Уравнения Коши – Римана.

«Коши-Риман» перенаправляется сюда. Для многообразий Коши – Римана см. многообразие CR .

Визуальное изображение вектора X в области, умножаемого на комплексное число z , а затем отображаемого на f , вместо отображения на f и последующего умножения на z . Если оба этих результата приводят к тому, что точка оказывается в одном и том же месте для всех X и z , то f удовлетворяет условию Коши – Римана.

В области комплексного анализа в математике уравнения Коши -Римана , названные в честь Огюстена Коши и Бернхарда Римана , состоят из системы двух уравнений в частных производных , которые образуют необходимое и достаточное условие для того, чтобы комплексная функция комплексной переменной была комплексной. дифференцируемый .

Эти уравнения

$${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$$ ( 1а )

и

$${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}},$$ ( 1б )

где u ( x , y ) и v ( x , y ) — вещественные дифференцируемые двумерные функции.

Обычно u и v являются соответственно действительной и мнимой частями ( f комплексной функции x + iy ) = f ( x , y ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) одной комплексной переменной z = x + iy, где x и y — действительные переменные; u и v — вещественные дифференцируемые функции действительных переменных. Тогда f является комплексно дифференцируемым в комплексной точке тогда и только тогда, когда частные производные u и v удовлетворяют уравнениям Коши – Римана в этой точке.

Голоморфная функция дифференцируемая в каждой точке некоторого открытого подмножества комплексной плоскости C. — это комплексная функция , Доказано, что голоморфные функции аналитичны , а аналитические комплексные функции комплексно-дифференцируемы. В частности, голоморфные функции бесконечно комплексно-дифференцируемы.

Эта эквивалентность между дифференцируемостью и аналитичностью является отправной точкой всего комплексного анализа .

История

Уравнения Коши–Римана впервые появились в работе Жана ле Рона Даламбера . Позже Леонард Эйлер связал эту систему с аналитическими функциями . Коши затем использовал эти уравнения для построения своей теории функций. Диссертация Римана по теории функций появилась в 1851 году.

Простой пример

Предположим, что $z=x+iy$. Комплексная функция $f(z)=z^{2}$ дифференцируема в любой точке z комплексной плоскости. $$f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy$$Реальная часть $u(x,y)$ и мнимая часть $v(x,y)$ являются $${\begin{aligned}u(x,y)&=x^{2}-y^{2}\\v(x,y)&=2xy\end{aligned}}$$и их частные производные $$u_{x}=2x;\quad u_{y}=-2y;\quad v_{x}=2y;\quad v_{y}=2x$$

Мы видим, что действительно выполняются уравнения Коши–Римана: $u_{x}=v_{y}$ и $u_{y}=-v_{x}$.

Интерпретация и переформулировка

Уравнения Коши-Римана — это один из способов взглянуть на условие дифференцируемости функции в смысле комплексного анализа : другими словами, они инкапсулируют понятие функции комплексной переменной посредством обычного дифференциального исчисления . В теории существует несколько других основных взглядов на это понятие, и часто требуется перевод условия на другой язык.

Конформные отображения

Дополнительная информация: Конформная карта.

Во-первых, уравнения Коши–Римана можно записать в комплексной форме

$${i{\frac {\partial f}{\partial x}}}={\frac {\partial f}{\partial y}}.$$ ( 2 )

В таком виде уравнения структурно соответствуют условию, что матрица Якоби имеет вид $${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}},$$где $a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y$ и $b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y$. Матрица этой формы является матричным представлением комплексного числа . такая матрица всегда представляет собой композицию вращения Геометрически с масштабированием и, в частности, сохраняет углы . Якобиан функции f ( z ) берет бесконечно малые отрезки прямой на пересечении двух кривых по z и поворачивает их к соответствующим отрезкам в f ( z ) . Следовательно, функция, удовлетворяющая уравнениям Коши–Римана, с ненулевой производной, сохраняет угол между кривыми на плоскости. То есть уравнения Коши – Римана являются условиями конформности функции .

