Проблемы и теоремы анализа

«Проблемы и теоремы анализа» (нем. Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis ) — двухтомный сборник задач по анализу, написанный Джорджем Пойа и Габором Сегё . Эти два тома, опубликованные в 1925 году, озаглавлены (I) Series. Интегральное исчисление. Теория функций. ; и (II) Теория функций. Нули. Полиномы. Детерминанты. Теория чисел. Геометрия .

Эти тома высоко ценятся за качество содержащихся в них задач и метод организации не по темам, а по методам решения, с упором на развитие навыков решения проблем у учащихся . Каждый том содержит задачи в начале и (краткие) решения в конце. Как выразились два автора, «среди математиков существует общее мнение, что двухтомник Полиа-Сегё — это лучший написанный и самый полезный задачник в истории математики». ^{[ 1 ]}^: 59

Фон

Именно Пойа первым пришел к идее создания всеобъемлющего сборника задач по анализу, но он понял, что не сможет завершить его в одиночку. Он решил написать его вместе с Сегё, который был другом Полии с 1913 года, когда они встретились в Будапеште (в то время Сегё было всего 17 лет, а Полиа была 25-летним постдокторантом). Ранняя карьера Сегё была переплетена с Полией, его первые две статьи касались проблем, поставленных Полией. ^{[ 3 ]}^: 562^{[ 1 ]}^: 54^{[ 4 ]}^: 11 Однако Полиа считал, что их области знаний достаточно различаются, поэтому сотрудничество окажется плодотворным. ^{[ 3 ]}^: 562 Полиа и Сегё подписали контракт со Springer-Verlag на книгу в 1923 году, и к 1925 году она была опубликована. ^{[ 5 ]} Позже Полиа написала о периоде, когда они писали книгу:

Это было чудесное время; мы работали с энтузиазмом и сосредоточенностью. У нас было похожее прошлое. На нас обоих, как и на всех других молодых венгерских математиков того времени, повлиял Леопольд Фейер . Мы оба были читателями одного и того же хорошо написанного Венгерского математического журнала для старшеклассников, в котором особое внимание уделялось решению задач. Нас интересовали одни и те же вопросы, одни и те же темы; но один из нас знал больше об одной теме, а другой больше о какой-то другой теме. Это было прекрасное сотрудничество. Книга Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis , результат нашего сотрудничества, — моя лучшая работа, а также лучшая работа Габора Сеге. ^{[ 4 ]}^: 11

Написание задач и теорем стало интенсивным опытом для обоих молодых математиков. Полиа был профессором в Цюрихе , а Сегё был приват-доцентом в Берлине , так что у обоих была независимая рабочая нагрузка. Жена Полии беспокоилась, что у него может случиться нервный срыв. ^{[ 1 ]}^: 60 Обоим также угрожал рост антисемитизма в Центральной Европе (Поля и Сегё были венгерскими евреями). Финансовые трудности, а также пессимизм по поводу поступления в немецкий университет убедили Полию переехать в Англию в 1925 году. ^{[ 1 ]}^: 61–63^{[ 4 ]}^: 23 Сегё потребовалось больше времени, чтобы бежать, и он не покидал Германию до 1934 года, когда Полиа и Харальд Бор убедили его принять должность в Вашингтонском университете . К этому времени нацисты уже начали чистку профессоров-евреев из немецких университетов. ^{[ 6 ]} Сегё и Полиа (которые после сборника задач мало сотрудничали) воссоединились в Америке в 1950-х годах, на математическом факультете Стэнфордского университета . ^{[ 1 ]}^: 62

Содержание

Хотя название книги относится только к анализу, в ней содержится широкий круг проблем. Он начинается с комбинаторики и быстро переходит от математического анализа к теории чисел , геометрии , линейной алгебре и даже некоторой физике . ^{[ 4 ]}^: 23–24 Конкретные рассматриваемые темы свидетельствуют об особых интересах Полиа ( правило знаков Декарта , теорема перечисления Полья ), Сегё (полиномы, тригонометрические полиномы и его собственная работа в области ортогональных полиномов ), а иногда и обоих (нули полиномов и аналитические функции). , комплексный анализ в целом). ^{[ 4 ]}^: 25–27 Многие проблемы книги не новы, и их решения включают обратные ссылки на первоисточники. ^{[ 7 ]}^{: ii–iii, xvii–viii} Раздел геометрии (IX) содержит множество задач, предложенных Левнером (по дифференциальной геометрии ) и Хиршем (по алгебраической геометрии ). ^{[ 4 ]}^: 27

Книга была уникальной в то время из-за ее структуры, не столько по темам, сколько по методу решения, составленной таким образом, чтобы развивать способности учащихся решать проблемы. В предисловии к книге содержатся некоторые замечания по общему решению задач и математической эвристике, которые предвосхищают более поздние работы Полиа по этому предмету ( «Математика и правдоподобные рассуждения» , «Как это решить» ). ^{[ 4 ]}^: 23–24 Пара проводила практические занятия, на которых задачи предлагались студентам университетов и решались всем классом (при этом некоторые репрезентативные задачи решались учителем, а более сложные задачи задавались в качестве домашнего задания). Они просматривали книгу по частям со скоростью примерно одну главу в семестр. ^{[ 7 ]}^{: xi – xii}

