Операторы Лапласа в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии существует ряд линейных эллиптических дифференциальных операторов второго порядка, носящих название лапласианов . В этой статье представлен обзор некоторых из них.

Связь Лапласа

, Лапласиан связи также известный как грубый лапласиан , представляет собой дифференциальный оператор, действующий на различные тензорные расслоения многообразия, определенный в терминах римановой или псевдоримановой метрики. Применительно к функциям (т. е. тензорам ранга 0) связьЛапласиан часто называют оператором Лапласа-Бельтрами . Он определяется как след второй ковариантной производной :

\Delta T={\text{tr}}\;\nabla ^{2}T,

где T — любой тензор, $\nabla$ – связность Леви-Чивита, связанная с метрикой, а след ведется пометрика. Напомним, что вторая ковариантная производная T определяется как

\nabla _{X,Y}^{2}T=\nabla _{X}\nabla _{Y}T-\nabla _{\nabla _{X}Y}T.

Обратите внимание, что в этом определении лапласиан связи имеет отрицательный спектр . По функциям согласен соператор, заданный как дивергенция градиента.

Если интересующая связь представляет собой связь Леви-Чивита, можно найти удобную формулу для лапласиана скалярной функции в терминах частных производных по системе координат:

\Delta \phi =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }\left(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\phi \right)

где $\phi$ скалярная функция, $|g|$ — абсолютное значение определителя метрики (абсолютное значение необходимо в псевдоримановом случае , например, в общей теории относительности ) и $g^{\mu \nu }$ обозначает обратный метрический тензор .

Ходж Лапласиан

Лапласиан Ходжа , также известный как оператор Лапласа-де Рама , представляет собой дифференциальный оператор, действующий на дифференциальные формы . (Абстрактно,это оператор второго порядка на каждой внешней степени кокасательного расслоения .) Этот оператор определен на любом многообразии, снабженномриманова или псевдориманова метрика .

\Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;

где d — внешняя производная или дифференциал, а δ — кодифференциал . Лапласиан Ходжа на компактном многообразии имеет неотрицательный спектр .

Лапласиан связи также можно использовать для действия на дифференциальные формы, ограничив его действием на кососимметричные тензоры. Лапласиан связи отличается от лапласиана Ходжа тождеством Вейценбека .

Бохнер-лапласиан

Лапласиан Бохнера определяется иначе, чем лапласиан связи, но оказывается, что они отличаются только знаком, когда бы ни был определен первый. Пусть M — компактное ориентированное многообразие, снабженное метрикой. Пусть E — векторное расслоение над M, снабженное слоеной метрикой и совместимой связностью: $\nabla$ . Эта связь порождает дифференциальный оператор

\nabla :\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (T^{*}M\otimes E)

где $\Gamma (E)$ обозначает гладкие сечения E , а T ^*M — кокасательное расслоение к M . Есть возможность взять $L^{2}$ -примыкающий к $\nabla$ , давая дифференциальный оператор

\nabla ^{*}:\Gamma (T^{*}M\otimes E)\rightarrow \Gamma (E).

Лапласиан Бохнера определяется выражением

\Delta =\nabla ^{*}\nabla

который является оператором второго порядка, действующим на сечениях векторного расслоения E . Заметим, что связность лапласиана и лапласиана Бохнера различаются только знаком:

\nabla ^{*}\nabla =-{\text{tr}}\,\nabla ^{2}

Лихнерович Лапласиан

Лихнеровича Лапласиан ^[1] определяется на симметричных тензорах, взяв $\nabla :\Gamma (\operatorname {Sym} ^{k}(TM))\to \Gamma (\operatorname {Sym} ^{k+1}(TM))$ быть симметризованной ковариантной производной. Тогда лапласиан Лихнеровича определяется формулой $\Delta _{L}=\nabla ^{*}\nabla$ , где $\nabla ^{*}$ является формальным сопряжением. Лапласиан Лихнеровича отличается от обычного тензорного лапласиана формулой Вейценбока, включающей тензор кривизны Римана , и имеет естественные применения при изучении потока Риччи и предписанной проблемы кривизны Риччи .

Конформный лапласиан

На римановом многообразии можно определить конформный лапласиан как оператор гладких функций; он отличается от оператора Лапласа – Бельтрами членом, включающим скалярную кривизну базовой метрики. В размерности n ≥ 3 конформный лапласиан, обозначаемый L , действует на гладкую функцию u следующим образом:

$Lu=-4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta u+Ru,$

где Δ — оператор Лапласа-Бельтрами (отрицательного спектра), а R — скалярная кривизна. Этот оператор часто появляется при изучении поведения скалярной кривизны при конформной замене римановой метрики. Если n ≥ 3, g — метрика, а u — гладкая положительная функция, то конформная метрика

${\tilde {g}}=u^{4/(n-2)}g\,$

имеет скалярную кривизну, определяемую выражением

${\tilde {R}}=u^{-(n+2)/(n-2)}Lu.\,$

В более общем смысле, действие конформного лапласиана g̃ на гладкие функции φ можно связать с действием конформного лапласиана g с помощью правила преобразования

${\tilde {L}}(\varphi )=u^{-(n+2)/(n-2)}L(u\varphi ).$

Сложная дифференциальная геометрия

В комплексной дифференциальной геометрии оператор Лапласа (также известный как лапласиан) определяется в терминах комплексных дифференциальных форм.

\partial f=\sum \left({\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}-i{\frac {\partial f}{\partial y_{k}}}\right)dz_{k}

Этот оператор действует на комплексные функции комплексной переменной. По сути, это комплексное сопряжение обычной частной производной по . ^{[ нужны разъяснения ]} Это важно в комплексном анализе и сложной дифференциальной геометрии для изучения функций комплексных переменных.

Сравнения

Ниже приведена таблица, в которой суммированы различные операторы Лапласа, включая наиболее общее векторное расслоение, на которое они действуют, а также какая структура требуется для многообразия и векторного расслоения. Все эти операторы второго порядка, линейные и эллиптические.

лапласиан	векторный пучок	требуемая конструкция, базовый коллектор	требуемая структура, векторное расслоение	спектр
Ходж	дифференциальные формы	метрика	индуцированная метрика и связь	позитивный
Связь	тензоры	метрика	индуцированная метрика и связь	отрицательный
Бохнер	любое векторное расслоение	метрика	метрическое волокно, совместимое соединение	позитивный
Лихнерович	симметричные 2-тензоры	метрика	индуцированная связь	?
конформный	функции	метрика	никто	варьируется

См. также

Личность Вайценбека

Ссылки

^ Чоу, Беннетт; Лу, Пэн; Ни, Лей (2006), Поток Риччи Гамильтона , Аспирантура по математике , том. 77, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-4231-7 , МР 2274812 , ISBN 978-0-8218-4231-7

[1] Чоу, Беннетт; Лу, Пэн; Ни, Лей (2006), Поток Риччи Гамильтона , Аспирантура по математике , том. 77, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-4231-7 , МР 2274812 , ISBN 978-0-8218-4231-7

[1]