Более того, поскольку композиция конформного преобразования с другим конформным преобразованием также является конформной, композиция решения уравнений Коши–Римана с конформным отображением должна сама решать уравнения Коши–Римана. Таким образом, уравнения Коши–Римана конформно инвариантны.

Комплексная дифференцируемость

Позволять $$f(z)=u(z)+i\cdot v(z)$$где ${\textstyle u}$ и $v$ являются вещественнозначными функциями , являются комплексной функцией комплексной переменной ${\textstyle z=x+iy}$ где ${\textstyle x}$ и ${\textstyle y}$ являются действительными переменными. ${\textstyle f(z)=f(x+iy)=f(x,y)}$ поэтому функцию также можно рассматривать как функцию действительных переменных. ${\textstyle x}$ и ${\textstyle y}$. Тогда комплексная производная ${\textstyle f}$ в какой-то момент ${\textstyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$ определяется $$f'(z_{0})=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$$при условии, что этот предел существует (т. е. предел существует на каждом пути, приближающемся к ${\textstyle z_{0}}$, и не зависит от выбранного пути).

Фундаментальный результат комплексного анализа состоит в том, что $f$ является комплексно дифференцируемым при $z_{0}$ (т. е. имеет комплексную производную) тогда и только тогда, когда двумерные действительные функции $u(x+iy)$ и $v(x+iy)$ дифференцируемы ​ по $(x_{0},y_{0}),$ и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана в этой точке.

Действительно, если комплексная производная существует при ${\textstyle z_{0}}$, то его можно вычислить, взяв предел при ${\textstyle z_{0}}$ вдоль действительной оси и мнимой оси, и эти два предела должны быть равны. Вдоль действительной оси предел равен $$\lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}$$а вдоль мнимой оси предел равен $$\lim _{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}=\left.{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}.$$

Итак, из равенства производных следует $$i\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}$$что представляет собой комплексную форму уравнений Коши – Римана при ${\textstyle z_{0}}$.

(Обратите внимание, что если $f$ является комплексно дифференцируемым при $z_{0}$, оно также вещественно дифференцируемо якобиан и $f$ в $z_{0}$ комплексный скаляр $f'(z_{0})$, рассматриваемый как действительно-линейная карта $\mathbb {C}$, поскольку предел $|f(z)-f(z_{0})-f'(z_{0})(z-z_{0})|/|z-z_{0}|\to 0$ как $z\to z_{0}$.)

Обратно, если f дифференцируема в ${\textstyle z_{0}}$ (в вещественном смысле) и удовлетворяет там уравнениям Коши-Римана, то в этой точке оно комплексно-дифференцируемо. Предположим, что f как функция двух вещественных переменных x и y дифференцируема в точке z ₀ (вещественная дифференцируемость). Это эквивалентно существованию следующего линейного приближения $$\Delta f(z_{0})=f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})=f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y+\eta (\Delta z)$$где ${\textstyle f_{x}=\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right\vert _{z_{0}}}$, ${\textstyle f_{y}=\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right\vert _{z_{0}}}$, z = x + iy и ${\textstyle \eta (\Delta z)/|\Delta z|\to 0}$ как Δ z → 0 .

С ${\textstyle \Delta z+\Delta {\bar {z}}=2\,\Delta x}$ и ${\textstyle \Delta z-\Delta {\bar {z}}=2i\,\Delta y}$, вышеизложенное можно переписать как

$$\Delta f(z_{0})={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}\,\Delta z+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\,\Delta {\bar {z}}+\eta (\Delta z)\,$$$${\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}+{\frac {f_{x}+if_{y}}{2}}\cdot {\frac {\Delta {\bar {z}}}{\Delta z}}+{\frac {\eta (\Delta z)}{\Delta z}},\;\;\;\;(\Delta z\neq 0).$$

