

В сети с протоколом MAC множественного доступа с кодовым разделением каналов (CDMA) каждый передатчик модулирует свой сигнал с помощью кода, ортогонального коду других сигналов и известного его приемнику. Это уменьшает помехи от других передатчиков и может быть представлено в математической модели путем умножения помех на коэффициент ортогональности . Модели стохастической геометрии, основанные на этом типе представления, были разработаны для анализа зон покрытия передатчиков, расположенных в соответствии с процессом Пуассона.

Теоретико-информационные модели сети

В предыдущих моделях на основе MAC предполагались каналы «точка-точка», а помехи рассматривались как шум. В последние годы были разработаны модели для изучения более сложных каналов, возникающие в рамках теории сетевой информации. Точнее, модель была разработана для одной из простейших настроек: набора пар передатчик-приемник, представленных в виде точечного процесса Пуассона. В этой модели исследовались эффекты схемы уменьшения помех, включающей «коды двухточечной связи». Эти коды, состоящие из случайно и независимо сгенерированных кодовых слов , дают передатчикам-приемникам разрешение на обмен информацией, действуя таким образом как протокол MAC. Более того, в этой модели для каждой такой пары определялся набор или «партия» каналов. Эта вечеринка представляет собой канал множественного доступа, а именно ситуация «многие к одному» для каналов. Приемник партии тот же, что и у пары, а передатчик пары принадлежит к множеству передатчиков партии вместе с другими передатчиками. Используя стохастическую геометрию, была получена вероятность покрытия, а также геометрические свойства ячеек покрытия. Также было показано что при использовании двухточечных кодов и одновременного декодирования статистический выигрыш, полученный при использовании конфигурации Пуассона, сколь угодно велик по сравнению со сценарием, в котором помехи рассматриваются как шум.

Другие сетевые модели

Беспроводные модели стохастической геометрии были предложены для нескольких типов сетей, включая когнитивного радио , сети ретрансляционные сети, и автомобильные специальные сети .

См. также

• Стохастическая геометрия
• Теория перколяции континуума

Учебники по стохастической геометрии и смежным областям

• Стохастическая геометрия для беспроводных сетей – Haenggi
• Стохастическая геометрия и ее приложения - Стоян, Кендалл и Мекке
• Новые перспективы стохастической геометрии - Кендалл и Молчанов, ред.
• Стохастическая геометрия и беспроводные сети, том I: теория - Бачелли и Блащишин
• Стохастическая геометрия и беспроводные сети, том II: Приложения - Бачелли и Блащишин
• Случайные сети для коммуникации: от статистической физики к информационным системам - Франческетти и Мистер
• Аналитическое моделирование гетерогенных сотовых сетей: геометрия, покрытие и пропускная способность - Мукерджи
• Пуассоновские процессы – Кингмана

Внешние ссылки

Для дальнейшего изучения моделей беспроводных сетей стохастической геометрии см. учебник Хэнгги, двухтомный текст Бачелли и Блащишина (доступно в Интернете ) и обзорную статью. О помехах в беспроводных сетях см. монографию о помехах Ганти и Хэнгги. (доступно онлайн ). Введение в стохастическую геометрию и пространственную статистику в более общем контексте см. в конспектах лекций Бэддели. (доступно онлайн по подписке Springer). Полное и строгое рассмотрение точечных процессов см. в двухтомном тексте Дейли и Вер-Джонса. (доступно онлайн по подписке Springer).