Обозначение точечного процесса

В вероятности и статистике теории нотация точечного процесса включает в себя диапазон математических обозначений, используемых для символического представления случайных объектов , известных как точечные процессы , которые используются в смежных областях, таких как стохастическая геометрия , пространственная статистика и теория перколяции континуума , и часто служат математическими моделями случайных процессов. явления, представимые в виде точек во времени, пространстве или в том и другом.

Обозначения различаются в зависимости от истории определенных математических областей и различных интерпретаций точечных процессов. ^[1]^[2]^[3] и заимствует обозначения из математических областей исследования, таких как теория меры и теория множеств . ^[1]

Интерпретация точечных процессов

Обозначения, а также терминология точечных процессов зависят от их постановки и интерпретации как математических объектов, которые при определенных предположениях можно интерпретировать как случайные последовательности точек, случайные наборы точек или случайные меры счета . ^[1]

Случайные последовательности точек

В некоторых математических рамках данный точечный процесс можно рассматривать как последовательность точек, каждая из которых случайно расположена в d -мерном евклидовом пространстве R. ^д^[1] а также некоторые другие более абстрактные математические пространства . В общем, эквивалентна ли случайная последовательность другим интерпретациям точечного процесса, зависит от основного математического пространства, но это справедливо и для конечномерного евклидова пространства R. ^д. ^[4]

Случайный набор очков

Точечный процесс называется простым , если никакие две (или более точки) не совпадают по расположению с вероятностью единица . Учитывая, что зачастую точечные процессы просты и порядок точек не имеет значения, совокупность случайных точек можно рассматривать как случайный набор точек. ^[1]^[5] Теория случайных множеств была независимо разработана Дэвидом Кендаллом и Жоржем Мэтероном . С точки зрения случайного набора, последовательность случайных точек является случайным замкнутым набором, если последовательность не имеет точек накопления с вероятностью единица. ^[6]

Точечный процесс часто обозначается одной буквой, ^[1]^[7]^[8] например ${N}$ , а если точечный процесс рассматривать как случайное множество, то соответствующие обозначения: ^[1]

x\in {N},

используется для обозначения того, что случайная точка $x$ является элементом (или принадлежит ) точечному процессу ${N}$ . Теория случайных множеств может быть применена к точечным процессам благодаря этой интерпретации, которая, наряду с интерпретацией случайной последовательности, привела к тому, что точечный процесс записался как:

\{x_{1},x_{2},\dots \}=\{x\}_{i},

что подчеркивает его интерпретацию как случайной последовательности или случайного замкнутого набора точек. ^[1] При этом иногда прописная буква обозначает точечный процесс, а строчная — точку из процесса, так, например, точка $\textstyle x$ (или $\textstyle x_{i}$ ) принадлежит или является точкой точечного процесса $\textstyle X$ , или с заданным обозначением, $\textstyle x\in X$ . ^[8]

Случайные меры

Для обозначения количества точек ${N}$ находится в каком-то наборе Бореля $B$ , иногда пишут ^[7]

\Phi (B)=\#(B\cap {N}),

где $\Phi (B)$ является случайной величиной и $\#$ является счетной мерой , которая дает количество точек в некотором множестве. В этом математическом выражении точечный процесс обозначается:

{N}

.

С другой стороны, символ:

\Phi

представляет собой количество точек ${N}$ в $B$ . В контексте случайных мер можно написать:

\Phi (B)=n

чтобы обозначить, что существует множество $B$ который содержит $n$ точки ${N}$ . Другими словами, точечный процесс можно рассматривать как случайную меру некоторую неотрицательную целочисленную меру . , которая присваивает множествам ^[1] Эта интерпретация привела к тому, что точечный процесс стал считаться просто еще одним названием случайной меры подсчета. ^[9]^: 106 и методы теории случайной меры, предлагающие другой способ изучения точечных процессов, ^[1]^[10] что также побуждает использовать различные обозначения, используемые в теории интегрирования и меры. ^[а]

Двойное обозначение

Различные интерпретации точечных процессов как случайных наборов и счетных мер фиксируются часто используемыми обозначениями ^[1]^[3]^[8]^[11] в котором:

${N}$ обозначает набор случайных точек.
${N}(B)$ обозначает случайную величину, которая дает количество точек ${N}$ в $B$ (следовательно, это случайная мера подсчета).

Обозначая снова счетную меру через $\#$ , это двойное обозначение подразумевает:

{N}(B)=\#(B\cap {N}).

Суммы

Если $f$ — некоторая измеримая функция на R ^д, то сумма $f(x)$ по всем пунктам $x$ в ${N}$ можно записать разными способами ^[1]^[3] такой как:

f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots

который имеет вид случайной последовательности или имеет заданное обозначение:

\sum _{x\in {N}}f(x)

или, что то же самое, с обозначением интегрирования как:

\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)

где особое внимание уделяется интерпретации ${N}$ является случайной счетной мерой. Альтернативное обозначение интегрирования можно использовать для записи этого интеграла как:

\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d{N}

Двойственная интерпретация точечных процессов иллюстрируется при записи числа ${N}$ очки в наборе $B$ как:

{N}(B)=\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)

где индикаторная функция $1_{B}(x)=1$ если точка $x$ существует в $B$ и ноль в противном случае, что в этом случае также известно как мера Дирака . ^[11] В этом выражении интерпретация случайной меры находится в левой части, а обозначение случайного набора — в правой части.