Теперь, если ${\textstyle \Delta z}$ реально, ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=1}$, а если оно мнимое, то ${\textstyle \Delta {\bar {z}}/\Delta z=-1}$. Следовательно, второй член не зависит от пути предела ${\textstyle \Delta z\to 0}$ когда (и только тогда) оно исчезает тождественно: ${\textstyle f_{x}+if_{y}=0}$, что в точности представляет собой уравнения Коши–Римана в комплексной форме. Это доказательство также показывает, что в этом случае $$\left.{\frac {df}{dz}}\right|_{z_{0}}=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta z}}={\frac {f_{x}-if_{y}}{2}}.$$

Заметим, что гипотеза реальной дифференцируемости в точке $z_{0}$ является обязательным и без него невозможно обойтись. Например, функция $f(x,y)={\sqrt {|xy|}}$, рассматриваемая как комплексная функция с тождественно нулевой мнимой частью, имеет обе частные производные при $(x_{0},y_{0})=(0,0)$, и, кроме того, он удовлетворяет уравнениям Коши–Римана в этой точке, но не дифференцируем в смысле действительных функций (многих переменных), и поэтому первое условие — действительной дифференцируемости — не выполняется. Следовательно, эта функция не является комплексно-дифференцируемой.

Некоторые источники сформулируйте достаточное условие комплексной дифференцируемости в точке $z_{0}$ поскольку, помимо уравнений Коши–Римана, частные производные $u$ и $v$ быть непрерывным в точке, поскольку это условие непрерывности обеспечивает существование упомянутого выше линейного приближения. Обратите внимание, что это не является необходимым условием комплексной дифференцируемости. Например, функция $f(z)=z^{2}e^{i/|z|}$ комплексно дифференцируема в точке 0, но ее действительная и мнимая части имеют там разрывные частные производные. Поскольку комплексная дифференцируемость обычно рассматривается в открытом множестве, где она фактически подразумевает непрерывность всех частных производных (см. ниже ), это различие в литературе часто опускается.

Независимость комплексно-сопряженного

Приведенное выше доказательство предлагает другую интерпретацию уравнений Коши–Римана. Комплексное сопряжение ​ $z$, обозначенный ${\textstyle {\bar {z}}}$, определяется $${\overline {x+iy}}:=x-iy$$для действительных переменных $x$ и $y$. Определив две производные Виртингера как $${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\;\;\;{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),$$тогда уравнения Коши – Римана можно записать в виде одного уравнения $${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,$$и комплексная производная ${\textstyle f}$ в таком случае это ${\textstyle {\frac {df}{dz}}={\frac {\partial f}{\partial z}}.}$ В такой форме уравнения Коши–Римана можно интерпретировать как утверждение о том, что комплексная функция ${\textstyle f}$ комплексной переменной ${\textstyle z}$ не зависит от переменной ${\textstyle {\bar {z}}}$. Таким образом, мы можем рассматривать аналитические функции как истинные функции одной комплексной переменной ( ${\textstyle z}$) вместо комплексных функций двух действительных переменных ( ${\textstyle x}$ и ${\textstyle y}$).

Физическая интерпретация

Контурный график пары u и v, удовлетворяющей уравнениям Коши – Римана. Линии тока ( v = const, красный) перпендикулярны эквипотенциалам ( u = const, синий). Точка (0,0) является стационарной точкой потенциального потока, в которой встречаются шесть линий тока, а также шесть эквипотенциалов, которые также встречаются и делят пополам углы, образованные линиями тока.

Стандартная физическая интерпретация уравнений Коши – Римана, восходящая к работам Римана по теории функций. заключается в том, что u представляет собой потенциал скорости стационарного потока несжимаемой жидкости в плоскости, а v - его функция тока . Предположим, что пара (дважды непрерывно дифференцируемых ) функций u и v удовлетворяет уравнениям Коши–Римана. Мы возьмем u как потенциал скорости, то есть представляем себе поток жидкости в плоскости такой, что вектор скорости жидкости в каждой точке плоскости равен градиенту u , формулой определяемому $$\nabla u={\frac {\partial u}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial u}{\partial y}}\mathbf {j} .$$

Дифференцируя уравнения Коши-Римана для функций u и v с симметрией вторых производных , можно показать, что u решает уравнение Лапласа : $${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$$То есть u — гармоническая функция . Это означает, что дивергенция градиента равна нулю, и поэтому жидкость несжимаема.

