Jump to content

Предел (математика)

(Перенаправлено с «Математического предела »)

В математике предел приближается — это значение, к которому функция (или последовательность ), когда входные данные (или индекс) приближаются к некоторому значению . [1] Пределы необходимы для исчисления и математического анализа и используются для определения непрерывности , производных и интегралов .

В формулах предел функции обычно записывают как

и читается как «предел f от x, когда x приближается к c, равен L ». Это означает, что значение функции f можно сделать сколь угодно близким к L , выбрав x достаточно близко к c . Альтернативно, тот факт, что функция f приближается к пределу L, когда x приближается к c, иногда обозначается стрелкой вправо (→ или ), как в

который гласит " из имеет тенденцию как имеет тенденцию ".

Понятие предела последовательности далее обобщается до понятия предела топологической сети и тесно связано с пределом и прямым пределом в теории категорий .

Нижний предел и верхний предел обеспечивают обобщение концепции предела, которое особенно актуально, когда предел в какой-то точке может не существовать.

Согласно Ханкелю (1871), современная концепция предела происходит из предложения X.1 « Начал» Евклида , которое составляет основу метода исчерпания, обнаруженного у Евклида и Архимеда: «Излагаются две неравные величины, если из большей есть вычитается величина, большая, чем ее половина, а из того, что остается, - величина, большая, чем ее половина, и если этот процесс будет повторяться постоянно, то останется какая-то величина, меньшая, чем заданная меньшая величина». [2] [3]

Грегуар де Сен-Венсан дал первое определение предела (конца) геометрической серии в своей работе Opus Geometricum (1647): « Конечная точка прогрессии — это конец ряда, которого не может достичь ни одна прогрессия, даже если она продолжается в бесконечности, но к которому она может приблизиться ближе, чем к данному отрезку». [4]

Современное определение предела восходит к Бернару Больцано , который в 1817 году разработал основы метода эпсилон-дельта для определения непрерывных функций. Однако его работа оставалась неизвестной другим математикам вплоть до тридцати лет после его смерти. [5]

Огюстен-Луи Коши в 1821 году. [6] за которым последовал Карл Вейерштрасс , формализовал определение предела функции, которое стало известно как (ε, δ)-определение предела .

Современное обозначение размещения стрелки под символом предела принадлежит Г.Х. Харди , который ввел его в своей книге «Курс чистой математики» в 1908 году. [7]

Виды лимитов

[ редактировать ]

В последовательностях

[ редактировать ]

Реальные числа

[ редактировать ]

Выражение 0,999... следует интерпретировать как предел последовательности 0,9, 0,99, 0,999,... и так далее. Можно строго показать, что эта последовательность имеет предел 1, и поэтому это выражение осмысленно интерпретируется как имеющее значение 1. [8]

Формально предположим, что a 1 , a 2 , ... — это последовательность действительных чисел . Когда предел последовательности существует, действительное число L является пределом этой последовательности тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа ε > 0 существует натуральное число N такое, что для всех n > N мы имеем | а п - L | < е . [9] Общие обозначения читается как:

«Предел n при к бесконечности стремлении n равен L » или «Предел n при стремлении к равен бесконечности L » .

Формальное определение интуитивно означает, что в конечном итоге все элементы последовательности сколь угодно близки к пределу, поскольку абсолютное значение | а п - L | расстояние n и L. между

Не каждая последовательность имеет предел. Последовательность с пределом называется сходящейся ; в противном случае его называют расходящимся . Можно показать, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Предел последовательности и предел функции тесно связаны. С одной стороны, предел при стремлении n к бесконечности последовательности { an n } — это просто предел на бесконечности функции a ( определённой ), для натуральных чисел { n } . С другой стороны, если X является областью определения функции f ( x ) и если предел при стремлении n к бесконечности f ( x n ) равен L для любой произвольной последовательности точек { x n } в X x 0 , которая сходится до x 0 , то предел функции f ( x ) при x приближении к x 0 равен L . [10] Одной из таких последовательностей может быть { x 0 + 1/ n } .

Бесконечность как предел

[ редактировать ]

Существует также понятие предела, «стремящегося к бесконечности», а не к конечному значению. . Последовательность говорят, что оно «стремится к бесконечности», если для каждого действительного числа , известный как граница, существует целое число такой, что для каждого , То есть для каждой возможной границы последовательность в конечном итоге превышает границу. Это часто пишут или просто .

Последовательность может расходиться, но не стремиться к бесконечности. Такие последовательности называются колебательными . Примером колебательной последовательности является .

