Обозначения вероятности и статистики

В теории вероятностей и статистике помимо стандартных математических обозначений и математических символов есть некоторые часто используемые соглашения .

Теория вероятностей

• Случайные величины обычно пишутся прописными латинскими буквами: ${\textstyle X}$, ${\textstyle Y}$, и т. д.
• Частные реализации случайной величины записываются соответствующими строчными буквами. Например, ${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ может быть выборкой , соответствующей случайной величине ${\textstyle X}$. Кумулятивная вероятность формально записывается $P(X\leq x)$ дифференцировать случайную величину от ее реализации.
• Вероятность иногда пишут $\mathbb {P}$ чтобы отличить ее от других функций и измерить P , чтобы избежать необходимости определять « P - это вероятность» и $\mathbb {P} (X\in A)$ это сокращение от $P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})$, где $\Omega$ это пространство для проведения мероприятий и $X(\omega )$ является случайной величиной. $\Pr(A)$ обозначения используются альтернативно.
• $\mathbb {P} (A\cap B)$ или $\mathbb {P} [B\cap A]$ указывает на вероятность того, что события A и B произойдут. Совместное распределение вероятностей случайных величин X и Y обозначается как $P(X,Y)$, а совместная функция массы вероятности или функция плотности вероятности как $f(x,y)$ и совместная кумулятивная функция распределения как $F(x,y)$.
• $\mathbb {P} (A\cup B)$ или $\mathbb {P} [B\cup A]$ указывает на вероятность наступления события A или события B («или» в данном случае означает одно, другое или оба ).
• σ-алгебры обычно пишутся каллиграфическими буквами в верхнем регистре (например, ${\mathcal {F}}$ для множества множеств, на которых мы определяем вероятность P )
• Функции плотности вероятности (pdf) и функции массы вероятности обозначаются строчными буквами, например $f(x)$, или $f_{X}(x)$.
• Кумулятивные функции распределения (cdfs) обозначаются прописными буквами, например $F(x)$, или $F_{X}(x)$.
• Функции выживания или дополнительные кумулятивные функции распределения часто обозначаются путем помещения черточки над символом кумулятивной функции: ${\overline {F}}(x)=1-F(x)$, или обозначается как $S(x)$,
• В частности, PDF стандартного нормального распределения обозначается как ${\textstyle \varphi (z)}$и его cdf по ${\textstyle \Phi (z)}$.
• Некоторые распространенные операторы:

• ${\textstyle \mathrm {E} [X]}$ : ожидаемое значение X
• ${\textstyle \operatorname {var} [X]}$ : дисперсия X ​
• ${\textstyle \operatorname {cov} [X,Y]}$ : ковариация X ​ и Y

• X не зависит от Y, часто пишут $X\perp Y$ или $X\perp \!\!\!\perp Y$, и X не зависит от Y, учитывая, что W часто пишется

$X\perp \!\!\!\perp Y\,|\,W$ или

$X\perp Y\,|\,W$

• $\textstyle P(A\mid B)$, условная вероятность , это вероятность $\textstyle A$ данный $\textstyle B$

Статистика

• Греческие буквы (например, θ , β ) обычно используются для обозначения неизвестных параметров (параметров популяции).
• Тильда (~) означает «имеет распределение вероятностей».
• Помещение шляпы или курсора (также известного как циркумфлекс) над истинным параметром означает оценку , например: его ${\widehat {\theta }}$ является оценщиком $\theta$.
• ряда Среднее арифметическое значений ${\textstyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ часто обозначается размещением над символом « черты », например ${\bar {x}}$, произносится " ${\textstyle x}$ бар".
• некоторые часто используемые символы для примера Ниже приведены статистики:
  • выборочное среднее ${\bar {x}}$,
  • выборочная дисперсия ${\textstyle s^{2}}$,
  • выборочное стандартное отклонение ${\textstyle s}$,
  • выборочный коэффициент корреляции ${\textstyle r}$,
  • образцы кумулянтов ${\textstyle k_{r}}$.
• Некоторые часто используемые символы для параметров популяции приведены ниже:
  • население означает ${\textstyle \mu }$,
  • дисперсия населения ${\textstyle \sigma ^{2}}$,
  • стандартное отклонение генеральной совокупности ${\textstyle \sigma }$,
  • населения корреляция ${\textstyle \rho }$,
  • населения кумулянты ${\textstyle \kappa _{r}}$,
• $x_{(k)}$ используется для $k^{\text{th}}$ статистика заказа , где $x_{(1)}$ – это выборочный минимум и $x_{(n)}$ это максимум выборки из общего размера выборки ${\textstyle n}$.