Ожидания

Среднее ожидаемое или значение суммы функций по точечному процессу записывается как: ^[1]^[3]

E\left[\sum _{x\in {N}}f(x)\right]\qquad {\text{or}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}f(x)P(d{N}),

где (в смысле случайной меры) $P$ – соответствующая вероятностная мера, определенная в пространстве счетных мер ${\textbf {N}}$ . Ожидаемая стоимость ${N}(B)$ можно записать как: ^[1]

E[{N}(B)]=E\left(\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)\right)\qquad {\text{or}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)P(d{N}).

который также известен как первого момента мера ${N}$ . Ожидание такой случайной суммы, известное как процесс дробового шума в теории точечных процессов, можно вычислить с помощью теоремы Кэмпбелла . ^[2]

Использование в других областях

Точечные процессы используются в других математических и статистических дисциплинах, поэтому обозначения могут использоваться в таких областях, как стохастическая геометрия , пространственная статистика или теория перколяции континуума , а также в областях, которые используют методы и теории из этих областей.

См. также

Примечания

↑ Как обсуждалось в главе 1 книги Стоян, Кендалл и Мечке, ^[1] меняющиеся обозначения интегралов вообще применимы ко всем интегралам здесь и в других местах.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот Д. Стоян, В.С. Кендалл, Дж. Мекке и Л. Рушендорф. Стохастическая геометрия и ее приложения , второе издание, раздел 4.1, Wiley Chichester, 1995.
^ Jump up to: ^а ^б Дэйли, диджей; Вер-Джонс, Д. (2003). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д М. Хэнгги. Стохастическая геометрия для беспроводных сетей . Глава 2. Издательство Кембриджского университета, 2012.
^ Дэйли, диджей; Вер-Джонс, Д. (2008). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8 .
^ Бэддели, А.; Барани, И.; Шнайдер, Р.; Вейль, В. (2007). «Пространственные точечные процессы и их приложения». Стохастическая геометрия . Конспект лекций по математике. Том. 1892. с. 1. дои : 10.1007/978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7 .
^ Шнайдер, Р.; Вейль, В. (2008). Стохастическая и интегральная геометрия . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4 .
^ Jump up to: ^а ^б JFC Кингман . Пуассоновские процессы , том 3. Издательство Оксфордского университета, 1992.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Моллер, Дж.; Пленге Ваагепетерсен, Р. (2003). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов . Монографии C&H/CRC по статистике и прикладной теории вероятности. Том. 100. CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . дои : 10.1201/9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7 .
^ Молчанов, Илья (2005). Теория случайных множеств . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/1-84628-150-4 . ISBN 978-1-85233-892-3 .
^ Гранделл, Январь (1977). «Точечные процессы и случайные меры». Достижения в области прикладной теории вероятности . 9 (3): 502–526. дои : 10.2307/1426111 . JSTOR 1426111 . S2CID 124650005 .
^ Jump up to: ^а ^б Бачелли, ФО (2009). «Стохастическая геометрия и беспроводные сети: теория тома I» (PDF) . Основы и тенденции в области сетевых технологий . 3 (3–4): 249–449. дои : 10.1561/1300000006 .

[11] Как обсуждалось в главе 1 книги Стоян, Кендалл и Мечке, ^[1] меняющиеся обозначения интегралов вообще применимы ко всем интегралам здесь и в других местах.

[stoyan1995stochastic-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот Д. Стоян, В.С. Кендалл, Дж. Мекке и Л. Рушендорф. Стохастическая геометрия и ее приложения , второе издание, раздел 4.1, Wiley Chichester, 1995.

[daleyPPI2003-2] Jump up to: ^а ^б Дэйли, диджей; Вер-Джонс, Д. (2003). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/b97277 . ISBN 978-0-387-95541-4 .

[haenggi2012stochastic-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д М. Хэнгги. Стохастическая геометрия для беспроводных сетей . Глава 2. Издательство Кембриджского университета, 2012.

[daleyPPII2008-4] Дэйли, диджей; Вер-Джонс, Д. (2008). Введение в теорию точечных процессов . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/978-0-387-49835-5 . ISBN 978-0-387-21337-8 .

[baddeley2007spatial-5] Бэддели, А.; Барани, И.; Шнайдер, Р.; Вейль, В. (2007). «Пространственные точечные процессы и их приложения». Стохастическая геометрия . Конспект лекций по математике. Том. 1892. с. 1. дои : 10.1007/978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7 .

[schneider2008stochastic-6] Шнайдер, Р.; Вейль, В. (2008). Стохастическая и интегральная геометрия . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/978-3-540-78859-1 . ISBN 978-3-540-78858-4 .

[kingman1992poisson-7] Jump up to: ^а ^б JFC Кингман . Пуассоновские процессы , том 3. Издательство Оксфордского университета, 1992.

[moller2003statistical-8] Jump up to: ^а ^б ^с Моллер, Дж.; Пленге Ваагепетерсен, Р. (2003). Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов . Монографии C&H/CRC по статистике и прикладной теории вероятности. Том. 100. CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . дои : 10.1201/9780203496930 . ISBN 978-1-58488-265-7 .

[molvcanov2005theory-9] Молчанов, Илья (2005). Теория случайных множеств . Вероятность и ее приложения. дои : 10.1007/1-84628-150-4 . ISBN 978-1-85233-892-3 .

[grandell1977point-10] Гранделл, Январь (1977). «Точечные процессы и случайные меры». Достижения в области прикладной теории вероятности . 9 (3): 502–526. дои : 10.2307/1426111 . JSTOR 1426111 . S2CID 124650005 .

[BB1-12] Jump up to: ^а ^б Бачелли, ФО (2009). «Стохастическая геометрия и беспроводные сети: теория тома I» (PDF) . Основы и тенденции в области сетевых технологий . 3 (3–4): 249–449. дои : 10.1561/1300000006 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[а]

[11]