Вторая ковариантная производная

См. Также: Внешняя ковариантная производная.

В математических разделах дифференциальной геометрии и векторного исчисления вторая ковариантная производная второго ковариантная производная или порядка векторного поля является производной его производной по отношению к двум другим касательным векторным полям.

Определение

Формально, для (псевдо)-риманова многообразия ( M , g ), ассоциированного с векторным расслоением E → M , пусть ∇ обозначает связность Леви-Чивиты, заданную метрикой g , и обозначает через Γ( E ) пространство гладких части общего пространства E . Обозначим через Т ^* M — кокасательное расслоение к M . Тогда вторую ковариантную производную можно определить как композицию двух ∇ следующим образом:

$\Gamma (E){\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}\Gamma (T^{*}M\otimes E){\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}\Gamma (T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E).$

Например, для данных векторных полей u , v , w вторая ковариантная производная может быть записана как

$(\nabla _{u,v}^{2}w)^{a}=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}w^{a}$

используя абстрактную индексную нотацию . Также несложно убедиться в том, что

$(\nabla _{u}\nabla _{v}w)^{a}=u^{c}\nabla _{c}v^{b}\nabla _{b}w^{a}=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}w^{a}+(u^{c}\nabla _{c}v^{b})\nabla _{b}w^{a}=(\nabla _{u,v}^{2}w)^{a}+(\nabla _{\nabla _{u}v}w)^{a}.$

Таким образом

$\nabla _{u,v}^{2}w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{\nabla _{u}v}w.$

Когда тензор кручения равен нулю, так что $[u,v]=\nabla _{u}v-\nabla _{v}u$, мы можем использовать этот факт, чтобы записать тензор кривизны Римана как

$R(u,v)w=\nabla _{u,v}^{2}w-\nabla _{v,u}^{2}w.$

Аналогичным образом можно получить вторую ковариантную производную функции f как

$\nabla _{u,v}^{2}f=u^{c}v^{b}\nabla _{c}\nabla _{b}f=\nabla _{u}\nabla _{v}f-\nabla _{\nabla _{u}v}f.$

Опять же, для связности Леви-Чивиты без кручения и для любых векторных полей u и v , когда мы подаем функцию f в обе части

$\nabla _{u}v-\nabla _{v}u=[u,v]$

мы находим

$(\nabla _{u}v-\nabla _{v}u)(f)=[u,v](f)=u(v(f))-v(u(f)).$.

Это можно переписать как

$\nabla _{\nabla _{u}v}f-\nabla _{\nabla _{v}u}f=\nabla _{u}\nabla _{v}f-\nabla _{v}\nabla _{u}f,$

так что у нас есть

$\nabla _{u,v}^{2}f=\nabla _{v,u}^{2}f.$

То есть значение второй ковариантной производной функции не зависит от порядка взятия производных.