Стохастический анализ на многообразиях

В математике стохастический анализ многообразий или стохастическая дифференциальная геометрия — это изучение стохастического анализа гладких многообразий . Таким образом, это синтез стохастического анализа (распространения исчисления на случайные процессы ) и дифференциальной геометрии .

Связь между анализом и случайными процессами вытекает из фундаментального соотношения, согласно которому бесконечно малый генератор непрерывного сильного марковского процесса второго порядка является эллиптическим оператором . Инфинитезимальным генератором броуновского движения являются оператор Лапласа и вероятности перехода плотность $p(t,x,y)$ Броуновского движения является минимальным тепловым ядром уравнения теплопроводности . Интерпретируя пути броуновского движения как характеристические кривые оператора, броуновское движение можно рассматривать как стохастический аналог потока к оператору в частных производных второго порядка.

Стохастический анализ на многообразиях исследует случайные процессы на нелинейных пространствах состояний или многообразиях . Классическую теорию можно переформулировать в бескоординатном представлении. При этом зачастую сложно (или невозможно) сформулировать объекты с координатами $\mathbb {R} ^{d}$. Таким образом, нам нужна дополнительная структура в виде линейной связности или римановой метрики для определения мартингалов и броуновского движения на многообразиях. Следовательно, броуновское движение, управляемое римановой метрикой, по определению будет локальным объектом. Однако его стохастическое поведение определяет глобальные аспекты топологии и геометрии многообразия.

Броуновское движение определяется как процесс диффузии, порождаемый оператором Лапласа-Бельтрами. ${\tfrac {1}{2}}\Delta _{M}$ относительно многообразия $M$ и может быть построен как решение неканонического стохастического дифференциального уравнения на римановом многообразии. Поскольку представления Хёрмандера оператора не существует $\Delta _{M}$ если многообразие не распараллеливаемо , т. е. если касательное расслоение нетривиально, не существует канонической процедуры построения броуновского движения. если многообразие снабжено связностью: тогда мы можем ввести стохастический горизонтальный подъем семимартингала Однако это препятствие можно преодолеть , и стохастическое развитие с помощью так называемой конструкции Илса-Элворти-Маллиавена .

Последний представляет собой обобщение горизонтального подъема гладких кривых на горизонтальные кривые в связке фреймов , так что антиразвитие и горизонтальный подъем связаны стохастическим дифференциальным уравнением. Используя это, мы можем рассмотреть СДУ на расслоении ортонормированных реперов , риманова многообразия решением которого является броуновское движение и которое проецируется вниз на (базовое) многообразие посредством стохастического развития . Визуальное представление этой конструкции соответствует построению сферического броуновского движения путем скатывания без проскальзывания многообразия по путям (или следам) броуновского движения, оставленным в евклидовом пространстве.

Стохастическая дифференциальная геометрия дает представление о классических аналитических задачах и предлагает новые подходы к доказательству результатов с помощью вероятности. Например, можно применить броуновское движение к задаче Дирихле на бесконечности для многообразий Картана-Адамара. или дать вероятностное доказательство теоремы об индексе Атьи-Зингера . Стохастическая дифференциальная геометрия также применяется в других областях математики (например, в математических финансах ). Например, мы можем преобразовать классическую теорию арбитража в дифференциально-геометрический язык (также называемый геометрической теорией арбитража ).

Предисловие

Для удобства читателя и, если не оговорено иное, пусть $(\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )$ быть фильтрованным вероятностным пространством и $M$ быть гладким многообразием. Фильтрация удовлетворяет обычным условиям, т. е. непрерывна справа и полна. Мы используем интеграл Стратоновича , который подчиняется классическому цепному правилу (по сравнению с исчислением Ито ). Главное преимущество для нас заключается в том, что стохастические дифференциальные уравнения устойчивы относительно диффеоморфизмов $f:M\to N$ между многообразиями, т.е. если $X$ это решение, то также $f(X)$ является решением при преобразованиях стохастического дифференциального уравнения.

Обозначение:

• $TM$ является. касательное расслоение ​ $M$.
• $T^{*}M$ представляет собой котангенс расслоения $M$.
• $\Gamma (TM)$ это $C^{\infty }(M)$-модуль векторных полей на $M$.
• $X\circ dZ$ – интеграл Стратоновича.
• $C_{c}^{\infty }(M)$ – пространство тестовых функций на $M$, то есть $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ гладкая и имеет компактную опору.
• ${\widehat {M}}:=M\cup \{\infty \}$ — одноточечная компактификация (или компактификация Александрова).