Функция v также удовлетворяет уравнению Лапласа согласно аналогичному анализу. Кроме того, из уравнений Коши – Римана следует, что скалярное произведение ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v=0}$ ( ${\textstyle \nabla u\cdot \nabla v={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\cdot {\frac {\partial v}{\partial x}}=0}$), т. е. направления максимального наклона u и v ортогональны друг другу. Это означает, что градиент u должен указывать вдоль ${\textstyle v={\text{const}}}$ кривые; так это линии тока потока. ${\textstyle u={\text{const}}}$ кривые – эквипотенциальные кривые потока.

Таким образом, голоморфную функцию можно визуализировать, построив два семейства кривых уровня. ${\textstyle u={\text{const}}}$ и ${\textstyle v={\text{const}}}$. Вблизи точек, где градиент u (или, что то же самое, v ) не равен нулю, эти семейства образуют ортогональное семейство кривых. В точках, где ${\textstyle \nabla u=0}$, стационарные точки потока, эквипотенциальные кривые ${\textstyle u={\text{const}}}$ пересекаться. Линии тока также пересекаются в той же точке, деля пополам углы, образованные эквипотенциальными кривыми.

Гармоническое векторное поле

Другую интерпретацию уравнений Коши-Римана можно найти в Pólya & Szegő . Предположим, что u и v удовлетворяют уравнениям Коши–Римана в открытом подмножестве R ² и рассмотрим векторное поле $${\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}$$рассматривается как (действительный) двухкомпонентный вектор. Тогда второе уравнение Коши–Римана ( 1b ) утверждает, что ${\bar {f}}$ является безвихревым (его ротор равен 0): $${\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.$$

Первое уравнение Коши–Римана ( 1a ) утверждает, что векторное поле соленоидально (или бездивергентно ): $${\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.$$

Согласно теореме Грина и теореме о дивергенции соответственно , такое поле обязательно является консервативным , свободным от источников и стоков, имеющим чистый поток, равный нулю через любую открытую область без дыр. (Эти два наблюдения объединяются как действительная и мнимая части в интегральной теореме Коши .) В гидродинамике такое векторное поле представляет собой потенциальный поток . В магнитостатике такие векторные поля моделируют статические магнитные поля в области плоскости, где нет тока. В электростатике моделируют статические электрические поля в области плоскости, не содержащей электрического заряда.

Эту интерпретацию можно эквивалентно переформулировать на языке дифференциальных форм . Пара u и v удовлетворяет уравнениям Коши–Римана тогда и только тогда, когда одна форма $v\,dx+u\,dy$ является одновременно замкнутым и созамкнутым ( гармоническая дифференциальная форма ).

Сохранение сложной структуры

Другая формулировка уравнений Коши – Римана включает сложную структуру на плоскости, определяемую формулой $$J={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}.$$Это сложная структура в том смысле, что квадрат J является отрицательным значением единичной матрицы 2×2: $J^{2}=-I$. Как и выше, если u ( x , y ) и v ( x , y ) — две функции на плоскости, положите

$$f(x,y)={\begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}}.$$

Матрица Якоби функции f представляет собой матрицу частных производных. $$Df(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}&{\dfrac {\partial u}{\partial y}}\\[5pt]{\dfrac {\partial v}{\partial x}}&{\dfrac {\partial v}{\partial y}}\end{bmatrix}}$$

Тогда пара функций u , v удовлетворяет уравнениям Коши–Римана тогда и только тогда, когда матрица Df размера 2× коммутирует с J. 2

Эта интерпретация полезна в симплектической геометрии , где она является отправной точкой для изучения псевдоголоморфных кривых .