Типичным примером последовательности вопросов в «Проблемах и теоремах анализа» являются первые три вопроса в томе I (американского издания):

1. Сколькими способами можно обменять один доллар? То есть сколькими способами вы можете заплатить 100 центов, используя пять разных видов монет: центы, пятаки, десять центов, четвертаки и полдоллара (стоимостью 1, 5, 10, 25 и 50 центов соответственно)?
2. Пусть n — целое неотрицательное число и пусть $A_{n}$ обозначим количество решений диофантова уравнения $x+5y+10z+25u+50v=n$ в неотрицательных целых числах. Тогда сериал $A_{0}+A_{1}\zeta +A_{2}\zeta ^{2}+\cdots +A_{n}\zeta ^{n}+\cdots$ представляет собой рациональную функцию $\zeta$ . Найдите это.
3. Сколькими способами можно поставить необходимые марки в один ряд на авиапочтовом письме, отправленном внутри США, используя марки номиналом 2, 4, 6, 8 центов? Почтовые расходы составляют 10 центов. (Различные варианты расположения одних и тех же ценностей считаются разными способами.) ^{[ 7 ]}^: 1

Первый вопрос задает элементарный вопрос комбинаторики; но второй предполагает как решение (с использованием производящих функций ), так и обобщение. Третий дает еще один вопрос комбинаторики, который можно решить с помощью производящих функций. Действительно, вопросы 1–26 следуют производящей функции через дополнительные примеры. ^{[ 4 ]}^: 23 Таким образом развиваются целые области математики. ^{[ 1 ]}^: 55

В английский перевод (опубликованный в 1972 и 1976 годах) были внесены существенные дополнения, включая новые разделы и обратные ссылки на другие работы Пойи по решению проблем. ^{[ 4 ]}^: 24–25

Прием

Ричард Аски и Пол Неваи написали о книге, что «среди математиков существует общее мнение, что двухтомник Полиа-Сегё является лучшим письменным и наиболее полезным задачником в истории математики». ^{[ 1 ]}^: 59 Книга нашла своих поклонников. Различные выдающиеся математики ( Бернейс , Курант , Фейер, Э. Ландау , Ф. Рис , Теплиц ) перечитывали гранки доказательств, пока работа находилась в печати. ^{[ 7 ]}^{: xii – xiii} и его первые рецензенты (снова Ф. Рисс, Кнопп , Тамаркин ) были не менее впечатляющими, все они были неистовы в своих похвалах. ^{[ 1 ]}^: 58–60 Тщательная педагогика означала, что аспиранты могли изучать анализ только на основе задач и теорем . ^{[ 1 ]}^: 58 Пол Эрдеш однажды подошел к молодому математику с задачей, взятой из второго тома, и заявил: «Я дам Китаю 10 долларов, если ты сможешь решить эту задачу за десять минут». ^{[ 4 ]}^: 27

Русский перевод был опубликован в 1937–38. Английский перевод был опубликован в 1972–76 годах. ^{[ 4 ]}^: 23

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Александерсон, Джеральд Л. (2000). Случайные блуждания Джорджа Пойа . Математическая ассоциация Америки.
^ Поля, Джордж (1987). Фотоальбом Полиа: Встречи математика . Биркгаузер.
^ Перейти обратно: ^а ^б Александерсон, Г.Л.; Ланге, Л. Х. (1987). «Некролог: Джордж Полиа». Бюллетень Лондонского математического общества . 19 (6): 559–608. дои : 10.1112/blms/19.6.559 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Сего, Габор (1982). Сборник статей . Том 1. Биркхойзер.
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (ноябрь 2002 г.), «Джордж Полиа» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (июль 2014 г.), «Габор Сеге» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Полиа, Джордж; Сегё, Габор (1972). Проблемы и теоремы анализа I. Перевод Эппли, Д. Спрингер-Верлаг.

[Walks-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Александерсон, Джеральд Л. (2000). Случайные блуждания Джорджа Пойа . Математическая ассоциация Америки.

[2] Поля, Джордж (1987). Фотоальбом Полиа: Встречи математика . Биркгаузер.

[PolyaObit-3] Перейти обратно: ^а ^б Александерсон, Г.Л.; Ланге, Л. Х. (1987). «Некролог: Джордж Полиа». Бюллетень Лондонского математического общества . 19 (6): 559–608. дои : 10.1112/blms/19.6.559 .

[SzegoCP-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Сего, Габор (1982). Сборник статей . Том 1. Биркхойзер.

[PolyaMT-5] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (ноябрь 2002 г.), «Джордж Полиа» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[SzegoMT-6] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (июль 2014 г.), «Габор Сеге» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[PTA1-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Полиа, Джордж; Сегё, Габор (1972). Проблемы и теоремы анализа I. Перевод Эппли, Д. Спрингер-Верлаг.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]