Существует соответствующее понятие стремления к отрицательной бесконечности, , определяемый путем замены неравенства в приведенном выше определении на с

Последовательность с называется неограниченным , и это определение одинаково справедливо для последовательностей в комплексных числах или в любом метрическом пространстве . Последовательности, не стремящиеся к бесконечности, называются ограниченными . Последовательности, не стремящиеся к положительной бесконечности, называются ограниченными сверху , а последовательности, не стремящиеся к отрицательной бесконечности, — ограниченными снизу .

Метрическое пространство

[ редактировать ]

Обсуждение последовательностей выше относится к последовательностям действительных чисел. Понятие пределов может быть определено для последовательностей, оцениваемых в более абстрактных пространствах, таких как метрические пространства . Если это метрическое пространство с функцией расстояния , и представляет собой последовательность в , то пределом (если он существует) последовательности является элемент такой, что, учитывая , существует такой, что для каждого , у нас есть Эквивалентное утверждение состоит в том, что если последовательность действительных чисел .

Пример: Р н
[ редактировать ]

Важным примером является пространство -мерные действительные векторы с элементами где каждый из действительны, примером подходящей функции расстояния является евклидово расстояние , определяемое формулой Последовательность пунктов сходится к если предел существует и .

Топологическое пространство

[ редактировать ]

В некотором смысле наиболее абстрактным пространством, в котором могут быть определены пределы, являются топологические пространства . Если представляет собой топологическое пространство с топологией , и представляет собой последовательность в , то пределом (если он существует) последовательности является точка такой, что для (открытой) окрестности из , существует такой, что для каждого , удовлетворен. В этом случае предел (если он существует) может быть не единственным. Однако оно должно быть уникальным, если является хаусдорфовым пространством .

Функциональное пространство

[ редактировать ]

В этом разделе рассматривается идея пределов последовательностей функций, которую не следует путать с идеей пределов функций, обсуждаемой ниже.

Область функционального анализа частично стремится выявить полезные понятия сходимости в функциональных пространствах. Например, рассмотрим пространство функций из общего набора к . Дана последовательность функций такая, что каждая является функцией , предположим, что существует такая функция, что для каждого ,

Тогда последовательность говорят, что он сходится поточечно к . Однако такие последовательности могут демонстрировать неожиданное поведение. Например, можно построить последовательность непрерывных функций, имеющую разрывный поточечный предел.

Другое понятие сходимости — равномерная сходимость . Равномерное расстояние между двумя функциями — максимальная разница между двумя функциями в качестве аргумента разнообразен. То есть, Тогда последовательность говорят, что он равномерно сходится или имеет равномерный предел если относительно этого расстояния. Равномерный предел имеет «более приятные» свойства, чем поточечный предел. Например, равномерный предел последовательности непрерывных функций непрерывен.

В функциональных пространствах можно определить множество различных понятий сходимости. Иногда это зависит от регулярности пространства. Яркими примерами функциональных пространств с некоторым понятием сходимости являются пространства Lp и пространство Соболева .

В функциях

[ редактировать ]
Функция f ( x ), которой предел на бесконечности равен L. для Для любого произвольного расстояния ε должно существовать значение S что функция остается в пределах L ± ε для всех x > S. такое ,

Предположим, f вещественная функция , а c действительное число . Интуитивно говоря, выражение

означает, что f ( x ) можно сделать настолько близким к L , насколько это необходимо, сделав x достаточно близким к c . [11] В этом случае приведенное выше уравнение можно прочитать как «предел f для x , когда x приближается к c , равен L ».

Формально определение «предела как подходы " задается следующим образом. Предел - это действительное число так что, учитывая произвольное действительное число (считается «ошибкой»), существует такой, что для любого удовлетворяющий , он утверждает, что . Это известно как (ε, δ)-определение предела .

Неравенство используется для исключения из рассматриваемого множества пунктов, но некоторые авторы не включают это в свое определение пределов, заменяя просто . Эта замена эквивалентна дополнительному требованию, чтобы быть непрерывным в .

Можно доказать, что существует эквивалентное определение, которое демонстрирует связь между пределами последовательностей и пределами функций. [12] Эквивалентное определение дается следующим образом. Сначала заметим, что для каждой последовательности в области , существует соответствующая последовательность , изображение последовательности под . Предел - это действительное число так что для всех последовательностей , соответствующая последовательность .

