Броуновский меандр

В математической вероятностей теории броуновский меандр $W^{+}=\{W_{t}^{+},t\in [0,1]\}$ представляет собой непрерывный неоднородный марковский процесс , определяемый следующим образом:

Позволять $W=\{W_{t},t\geq 0\}$ — стандартное одномерное броуновское движение и $\tau :=\sup\{t\in [0,1]:W_{t}=0\}$, т.е. последний раз перед t = 1, когда $W$ посещения $\{0\}$. Тогда броуновский меандр определяется следующим образом:

$W_{t}^{+}:={\frac {1}{\sqrt {1-\tau }}}|W_{\tau +t(1-\tau )}|,\quad t\in [0,1].$

Словом, пусть $\tau$ быть последним разом перед 1, когда стандартное броуновское движение посещает $\{0\}$. ( $\tau <1$ почти наверняка.) Мы отсекаем и отбрасываем траекторию броуновского движения, прежде чем $\tau$и масштабируйте оставшуюся часть так, чтобы она охватывала временной интервал длиной 1. Коэффициент масштабирования для пространственной оси должен быть квадратным корнем из коэффициента масштабирования для оси времени. Процесс, возникающий в результате этой процедуры разрезания и масштабирования, представляет собой броуновский меандр. Как следует из названия, это часть броуновского движения, которая все время находится вдали от своей начальной точки. $\{0\}$.

Плотность перехода $p(s,x,t,y)\,dy:=P(W_{t}^{+}\in dy\mid W_{s}^{+}=x)$ Броуновский меандр описывается следующим образом:

Для $0<s<t\leq 1$ и $x,y>0$, и писать

$\varphi _{t}(x):={\frac {\exp\{-x^{2}/(2t)\}}{\sqrt {2\pi t}}}\quad {\text{and}}\quad \Phi _{t}(x,y):=\int _{x}^{y}\varphi _{t}(w)\,dw,$

у нас есть

${\begin{aligned}p(s,x,t,y)\,dy:={}&P(W_{t}^{+}\in dy\mid W_{s}^{+}=x)\\={}&{\bigl (}\varphi _{t-s}(y-x)-\varphi _{t-s}(y+x){\bigl )}{\frac {\Phi _{1-t}(0,y)}{\Phi _{1-s}(0,x)}}\,dy\end{aligned}}$

и

$p(0,0,t,y)\,dy:=P(W_{t}^{+}\in dy)=2{\sqrt {2\pi }}{\frac {y}{t}}\varphi _{t}(y)\Phi _{1-t}(0,y)\,dy.$

В частности,

$P(W_{1}^{+}\in dy)=y\exp\{-y^{2}/2\}\,dy,\quad y>0,$

т.е. $W_{1}^{+}$ имеет распределение Рэлея с параметром 1, то же распределение, что и ${\sqrt {2\mathbf {e} }}$, где $\mathbf {e}$ — экспоненциальная случайная величина с параметром 1.

Ссылки

• Дюретт, Ричард; Иглхарт, Дональд; Миллер, Дуглас (1977). «Слабая сходимость к броуновскому меандру и броуновскому отклонению» . Анналы вероятности . 5 (1): 117–129. дои : 10.1214/aop/1176995895 .
• Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-57622-3 .