Операция точечного процесса

В теории вероятности и статистике операция точечного процесса или преобразование точечного процесса — это тип математической операции, выполняемой над случайным объектом, известный как точечный процесс , которые часто используются в качестве математических моделей явлений, которые могут быть представлены в виде точек, случайно расположенных в пространстве. Эти операции могут быть чисто случайными, детерминированными или и теми и другими, и используются для построения новых точечных процессов, которые затем также можно использовать в качестве математических моделей. Операции могут включать в себя удаление или прореживание точек из точечного процесса, объединение или наложение нескольких точечных процессов в один точечный процесс или преобразование основного пространства точечного процесса в другое пространство. Операции точечных процессов и результирующие точечные процессы используются в теории точечных процессов и смежных областях, таких как стохастическая геометрия и пространственная статистика .

Одним из точечных процессов, который дает особенно удобные результаты при операциях со случайными точечными процессами, является точечный процесс Пуассона . Точечный процесс Пуассона часто представляет собой тип математического замыкания, так что, когда операция точечного процесса применяется к некоторому точечному процессу Пуассона, а затем при соблюдении некоторых условий для операции точечного процесса, результирующий процесс часто будет другой операцией точечного процесса Пуассона, следовательно, он часто используется в качестве математической модели.

Операции точечной обработки изучены в математическом пределе , когда количество примененных случайных операций точечной обработки приближается к бесконечности. Это привело к появлению теорем сходимости операций с точечными процессами, берущих свое начало в новаторских работах Конни Палма в 1940-х годах и позднее Александра Хинчина в 1950-х и 1960-х годах, которые оба изучали точечные процессы на реальной линии в контексте изучения прибытия телефонных звонков и теории очередей в целом. При условии, что исходный точечный процесс и операция точечного процесса удовлетворяют определенным математическим условиям, то, когда к процессу применяются операции точечного процесса, часто результирующий точечный процесс будет вести себя стохастически, больше похоже на точечный процесс Пуассона, если он имеет неслучайное среднее значение. Measure , которая дает среднее количество точек точечного процесса, расположенных в некоторой области. Другими словами, в пределе, когда число применяемых операций приближается к бесконечности, точечный процесс будет сходиться по распределению (или слабо) к точечному процессу Пуассона или, если его мера является случайной мерой, к точечному процессу Кокса . Результаты сходимости, такие как теорема Пальма-Хинчина для процессов восстановления, затем также используются для обоснования использования точечного процесса Пуассона в качестве математического выражения различных явлений.

Обозначение точечного процесса

Основная статья: Обозначение точечного процесса

Точечные процессы — это математические объекты, которые можно использовать для представления наборов точек, случайно разбросанных в некотором базовом математическом пространстве . Они имеют ряд интерпретаций, что отражается в различных типах обозначений точечного процесса . Например, если точка $\textstyle x$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначаемого $\textstyle {N}$, то это можно записать так:

$\textstyle x\in {N},$

и представляет точечный процесс как случайное множество . Альтернативно, количество баллов $\textstyle {N}$ находится в каком-то наборе Бореля $\textstyle B$ часто пишется так:

$\textstyle {N}(B),$

что отражает интерпретацию случайной меры для точечных процессов.

Точечный процесс необходимо определить в базовом математическом пространстве. Часто это пространство представляет собой d -мерное евклидово пространство, обозначаемое здесь через $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$, хотя точечные процессы могут быть определены и в более абстрактных математических пространствах .

Примеры операций

Для разработки подходящих моделей с точечными процессами в стохастической геометрии, пространственной статистике и смежных областях существует ряд полезных преобразований, которые можно выполнить над точечными процессами, включая: прореживание, суперпозицию, картографирование (или преобразование пространства), кластеризацию и случайное смещение.

Истончение

Операция прореживания влечет за собой использование некоторого предопределенного правила для удаления точек из точечного процесса. $\textstyle {N}$ сформировать новый точечный процесс $\textstyle {N}_{p}$. Эти правила прореживания могут быть детерминированными, то есть не случайными, как в случае с одним из простейших правил, известных как $\textstyle p$-прореживание: каждая точка $\textstyle {N}$ самостоятельно удаляется (или сохраняется) с некоторой вероятностью $\textstyle p$ (или $\textstyle 1-p$). Это правило можно обобщить, введя неотрицательную функцию $\textstyle p(x)\leq 1$ чтобы определить зависимость от местоположения $\textstyle p(x)$-прореживание, где теперь вероятность удаления точки равна $\textstyle p(x)$ и зависит от того, где находится точка $\textstyle {N}$ находится на нижележащем пространстве. Дальнейшее обобщение состоит в том, что вероятность прореживания $\textstyle p$ сам по себе случайный.