Односторонний лимит

[ редактировать ]

Можно определить понятие «левого» предела («снизу») и понятие «правого» предела («сверху»). Они не обязательно должны соглашаться. Примером может служить положительная индикаторная функция , , определенный так, что если , и если . В , функция имеет «левый предел» 0, «правый предел» 1, и ее предел не существует. Символически это можно выразить так: , и , и отсюда можно сделать вывод не существует, потому что .

Бесконечность в пределах функций

[ редактировать ]

Понятие «стремление к бесконечности» можно определить в области ,

В этом выражении бесконечность считается подписанной: либо или . «Предел f при стремлении x к положительной бесконечности» определяется следующим образом. Это реальное число такой, что при любом реальном , существует так что если , . Эквивалентно, для любой последовательности , у нас есть .

Также можно определить понятие «стремление к бесконечности» в значении ,

Определение дается следующим образом. Учитывая любое действительное число , есть так что для , абсолютное значение функции . Эквивалентно, для любой последовательности , последовательность .

Нестандартный анализ

[ редактировать ]

В нестандартном анализе (который предполагает гиперреальное расширение системы счисления) предел последовательности может быть выражено как стандартная часть значения естественного расширения последовательности с бесконечным сверхъестественным индексом n=H . Таким образом,

Здесь стандартная часть функции «st» округляет каждое конечное гипердействительное число до ближайшего действительного числа (разница между ними бесконечно мала ). Это формализует естественную интуицию о том, что для «очень больших» значений индекса члены последовательности «очень близки» к предельному значению последовательности. И наоборот, стандартная часть гиперреального представлена ​​в сверхстепенной конструкции последовательностью Коши , является просто пределом этой последовательности:

В этом смысле взятие предела и взятие стандартной части являются эквивалентными процедурами.

Предельные наборы

[ редактировать ]

Предельный набор последовательности

[ редактировать ]

Позволять быть последовательностью в топологическом пространстве . Для конкретики, можно рассматривать как , но определения справедливы в более общем плане. Предельное множество — это множество точек такое, что если существует сходящаяся подпоследовательность с , затем принадлежит предельному множеству. В этом контексте такой иногда называют предельной точкой.

Это понятие используется для характеристики «долговременного поведения» колебательных последовательностей. Например, рассмотрим последовательность . Начиная с n=1, первые несколько членов этой последовательности имеют вид . Можно проверить, что он колебательный, поэтому не имеет предела, но имеет предельные точки. .

Предельный набор траектории

[ редактировать ]

Это понятие используется в динамических системах для изучения пределов траекторий. Определение траектории как функции , точка рассматривается как «положение» траектории во «времени». . Предельное множество траектории определяется следующим образом. Для любой последовательности возрастающих времен , существует связанная с ним последовательность позиций . Если - предельное множество последовательности для любой последовательности возрастающих времен, то – предельное множество траектории.

Технически это -установлен лимит. Соответствующее предельное множество для последовательностей убывающего времени называется -установлен лимит.

Наглядным примером является траектория круга: . Это не имеет уникального предела, но для каждого , точка является предельной точкой, заданной последовательностью времен . Но предельные точки не обязательно должны достигаться на траектории. Траектория также имеет единичный круг в качестве предельного набора.

Использование

[ редактировать ]

Пределы используются для определения ряда важных понятий анализа.

Особым выражением интереса, которое формализуется как предел последовательности, являются суммы бесконечных рядов. Это «бесконечные суммы» действительных чисел, обычно записываемые как Это определяется посредством следующих ограничений: [12] дана последовательность действительных чисел , последовательность частичных сумм определяется формулой Если предел последовательности существует, значение выражения определяется как предел. В противном случае говорят, что ряд расходится.

Классическим примером является Базельская проблема , где . Затем

Однако, хотя для последовательностей существует по сути единственное понятие сходимости, для рядов существуют разные понятия сходимости. Это связано с тем, что выражение не различает различные порядки последовательности , а свойства сходимости последовательности частичных сумм могут зависеть от порядка последовательности.

Ряд, сходящийся при всех порядках, называется безусловно сходящимся . Можно доказать, что это эквивалентно абсолютной сходимости . Это определяется следующим образом. Ряд абсолютно сходится, если хорошо определен. Более того, все возможные порядки дают одно и то же значение.

В противном случае ряд условно сходится . Неожиданным результатом для условно сходящихся рядов является теорема о рядах Римана : в зависимости от порядка частичные суммы могут сходиться к любому действительному числу, а также к .