Поточные процессы

Поточные процессы (также называемые $L$-диффузии ) — вероятностный аналог интегральных кривых ( линий тока ) векторных полей. Напротив, процесс потока определяется относительно дифференциального оператора второго порядка и, таким образом, обобщает понятие детерминированных потоков, определяемых относительно оператора первого порядка .

Оператор частного дифференциала в форме Хёрмандера

Позволять $A\in \Gamma (TM)$ быть векторным полем, понимаемым как вывод $C^{\infty }(M)$- изоморфизм

$\Gamma (TM)\to \operatorname {Der} _{\mathbb {R} }C^{\infty }(M),\quad A\mapsto (f\mapsto Af)$

для некоторых $f\in C^{\infty }(M)$. Карта $Af:M\to \mathbb {R}$ определяется $Af(x):=A_{x}(f)$. Для композиции задаем $A^{2}:=A(A(f))$ для некоторых $f\in C^{\infty }(M)$.

Оператор частичного дифференциала (PDO) $L:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ задана в форме Хёрмандера тогда и только тогда, когда существуют векторные поля $A_{0},A_{1},\dots ,A_{r}\in \Gamma (TM)$ и $L$ можно записать в форме

$L=A_{0}+\sum \limits _{i=1}^{r}A_{i}^{2}$.

Потоковой процесс

Позволять $L$ быть PDO в форме Хёрмандера на $M$ и $x\in M$ отправная точка. Адаптированный и непрерывный $M$-ценный процесс $X$ с $X_{0}=x$ называется потоковым процессом, $L$ начиная с $x$, если для каждой тестовой функции $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ и $t\in \mathbb {R} _{+}$ процесс

$N(f)_{t}:=f(X_{t})-f(X_{0})-\int _{0}^{t}Lf(X_{r})\mathrm {d} r$

является мартингалом, т.е.

$\mathbb {E} \left(N(f)_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}\right)=N(f)_{s},\quad \forall s\leq t$.

Примечание

Для тестовой функции $f\in C_{c}^{\infty }(M)$, ЗОП $L$ в форме Хёрмандера и поточном процессе $X_{t}^{x}$ (начиная с $x$) также содержит уравнение потока, но по сравнению с детерминированным случаем только в среднем

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbb {E} f(X_{t}^{x})=\mathbb {E} \left[Lf(X_{t}^{x})\right]$.

и мы можем восстановить PDO, взяв производную по времени в момент 0, т.е.

$\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\mathbb {E} f(X_{t}^{x})=Lf(x)$.

Срок службы и время взрыва

Позволять $\emptyset \neq U\subset \mathbb {R} ^{n}$ быть открытым и $\xi >0$ предсказуемое время остановки . Мы звоним $\xi$ время жизни непрерывного семимартингала $X=(X_{t})_{0\leq t<\xi }$ на $U$ если

• существует последовательность времен остановки $(\xi _{n})$ с $\xi _{n}\nearrow \xi$, такой, что $\xi _{n}<\xi$ $\mathbb {P}$- почти наверняка включен $\{0<\xi <\infty \}$.
• остановленный процесс $(X_{t\wedge \xi _{n}})$ является семимартингалом.

Более того, если $X_{\xi _{n}(\omega )}\to \partial U$ почти для всех $\omega \in \{\xi <\infty \}$, мы звоним $\xi$ время взрыва .

Потоковый процесс $X$ может иметь ограниченное время жизни $\xi$. Под этим мы подразумеваем, что $X=(X)_{t<\xi }$ определяется так, что если $t\to \xi$, затем $\mathbb {P}$- почти наверняка включен $\{\xi <\infty \}$ у нас есть $X_{t}\to \infty$ в одноточечной компактификации ${\widehat {M}}:=M\cup \{\infty \}$. В этом случае мы расширяем процесс по пути на $X_{t}:=\infty$ для $t\geq \xi$.

Семимартингалы на многообразии

Процесс $X$ это как эмимартингал на $M$, если для каждого $f\in C^{2}(M)$ случайная величина $f(X)$ это $\mathbb {R}$-семимартингал, т.е. композиция любой гладкой функции $f$ с процессом $X$ представляет собой действительный семимартингал. Можно показать, что любой $M$-семимартингал – это решение стохастического дифференциального уравнения на $M$. Если семимартингал определен только до конечного времени жизни $\xi$, мы всегда можем построить семимартингал с бесконечным временем жизни путем преобразования времени. Семимартингал имеет квадратичную вариацию относительно сечения в пучке билинейных форм на $TM$.

Введение интеграла Стратоновича дифференциальной формы $\alpha$ по семимартингалу $X$ мы можем изучить так называемое поведение обмотки $X$, т.е. обобщение числа витков .