Другие представления

Другие представления уравнений Коши–Римана иногда возникают в других системах координат . Если ( 1a ) и ( 1b ) справедливы для дифференцируемой пары функций u и v , то то же самое справедливо и для $${\frac {\partial u}{\partial n}}={\frac {\partial v}{\partial s}},\quad {\frac {\partial v}{\partial n}}=-{\frac {\partial u}{\partial s}}$$

для любой системы координат ( n ( x , y ), s ( x , y )) такой, что пара ${\textstyle (\nabla n,\nabla s)}$ ортонормирован ориентирован и положительно . Как следствие, в частности, в системе координат, заданной полярным представлением $z=re^{i\theta }$, тогда уравнения примут вид $${\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.$$

Объединение их в одно уравнение для f дает $${\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.$$

Неоднородные уравнения Коши–Римана состоят из двух уравнений для пары неизвестных функций u ( x , y ) и v ( x , y ) двух действительных переменных. $${\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}&=\alpha (x,y)\\[4pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&=\beta (x,y)\end{aligned}}$$

для некоторых заданных функций α( x , y ) и β( x , y ), определенных в открытом подмножестве R ² . Эти уравнения обычно объединяют в одно уравнение $${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}})$$где f = u + i v и 𝜑 = ( α + i β )/2.

Если 𝜑 это C ^к , то неоднородное уравнение явно разрешимо в любой ограниченной области D при условии, что непрерывно на замыкании D 𝜑 . Действительно, по формуле Коши интегральной $$f\left(\zeta ,{\bar {\zeta }}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{D}\varphi \left(z,{\bar {z}}\right)\,{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }}$$для всех ζ ∈ D .

Обобщения

Теорема Гурса и ее обобщения

См. Также: теорема Коши – Гурса.

Предположим, что f = u + i v — комплексная функция, дифференцируемая как функция f : R ² → Р ² . Тогда Гурса теорема утверждает, что f аналитична в открытой комплексной области Ω тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению Коши – Римана в этой области. непрерывную дифференцируемость f . В частности, не обязательно предполагать

Условия теоремы Гурса можно существенно ослабить. Если f = u + i v непрерывно в открытом множестве Ω и частные производные f f по x и y существуют в Ω и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана на всей территории Ω, то голоморфно (и, следовательно, аналитично). Этот результат представляет собой теорему Лумана-Меншоффа .

Гипотеза о том, что f подчиняется уравнениям Коши–Римана во всей области Ω, является существенной. Можно построить непрерывную функцию, удовлетворяющую уравнениям Коши–Римана в точке, но не являющуюся аналитической в ​​этой точке (например, f ( z ) = z ⁵ /|z| ⁴ ) . Точно так же, помимо уравнений Коши – Римана, необходимы некоторые дополнительные предположения (например, о непрерывности), как иллюстрирует следующий пример.

$$f(z)={\begin{cases}\exp \left(-z^{-4}\right)&{\text{if }}z\not =0\\0&{\text{if }}z=0\end{cases}}$$

которое всюду удовлетворяет уравнениям Коши–Римана, но не является непрерывным при z = 0.

Тем не менее, если функция удовлетворяет уравнениям Коши–Римана в открытом множестве в слабом смысле , то функция аналитична. Точнее:

Если f ( z ) локально интегрируема в открытой области Ω ⊂ C и слабо удовлетворяет уравнениям Коши – Римана, то f согласуется почти всюду с аналитической функцией в Ω.

Фактически это частный случай более общего результата о регулярности решений гипоэллиптических уравнений в частных производных.

Несколько переменных

существуют уравнения Коши–Римана, соответствующим образом обобщенные В теории многих комплексных переменных . Они образуют значительную переопределенную систему PDE. Это делается с помощью простого обобщения производной Виртингера , где рассматриваемая функция должна иметь (частичную) производную Виртингера по каждой комплексной переменной равной нулю.