Силовая серия

[ редактировать ]

Полезное применение теории сумм рядов - для степенных рядов. Это суммы рядов вида Часто рассматривается как комплексное число, и необходимо подходящее понятие сходимости комплексных последовательностей. Набор значений для которого сумма ряда сходится, представляет собой круг, радиус которого известен как радиус сходимости .

Непрерывность функции в точке

[ редактировать ]

Определение непрерывности в точке дается через пределы.

Приведенное выше определение предела верно, даже если . Действительно, функцию f даже не обязательно определять в точке c . Однако, если определен и равен , то функция называется непрерывной в точке .

Эквивалентно, функция непрерывна при если как , или в терминах последовательностей, всякий раз, когда , затем .

Пример ограничения, где не определяется в приведен ниже.

Рассмотрим функцию

тогда f (1) не определена (см. Неопределенная форма ), но когда x приближается к 1, f ( x ) соответственно приближается к 2: [13]

ж (0,9) ж (0,99) е (0,999) е (1,0) е (1,001) е (1,01) е (1.1)
1.900 1.990 1.999 неопределенный 2.001 2.010 2.100

Таким образом, f ( x ) можно сделать сколь угодно близким к пределу 2 — просто сделав x достаточно близким к 1 .

Другими словами,

Это также можно вычислить алгебраически, как для всех действительных чисел x ≠ 1 .

Теперь, поскольку x + 1 непрерывен по x в точке 1, мы можем подставить 1 вместо x , что приведет к уравнению

Помимо пределов на конечных значениях, функции также могут иметь пределы на бесконечности. Например, рассмотрим функцию где:

  • е (100) = 1,9900
  • е (1000) = 1,9990
  • е (10000) = 1,9999

Когда x становится чрезвычайно большим, значение f ( x ) приближается к 2 , и значение f ( x ) можно сделать настолько близким к 2 , насколько пожелаете, — сделав x достаточно большим. Итак, в этом случае предел f ( x ), когда x приближается к бесконечности, равен 2 или, в математической записи,

Непрерывные функции

[ редактировать ]

Важным классом функций при рассмотрении пределов являются непрерывные функции . Это именно те функции, которые сохраняют пределы в том смысле, что если является непрерывной функцией, то всякий раз, когда в области , то предел существует и, кроме того, является .

В наиболее общей ситуации топологических пространств краткое доказательство приведено ниже:

Позволять быть непрерывной функцией между топологическими пространствами и . По определению для каждого открытого множества в , прообраз открыт в .

Теперь предположим представляет собой последовательность с пределом в . Затем представляет собой последовательность в , и это какой-то момент.

Выберите район из . Затем является открытым множеством (по непрерывности ), который, в частности, содержит , и поэтому это район . По сближению к , существует такой, что для , у нас есть .

Затем применяя обеим сторонам дает это для одного и того же , для каждого у нас есть . Первоначально был произвольным районом , так . На этом доказательство завершается.

В реальном анализе для более конкретного случая вещественнозначных функций, определенных на подмножестве , то есть, непрерывная функция также может быть определена как функция, непрерывная в каждой точке своей области определения.

Предельные точки

[ редактировать ]

В топологии пределы используются для определения предельных точек подмножества топологического пространства, которые, в свою очередь, дают полезную характеристику замкнутых множеств .

В топологическом пространстве , рассмотрим подмножество . точка называется предельной точкой, если существует последовательность в такой, что .

Причина, почему определяется как находящийся в а не просто иллюстрируется следующим примером. Брать и . Затем , и, следовательно, является пределом постоянной последовательности . Но не является предельной точкой .

Замкнутое множество, которое определяется как дополнение к открытому множеству, эквивалентно любому множеству. которая содержит все свои предельные точки.

Производная

[ редактировать ]

Производная формально определяется как предел. В рамках реального анализа производная сначала определяется для реальных функций. определено в подмножестве . Производная при определяется следующим образом. Если предел как существует, то производная при это предел.

Эквивалентно, это предел, поскольку из

Если производная существует, ее обычно обозначают .

Характеристики

[ редактировать ]

Последовательности действительных чисел

[ редактировать ]

Для последовательностей действительных чисел можно доказать ряд свойств. [12] Предполагать и две последовательности, сходящиеся к и соответственно.

  • Сумма лимитов равна лимиту суммы

  • Произведение пределов равно пределу произведения

  • Обратный предел равен пределу обратного (при условии, что )

Эквивалентно, функция непрерывен относительно ненулевого значения .