Интеграл Стратоновича от 1-формы

Позволять $X$ быть $M$-оценный семимартингал и $\alpha \in \Gamma (T^{*}M)$ быть 1-формой . Мы называем интеграл $\int _{X}\alpha :=\int \alpha (\circ dX)$ Стратоновича интеграл $\alpha$ вдоль $X$. Для $f\in C^{\infty }(M)$ мы определяем $f(X)\circ \alpha (\circ dX):=f(X)\circ d(\int _{X}\alpha )$.

SDEs on a manifold

Стохастическое дифференциальное уравнение на многообразии $M$, обозначенный SDE на $M$, определяется парой $(A,Z)$ включая гомоморфизм расслоений (т.е. гомоморфизм векторных расслоений ) или ( $r+1$)-кортеж $(A_{1},\dots ,A_{r},Z)$ с векторными полями $A_{1},\dots ,A_{r}$ данный. Используя вложение Уитни , мы можем показать, что существует единственное максимальное решение каждого СДУ на $M$ с начальным состоянием $X_{0}=x$. Если мы определили максимальное решение, мы восстанавливаем непосредственно потоковый процесс $X^{x}$ оператору $L$.

Определение

SDE на $M$ это пара $(A,Z)$, где

• $Z=(Z_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ является непрерывным семимартингалом на конечномерном $\mathbb {R}$-векторное пространство $E$; и
• $A:M\times E\to TM$ является (гладким) гомоморфизмом векторных расслоений над $M$

$A:(x,e)\mapsto A(x)e$

где $A(x):E\to TM$ представляет собой линейную карту.

Стохастическое дифференциальное уравнение $(A,Z)$ обозначается

$dX=A(X)\circ dZ$

или

$dX=\sum \limits _{i=1}^{r}A_{i}(X)\circ dZ^{i}.$

Последнее следует из установки $A_{i}:=A(\cdot )e_{i}$ относительно основы $(e_{i})_{i=1,\dots ,r}$ и $\mathbb {R}$-значные семимартингалы $(Z^{i})_{i=1,\dots ,r}$ с $Z=\sum \limits _{i=1}^{r}Z^{i}e_{i}$.

Что касается заданных векторных полей $A_{1},\dots ,A_{r}\in \Gamma (TM)$ существует ровно один гомоморфизм расслоения $A$ такой, что $A_{i}:=A(\cdot )e_{i}$, наше определение СДУ на $M$ как $(A_{1},\dots ,A_{r},Z)$ правдоподобно.

Если $Z$ имеет только конечное время жизни, мы можем преобразовать временной горизонт в бесконечный случай.

Решения

Позволять $(A,Z)$ быть SDE на $M$ и $x_{0}:\Omega \to M$ а ${\mathcal {F}}_{0}$-измеримая случайная величина. Позволять $(X_{t})_{t<\zeta }$ быть непрерывно адаптированным $M$-ценный процесс со временем жизни $\zeta$ в том же вероятностном пространстве, например $Z$. Затем $(X_{t})_{t<\zeta }$ называется решением СДУ

$dX=A(X)\circ dZ$

с начальным состоянием $X_{0}=x_{0}$ до конца жизни $\zeta$, если для каждой тестовой функции $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ процесс $f(X)$ это $\mathbb {R}$-значный семимартингал и для каждого времени остановки $\tau$ с $0\leq \tau <\zeta$, оно держится $\mathbb {P}$- почти наверняка

$f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(df)_{X_{s}}A(X_{s})\circ \mathrm {d} Z_{s}$,

где $(df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M$ - это толчок вперед (или дифференциал) в точке $X$. Следуя идее сверху, по определению $f(X)$ является семимартингалом для каждой тестовой функции $f\in C_{c}^{\infty }(M)$, так что $X$ это семимартингал на $M$.

Если время жизни максимально, т.е.

$\{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}$

$\mathbb {P}$-почти наверняка назовем это решение максимальным решением . Время жизни максимального решения $X$ можно распространить на все $\mathbb {R} _{+}$ , и после расширения $f$ всему ${\widehat {M}}$, уравнение

$f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(df)_{X}A(X)\circ dZ,\quad t\geq 0$,

держится до неразличимости.

Примечание

Позволять $Z=(t,B)$ с $d$-мерное броуновское движение $B=(B_{1},\dots ,B_{d})$, то мы можем показать, что каждое максимальное решение, начинающееся в $x_{0}$ это процесс потока для оператора

$L=A_{0}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{d}A_{i}^{2}$.

