Распределение по ближайшему соседу

Чтобы узнать о других значениях, см. « Ближайший сосед» .

В вероятности и статистике функция ближайшего соседа , распределение расстояний до ближайшего соседа , функция распределения ближайших соседей или распределение ближайшего соседа — это математическая функция , определенная по отношению к математическим объектам , известным как точечные процессы , которые часто используются в качестве математических моделей физических явлений, представляемых в виде случайно расположенных точек во времени, пространстве или в том и другом. Более конкретно, функции ближайшего соседа определяются по отношению к некоторой точке точечного процесса как распределение вероятностей расстояния от этой точки до ближайшей соседней точки в том же точечном процессе, следовательно, они используются для описания вероятности другой точки. существующий на некотором расстоянии от точки. Функцию ближайшего соседа можно противопоставить функции распределения сферических контактов , которая определяется не по отношению к некоторой начальной точке, а скорее как распределение вероятностей радиуса сферы, когда она впервые встречается или вступает в контакт с точкой точечного процесса. .

Функция ближайшего соседа используется при исследовании точечных процессов. а также смежные области стохастической геометрии и пространственная статистика , которые применяются в различных научных и инженерных дисциплинах, таких как биология , геология , физика и телекоммуникации .

Обозначение точечного процесса

Основная статья: Обозначение точечного процесса

Точечные процессы — это математические объекты, определенные в некотором базовом математическом пространстве . Поскольку эти процессы часто используются для представления наборов точек, случайно разбросанных в пространстве, времени или в том и другом, базовое пространство обычно представляет собой d -мерное евклидово пространство, обозначаемое здесь как $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$, но их можно определить в более абстрактных математических пространствах.

Точечные процессы имеют ряд интерпретаций, что отражается в различных типах обозначений точечных процессов . Например, если точка $\textstyle x$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначаемого $\textstyle {N}$, то это можно записать так:

$\textstyle x\in {N},$

и представляет собой точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор . Альтернативно, количество баллов $\textstyle {N}$ находится в каком-то наборе Бореля $\textstyle B$ часто пишется так:

$\textstyle {N}(B),$

что отражает интерпретацию случайной меры для точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо.

Определения

Функция ближайшего соседа

Функция ближайшего соседа, в отличие от функции распределения сферических контактов , определяется по отношению к некоторой точке точечного процесса, уже существующего в некоторой области пространства. Точнее, для некоторого момента точечного процесса $\textstyle {N}$, функция ближайшего соседа — это распределение вероятностей расстояния от этой точки до ближайшей или ближайшей соседней точки.

Чтобы определить эту функцию для точки, расположенной в $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$ например, в начале координат $\textstyle o$, $\textstyle d$-мерный шар $\textstyle b(o,r)$ радиуса $\textstyle r$ с центром в начале координат o . Учитывая точку $\textstyle {N}$ существующий в $\textstyle o$, то функция ближайшего соседа определяется как:

$D_{o}(r)=1-P({N}(b(o,r))=1\mid o).$

где $\textstyle P({N}(b(o,r))=1\mid o)$ обозначает условную вероятность того, что существует одна точка $\textstyle {N}$ расположен в $\textstyle b(o,r)$ учитывая, что есть точка $\textstyle {N}$ расположен по адресу $\textstyle o$.

Контрольная точка не обязательно должна находиться в начале координат и может располагаться в произвольной точке. $\textstyle x\in {\textbf {R}}^{d}$. Учитывая точку $\textstyle {N}$ существующий в $\textstyle x$, то функция ближайшего соседа определяется как:

$D_{x}(r)=1-P({N}(b(x,r))=1\mid x).$

Примеры

Математические выражения распределения ближайших соседей существуют только для нескольких точечных процессов.

Точный процесс Пуассона

Для точечного процесса Пуассона $\textstyle {N}$ на $\textstyle {\textbf {R}}^{d}$ с мерой интенсивности $\textstyle \Lambda$ функция ближайшего соседа:

$D_{x}(r)=1-e^{-\Lambda (b(x,r))},$

что для однородного случая становится

$D_{x}(r)=1-e^{-\lambda |b(x,r)|},$

где $\textstyle |b(x,r)|$ обозначает объём (точнее, меру Лебега ) (гипер)шара радиуса $\textstyle r$. В самолете $\textstyle {\textbf {R}}^{2}$ с контрольной точкой, расположенной в начале координат, это становится

$D_{x}(r)=1-e^{-\lambda \pi r^{2}}.$

Связь с другими функциями

Функция распределения сферических контактов

В общем случае функция распределения сферических контактов и соответствующая функция ближайшего соседа не равны. Однако эти две функции идентичны для точечных процессов Пуассона. Фактически эта характеристика обусловлена ​​уникальным свойством процессов Пуассона и их распределений Пальма, которое составляет часть результата, известного как уравнение Сливняка–Мекке. или теорема Сливняка .

J -функция

Тот факт, что сферическая функция распределения H _s ( r ) и функция ближайшего соседа D _o ( r ) идентичны для точечного процесса Пуассона, можно использовать для статистической проверки, соответствуют ли данные точечного процесса данным точечного процесса Пуассона. Например, в пространственной статистике J -функция определяется для всех r ≥ 0 как:

$J(r)={\frac {1-D_{o}(r)}{1-H_{s}(r)}}$

Для точечного процесса Пуассона функция J равна просто J ( r ) = 1, поэтому она используется в качестве непараметрического теста того, ведут ли данные себя так, как если бы они были получены из процесса Пуассона. Однако считается возможным построить непуассоновские точечные процессы, для которых J ( r ) = 1, но некоторые считают такие контрпримеры несколько «искусственными» и существуют для других статистических тестов.

В более общем смысле, J -функция служит одним из способов (другие включают использование мер факториального момента ) для измерения взаимодействия между точками в точечном процессе.

См. также

• Факториальный момент
• Размер локального объекта
• Измерение момента
• Функция распределения сферических контактов