Все эти три операции представляют собой типы независимого прореживания, что означает, что взаимодействие между точками не влияет на то, где точка удаляется (или сохраняется). Другое обобщение включает в себя зависимое прореживание, при котором точки точечного процесса удаляются (или сохраняются) в зависимости от их местоположения по отношению к другим точкам точечного процесса. Утончение можно использовать для создания новых точечных процессов, например, жестких процессов, в которых точки не существуют (из-за утончения) в пределах определенного радиуса каждой точки в процессе прореживания точек.

Суперпозиция

Операция суперпозиции используется для объединения двух или более точечных процессов в одно базовое математическое пространство или пространство состояний. Если существует счетное множество или совокупность точечных процессов $\textstyle {N}_{1},{N}_{2}\dots$ со средними мерами $\textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots$, то их суперпозиция

${N}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{N}_{i},$

также образует точечный процесс. В этом выражении операция суперпозиции обозначается объединением множеств ), что подразумевает интерпретацию случайных множеств точечных процессов; см. в разделе «Обозначение процесса точки» дополнительную информацию .

Случай точечного процесса Пуассона

В случае, когда каждый $\textstyle {N}_{i}$ является точечным процессом Пуассона, то результирующий процесс $\textstyle {N}$ также является точечным процессом Пуассона со средней интенсивностью

$\Lambda =\sum \limits _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.$

Кластеризация

Точечная операция, известная как кластеризация, предполагает замену каждой точки. $\textstyle x$ в данной точке процесса $\textstyle {N}$ с группой точек $\textstyle N^{x}$. Каждый кластер также является точечным процессом, но с конечным числом точек. Объединение всех кластеров образует кластерный точечный процесс.

${N}_{c}=\bigcup _{x\in {N}}N^{x}.$

Часто предполагается, что кластеры $\textstyle N^{x}$ Все множества конечных точек являются независимыми и одинаково распределенными . Более того, если исходный точечный процесс $\textstyle {N}$ имеет постоянную интенсивность $\textstyle \lambda$, то интенсивность процесса точки кластеризации $\textstyle {N}_{c}$ будет

$\lambda _{c}=c\lambda ,$

где константа $\textstyle c$ среднее количество точек в каждом $\textstyle N^{x}$.

Случайное смещение и перевод

Основная статья: Ню-трансформация

Математическая модель может требовать случайного перемещения точек точечного процесса из одних мест в другие места основного математического пространства . Эта операция точечного процесса называется случайным смещением. или перевод . Если каждая точка процесса смещается или транслируется независимо от всех остальных точек процесса, то операция образует независимое перемещение или трансляцию. Обычно предполагается, что все случайные переводы имеют общее распределение вероятностей ; следовательно, смещения образуют набор независимых и одинаково распределенных случайных векторов в базовом математическом пространстве.

Применение случайных смещений или трансляций к точечным процессам может использоваться в качестве математических моделей подвижности объектов, например, в экологии. или беспроводные сети.

Теорема о смещении

Результат, известный как теорема о смещении. фактически говорит, что случайное независимое смещение точек точечного процесса Пуассона (в том же базовом пространстве) образует другой точечный процесс Пуассона.

Трансформация пространства

Еще одно свойство, которое считается полезным, — это возможность отображать точечный процесс из одного базового пространства в другое. Например, точечный процесс, заданный на плоскости R ² могут быть преобразованы из декартовых координат в полярные координаты .

Теорема об отображении

Основная статья: Теорема об отображении (точечный процесс)

При условии, что отображение (или преобразование) удовлетворяет некоторым условиям, тогда возникает результат, иногда известный как теорема отображения. говорит, что если исходный процесс является точечным процессом Пуассона с некоторой мерой интенсивности, то результирующий отображенный (или преобразованный) набор точек также образует точечный процесс Пуассона с другой мерой интенсивности.

Сходимость точечных технологических операций

Точечная операция, выполненная один раз над некоторым точечным процессом, в общем случае может выполняться снова и снова. В теории точечных процессов получены результаты по изучению поведения результирующего точечного процесса посредством результатов сходимости в пределе стремления числа выполняемых операций к бесконечности. Например, если каждая точка общего точечного процесса неоднократно перемещается определенным случайным и независимым образом, то новый точечный процесс, неформально говоря, будет все больше и больше напоминать точечный процесс Пуассона. Аналогичные результаты сходимости были получены для операций прореживания и суперпозиции (с подходящим масштабированием основного пространства).