Комплексные дифференциальные формы

Как часто формулируют, оператор d-bar $${\bar {\partial }}$$аннулирует голоморфные функции. Это наиболее непосредственно обобщает формулировку $${\partial f \over \partial {\bar {z}}}=0,$$где $${\partial f \over \partial {\bar {z}}}={1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x}+i{\partial f \over \partial y}\right).$$

Преобразование Беклунда

Уравнения Коши–Римана, рассматриваемые как сопряженные гармонические функции , представляют собой простой пример преобразования Беклунда . Более сложные, обычно нелинейные преобразования Беклунда, такие как уравнение синус-Гордон , представляют большой интерес в теории солитонов и интегрируемых систем .

Определение в алгебре Клиффорда

В алгебре Клиффорда $C\ell (2)$, комплексное число $z=x+iy$ представлен как $z\equiv x+Jy$ где $J\equiv \sigma _{1}\sigma _{2}$, ( $\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=1,\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{1}=0$, так $J^{2}=-1$). Оператор Дирака в этой алгебре Клиффорда определяется как $\nabla \equiv \sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y}$. Функция $f=u+Jv$ считается аналитическим тогда и только тогда, когда $\nabla f=0$, который можно рассчитать следующим образом:

$${\begin{aligned}0&=\nabla f=(\sigma _{1}\partial _{x}+\sigma _{2}\partial _{y})(u+\sigma _{1}\sigma _{2}v)\\[4pt]&=\sigma _{1}\partial _{x}u+\underbrace {\sigma _{1}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=\sigma _{2}}\partial _{x}v+\sigma _{2}\partial _{y}u+\underbrace {\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}} _{=-\sigma _{1}}\partial _{y}v=0\end{aligned}}$$

Группировка по $\sigma _{1}$ и $\sigma _{2}$:

$$\nabla f=\sigma _{1}(\partial _{x}u-\partial _{y}v)+\sigma _{2}(\partial _{x}v+\partial _{y}u)=0\Leftrightarrow {\begin{cases}\partial _{x}u-\partial _{y}v=0\\[4pt]\partial _{x}v+\partial _{y}u=0\end{cases}}$$

Следовательно, в традиционных обозначениях:

$${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}\\[12pt]{\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}\end{cases}}$$

Конформные отображения в более высоких измерениях

Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве R ^н . Уравнение отображения, сохраняющего ориентацию $f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ быть конформным отображением (то есть сохраняющим угол) - это то, что $$Df^{\mathsf {T}}Df=(\det(Df))^{2/n}I$$

где Df — матрица Якобиана с транспонированием $Df^{\mathsf {T}}$, а I обозначает единичную матрицу. При n = 2 эта система эквивалентна стандартным уравнениям Коши–Римана комплексных переменных, а решения являются голоморфными функциями. В размерности n > 2 ее до сих пор иногда называют системой Коши – Римана, и из теоремы Лиувилля при подходящих предположениях гладкости следует, что любое такое отображение является преобразованием Мёбиуса .

См. также

• Список тем сложного анализа
• Теорема Мореры
• Производные Виртингера

Источники

• Грей, Джей Ди; Моррис, ЮАР (апрель 1978 г.). «Когда функция, удовлетворяющая аналитическим уравнениям Коши – Римана?». Американский математический ежемесячник . 85 (4): 246–256. дои : 10.2307/2321164 . JSTOR   2321164 .
• Луман, Х. (1923). «О дифференциальных уравнениях Коши – Римана». Göttingen News (на немецком языке): 97–108.
• Марсден, А; Хоффман, М. (1973). Базовый комплексный анализ . У. Х. Фриман.
• Рудин, Вальтер (1966). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). МакГроу Хилл (опубликовано в 1987 г.). ISBN  0-07-054234-1 .

Дальнейшее чтение

• Альфорс, Ларс (1953). Комплексный анализ (3-е изд.). МакГроу Хилл (опубликовано в 1979 г.). ISBN  0-07-000657-1 .
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Условия Коши–Римана» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Стюарт, Ян ; Высокий, Дэвид (1983). Комплексный анализ (1-е изд.). КУБОК (опубликовано в 1984 г.). ISBN  0-521-28763-4 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнения Коши – Римана» . Математический мир .
• Модуль уравнений Коши – Римана Джона Х. Мэтьюза