Мартингалы и броуновское движение

Броуновское движение на многообразиях представляет собой стохастический процесс течения оператора Лапласа-Бельтрами . можно построить броуновское движение. На римановых многообразиях $(M,g)$. Однако, чтобы следовать каноническому анзацу , нам нужна дополнительная структура. Позволять ${\mathcal {O}}(d)$ быть ортогональной группой ; мы рассматриваем каноническое СДУ на расслоении ортонормированных реперов $O(M)$ над $M$, решением которого является броуновское движение. Ортонормированный пакет реперов представляет собой совокупность всех множеств. $O_{x}(M)$ ортонормированных реперов касательного пространства $T_{x}M$

$O(M):=\bigcup \limits _{x\in M}O_{x}(M)$

или, другими словами, ${\mathcal {O}}(d)$- основной пакет, связанный с $TM$.

Конструкция Илса-Элворти-Маллявена броуновского движения на многообразиях

Позволять $W$ быть $\mathbb {R} ^{d}$-значный семимартингал. Решение $U$ СДЭ

$dU_{t}=\sum \limits _{i=1}^{d}A_{i}(U_{t})\circ dW_{t}^{i},\quad U_{0}=u_{0},$

определяется проекцией $\pi :O(M)\to M$ броуновского движения $X$ на римановом многообразии — это стохастическое развитие от $W$ на $M$. И наоборот, мы называем $W$ противодействие развитию ​ $U$ или, соответственно, $\pi (U)=X$. Короче говоря, мы получаем следующие соотношения: $W\leftrightarrow U\leftrightarrow X$, где

• $U$ это $O(M)$-оцененный семимартингал; и
• $X$ это $M$-значный семимартингал.

Для риманова многообразия мы всегда используем связность Леви-Чивита и соответствующий оператор Лапласа-Бельтрами. $\Delta _{M}$. Ключевое наблюдение состоит в том, что существует поднятая версия оператора Лапласа-Бельтрами на расслоении ортонормированных реперов. Фундаментальное соотношение гласит: $f\in C^{\infty }(M)$,

$\Delta _{M}f(x)=\Delta _{O(M)}(f\circ \pi )(u)$

для всех $u\in O(M)$ с $\pi u=x$и оператор $\Delta _{O(M)}$ на $O(M)$ корректно определен для так называемых горизонтальных векторных полей . Оператор $\Delta _{O(M)}$ называется горизонтальным оператором Лапласа Бохнера .

Мартингалы с линейной связностью

Чтобы определить мартингалы, нам нужна линейная связь $\nabla$. Используя связь, мы можем охарактеризовать $\nabla$-мартингалы, если их антиразвитием является локальный мартингал. Также возможно определить $\nabla$-мартингалы без использования антиразвития.

Мы пишем ${\stackrel {m}{=}}$ чтобы указать, что равенство имеет место по модулю дифференциалов локальных мартингалов .

Позволять $X$ быть $M$-значный семимартингал. Затем $X$ это мартингейл или $\nabla$-мартингейл тогда и только тогда, когда для каждого $f\in C^{\infty }(M)$, он утверждает, что

$d(f\circ X)\,\,{\stackrel {m}{=}}\,\,{\tfrac {1}{2}}(\nabla df)(dX,dX).$

Броуновское движение на римановом многообразии

Позволять $(M,g)$ — риманово многообразие с оператором Лапласа-Бельтрами $\Delta _{M}$. Адаптированный $M$-ценный процесс $X$ с максимальным сроком службы $\xi$ называется броуновским движением $(M,g)$, если для каждого $f\in C^{\infty }(M)$

$f(X)-{\frac {1}{2}}\int \Delta _{M}f(X)\mathrm {d} t$

является местным $\mathbb {R}$-мартингейл со временем жизни $\xi$. Следовательно, броуновское движение Bewegung — это процесс диффузии, ${\tfrac {1}{2}}\Delta _{M}$. Обратите внимание, что эта характеристика не обеспечивает канонической процедуры определения броуновского движения.

Библиография

• Вольфганг Хакенброх и Антон Тальмайер, Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden (редактор), Стохастический анализ: введение в теорию непрерывных семимартингалов , стр. 349–544, ISBN  978-3-519-02229-9
• Нобуюки Икеда и Синдзо Ватанабэ, Северная Голландия (ред.), Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы
• Элтон П. Сюй, Американское математическое общество (редактор), «Стохастический анализ многообразий», Аспирантура по математике , том. 38
• К.Д. Элворти (1982), Издательство Кембриджского университета (ред.), Стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях , doi : 10.1017/CBO9781107325609