Критические значения

Верхнее α -уровня критическое значение распределения вероятностей — это значение, превышаемое с вероятностью ${\textstyle \alpha }$, то есть значение ${\textstyle x_{\alpha }}$ такой, что ${\textstyle F(x_{\alpha })=1-\alpha }$, где ${\textstyle F}$ – кумулятивная функция распределения. Существуют стандартные обозначения верхних критических значений некоторых часто используемых в статистике распределений:

• ${\textstyle z_{\alpha }}$ или ${\textstyle z(\alpha )}$ для стандартного нормального распределения
• ${\textstyle t_{\alpha ,\nu }}$ или ${\textstyle t(\alpha ,\nu )}$ для t -распределения с ${\textstyle \nu }$ степени свободы
• ${\chi _{\alpha ,\nu }}^{2}$ или ${\chi }^{2}(\alpha ,\nu )$ для распределения хи-квадрат с ${\textstyle \nu }$ степени свободы
• $F_{\alpha ,\nu _{1},\nu _{2}}$ или ${\textstyle F(\alpha ,\nu _{1},\nu _{2})}$ для F-распределения с ${\textstyle \nu _{1}}$ и ${\textstyle \nu _{2}}$ степени свободы

Линейная алгебра

• Матрицы обычно обозначаются жирным шрифтом, заглавными буквами, например ${\textstyle {\mathbf {A}}}$.
• Векторы-столбцы обычно обозначаются жирными строчными буквами, например ${\textstyle {\mathbf {x}}}$.
• Оператор транспонирования обозначается либо верхним индексом T (например, ${\textstyle {\mathbf {A}}^{\mathrm {T} }}$) или простой символ (например, ${\textstyle {\mathbf {A}}'}$).
• Вектор -строка записывается как транспонирование вектора-столбца, например ${\textstyle {\mathbf {x}}^{\mathrm {T} }}$ или ${\textstyle {\mathbf {x}}'}$.

Сокращения

Общие сокращения включают в себя:

• да почти везде
• почти наверняка
• cdf кумулятивная функция распределения
• cmf кумулятивная функция масс
• df степеней свободы (также $\nu$)
• iid независимы и одинаково распределены
• PDF- функция плотности вероятности
• pmf функция массы вероятности
• r.v. random variable
• wp с вероятностью; wp1 с вероятностью 1
• io бесконечно часто, т.е. $\{A_{n}{\text{ i.o.}}\}=\bigcap _{N}\bigcup _{n\geq N}A_{n}$
• ульт. в конечном счете, т.е. $\{A_{n}{\text{ ult.}}\}=\bigcup _{N}\bigcap _{n\geq N}A_{n}$

См. также

• Глоссарий вероятности и статистики
• Комбинации и перестановки
• История математической записи

Ссылки

• Гальперин, Макс; Хартли, ХО; Хоэл, П.Г. (1965), «Рекомендуемые стандарты для статистических символов и обозначений. Комитет COPSS по символам и обозначениям», The American Statistician , 19 (3): 12–14, doi : 10.2307/2681417 , JSTOR   2681417

Внешние ссылки

• Самое раннее использование символов в теории вероятности и статистике , поддерживается Джеффом Миллером.