Последовательности Коши

[ редактировать ]

Свойство сходящихся последовательностей действительных чисел состоит в том, что они являются последовательностями Коши . [12] Определение последовательности Коши это для каждого действительного числа , есть такое, что всякий раз, когда ,

Неформально, для любой сколь угодно малой ошибки , можно найти интервал диаметра так что в конечном итоге последовательность содержится внутри интервала.

Последовательности Коши тесно связаны с сходящимися последовательностями. Фактически для последовательностей действительных чисел они эквивалентны: любая последовательность Коши сходится.

В общих метрических пространствах по-прежнему считается, что сходящиеся последовательности также являются Коши. Но обратное неверно: не всякая последовательность Коши сходится в общем метрическом пространстве. Классический контрпример – рациональные числа . , с обычной дистанции. Последовательность десятичных приближений к , усеченный в -й десятичный знак является последовательностью Коши, но не сходится в .

Метрическое пространство, в котором каждая последовательность Коши также сходится, то есть последовательности Коши эквивалентны сходящимся последовательностям, называется полным метрическим пространством .

Одна из причин, по которой с последовательностями Коши «легче работать», чем со сходящимися последовательностями, заключается в том, что они являются свойством последовательности. в одиночку, в то время как сходящиеся последовательности требуют не только последовательности но и предел последовательности .

Порядок схождения

[ редактировать ]

Помимо того, является ли последовательность сходится к пределу , можно описать, насколько быстро последовательность сходится к пределу. Один из способов количественной оценки этого — использование порядка сходимости последовательности.

Формальное определение порядка сходимости можно сформулировать следующим образом. Предполагать это последовательность действительных чисел, сходящаяся с пределом . Более того, для всех . Если положительные константы и существуют такие, что затем говорят, что он сходится к с порядком сходимости . Константа известна как асимптотическая константа ошибки.

Порядок сходимости используется, например, в области численного анализа , при анализе ошибок.

Вычислимость

[ редактировать ]

Ограничения может быть трудно вычислить. Существуют предельные выражения, сходимости которых неразрешим модуль . В теории рекурсии предельная лемма доказывает, что с помощью пределов можно кодировать неразрешимые проблемы. [14]

Есть несколько теорем или тестов, которые показывают, существует ли предел. Они известны как тесты сходимости . Примеры включают тест соотношения и теорему о сжатии . Однако они могут не сказать, как вычислить предел.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN  978-0-495-01166-8 .
  2. ^ Шубринг, Герт (2005). Конфликты между обобщением, строгостью и интуицией: концепции чисел, лежащие в основе развития анализа во Франции и Германии 17-19 веков . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 22–23. ISBN  0387228365 .
  3. ^ «Начала Евклида, книга X, предложение 1» . aleph0.clarku.edu .
  4. ^ Ван Лой, Герман (1984). «Хронология и исторический анализ математических рукописей Грегориуса Санкто Винченцио (1584–1667)» . История Математики . 11 (1): 57–75. дои : 10.1016/0315-0860(84)90005-3 .
  5. ^ Фельшер, Уолтер (2000), «Больцано, Коши, Эпсилон, Дельта», American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi : 10.2307/2695743 , JSTOR   2695743
  6. ^ Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (Девятое изд.). Брукс/Коул , Cengage Learning . ISBN  978-0-547-20998-2 .
  7. ^ Миллер, Джефф (1 декабря 2004 г.), «Самые ранние виды использования символов исчисления» , заархивировано из оригинала 1 мая 2015 г. , получено 18 декабря 2008 г.
  8. ^ Стиллвелл, Джон (1994), Элементы алгебры: геометрия, числа, уравнения , Спрингер, с. 42, ISBN  978-1441928399
  9. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Лимит» . mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 20 июня 2020 г. Проверено 18 августа 2020 г.
  10. ^ Апостол (1974 , стр. 75–76)
  11. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Определение Эпсилон-Дельта» . mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 25 июня 2020 г. Проверено 18 августа 2020 г.
  12. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д Чуа, Декстер. «Анализ I (на основе курса Тимоти Гауэрса)» . Заметки из Математического Tripos .
  13. ^ «Предел | Определение, пример и факты» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 9 мая 2021 г. Проверено 18 августа 2020 г.
  14. ^ Соаре, Роберт И. (2014). Рекурсивно перечислимые множества и степени: исследование вычислимых функций и вычислимо порожденных множеств . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-66681-3 . OCLC   1154894968 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a306bd2252b853348e1fca3da3718df2__1719929460
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a3/f2/a306bd2252b853348e1fca3da3718df2.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Limit (mathematics) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)