Функция распределения сферических контактов

В вероятности и статистике сферическая функция распределения контактов , функция распределения первых контактов , или функция пустого пространства — это математическая функция , определенная по отношению к математическим объектам , известным как точечные процессы , которые представляют собой типы случайных процессов, часто используемые в качестве математических моделей физических явлений, представляемых в виде случайно расположенных точек во времени, пространстве или в том и другом. Более конкретно, функция распределения сферических контактов определяется как распределение вероятностей радиуса сферы, когда она впервые сталкивается с точкой или вступает в контакт с ней в точечном процессе. Эту функцию можно противопоставить функции ближайшего соседа , которая определяется по отношению к некоторой точке точечного процесса как распределение вероятностей расстояния от этой точки до ближайшей соседней точки в том же точечном процессе.

Функция сферического контакта также называется функцией распределения контактов . но некоторые авторы определить функцию распределения контактов по отношению к более общему множеству, а не просто к сфере, как в случае сферической функции распределения контактов.

Сферические контактные функции распределения используются при исследовании точечных процессов. а также смежные области стохастической геометрии и пространственная статистика , которые применяются в различных научных и инженерных дисциплинах, таких как биология , геология , физика и телекоммуникации .

Обозначение точечного процесса

Основная статья: Обозначение точечного процесса

Точечные процессы — это математические объекты, определенные в некотором базовом математическом пространстве . Поскольку эти процессы часто используются для представления наборов точек, случайно разбросанных в пространстве, времени или в том и другом, базовое пространство обычно представляет собой d -мерное евклидово пространство, обозначаемое здесь как $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$, но их можно определить в более абстрактных математических пространствах.

Точечные процессы имеют ряд интерпретаций, что отражается в различных типах обозначений точечных процессов . Например, если точка $\textstyle x$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначаемого $\textstyle {N}$, то это можно записать так:

$\textstyle x\in {N},$

и представляет собой точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор . Альтернативно, количество баллов $\textstyle {N}$ находится в каком-то наборе Бореля $\textstyle B$ часто пишется так:

$\textstyle {N}(B),$

что отражает интерпретацию случайной меры для точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо.

Определения

Функция распределения сферических контактов

Функция распределения сферических контактов определяется как:

$H_{s}(r)=1-P({N}(b(o,r))=0).$

где b(o,r) — шар радиуса r с центром в начале координат o . Другими словами, сферическая функция распределения контактов — это вероятность отсутствия точек точечного процесса, расположенных в гиперсфере радиуса r .

Функция распределения контактов

Функцию распределения сферических контактов можно обобщить для множеств, отличных от (гипер)сферы в $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$. Для некоторого набора Бореля $\textstyle B$ с положительным объемом (точнее, мерой Лебега) контактная функция распределения ( по отношению к $\textstyle B$) для $\textstyle r\geq 0$ определяется уравнением:

$H_{B}(r)=P({N}(rB)=0).$

Примеры

Точный процесс Пуассона

Для точечного процесса Пуассона $\textstyle {N}$ на $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$ с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ это становится

$H_{s}(r)=1-e^{-\Lambda (b(o,r))},$

что для однородного случая становится

$H_{s}(r)=1-e^{-\lambda |b(o,r)|},$

где $\textstyle |b(o,r)|$ обозначает объем (точнее, меру Лебега) шара радиуса $\textstyle r$. В самолете $\textstyle {\textbf {R}}^{2}$, это выражение упрощается до

$H_{s}(r)=1-e^{-\lambda \pi r^{2}}.$

Связь с другими функциями

Функция ближайшего соседа

В общем случае функция распределения сферических контактов и соответствующая функция ближайшего соседа не равны. Однако эти две функции идентичны для точечных процессов Пуассона. Фактически, эта характеристика обусловлена ​​уникальным свойством процессов Пуассона и их распределений Пальма , которое образует часть результата, известного как уравнение Сливняка-Мекке. или теорема Сливняка .

J -функция

Тот факт, что сферическая функция распределения H _s (r) и функция ближайшего соседа D _o (r) идентичны для точечного процесса Пуассона, можно использовать для статистической проверки, соответствуют ли данные точечного процесса данным точечного процесса Пуассона. Например, в пространственной статистике J -функция определяется для всех r ≥ 0 как:

$J(r)={\frac {1-D_{o}(r)}{1-H_{s}(r)}}$

Для точечного процесса Пуассона функция J равна просто J ( r ) =1, поэтому она используется в качестве непараметрического теста того, ведут ли данные себя так, как если бы они были из процесса Пуассона. Однако считается возможным построить непуассоновские точечные процессы, для которых J ( r ) =1, но некоторые считают такие контрпримеры несколько «искусственными» и существуют для других статистических тестов.

В более общем смысле, J -функция служит одним из способов (другие включают использование мер факториального момента ) для измерения взаимодействия между точками в точечном процессе.

См. также

• Функция ближайшего соседа
• Факториальная мера момента
• Измерение момента