Производные Виртингера

В комплексном анализе одной и нескольких комплексных переменных ( производные Виртингера иногда называемые также операторами Виртингера) ), названные в честь Вильгельма Виртингера , который ввел их в 1927 году в ходе своих исследований по теории функций многих комплексных переменных , представляют собой операторы в частных производных первого порядка, которые ведут себя очень похоже на обычные производные относительно одной действительная переменная , когда она применяется к голоморфным функциям , антиголоморфным функциям или просто дифференцируемым функциям в комплексных областях . Эти операторы позволяют построить дифференциальное исчисление таких функций, совершенно аналогичное обычному дифференциальному исчислению функций действительных переменных .

Исторические заметки

: работы Анри

Производные Виртингера использовались в комплексном анализе , по крайней мере, еще в статье ( Пуанкаре, 1899 ), как кратко отметили Черри и Йе (2001 , стр. 31) и Реммерт (1991 , стр. 66–67). В третьем абзаце своей статьи 1899 года Анри Пуанкаре впервые определяет комплексную переменную в $\mathbb {C} ^{n}$ и его комплексно-сопряженное выражение следующим образом

${\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.$

Затем он пишет уравнение, определяющее функции $V$ он называет бигармонику , ранее записанное с использованием частных производных по действительным переменным $x_{k},y_{q}$ с $k,q$ от 1 до $n$, именно следующим образом

${\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0$

Это означает, что он неявно использовал определение 2, приведенное ниже: чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить уравнения 2 и 2' из ( Пуанкаре, 1899 , стр. 112). По-видимому, эта работа не была замечена ранними исследователями теории функций многих комплексных переменных : в работах Леви-Чивита (1905) , Леви (1910) (и Леви 1911 ) и Аморосо (1912) все фундаментальные частные дифференциалы операторы теории выражаются непосредственно с помощью частных производных по действительным и мнимым частям задействованных комплексных переменных . В обширной обзорной статье Осгуда (1966) (впервые опубликованной в 1913 г.) Частные производные по каждой комплексной переменной голоморфной функции нескольких комплексных переменных, по-видимому, понимаются как формальные производные : фактически, когда Осгуд выражает плюригармонический оператор и оператором Леви , он следует устоявшейся практике Аморосо , Леви и Леви-Чивита .

Работы Димитрия Помпейу в 1912 и 1913 годах: новая формулировка

По мнению Хенрици (1993 , стр. 294), новый шаг в определении понятия был сделан Димитрие Помпейу : в статье ( Pompeiu 1912 ) дана комплекснозначная дифференцируемая функция (в смысле реального анализа ) одного комплексная переменная $g(z)$ определенный в окрестности данной точки $z_{0}\in \mathbb {C} ,$ он определяет ареолярную производную как следующий предел

${{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {def} }{=}} \lim _{r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z,$

где $\Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)$ является границей диска ​ радиуса $r$ целиком содержится в области определения $g(z),$ то есть его ограничивающий круг . Очевидно, это альтернативное определение производной Виртингера по комплексно-сопряженной переменной : это более общий подход, поскольку, как заметил Хенрици (1993 , стр. 294), предел может существовать для функций, которые даже не дифференцируемы в точке $z=z_{0}.$ По мнению Фичера (1969 , стр. 28), первым, кто определил ареолярную производную как слабую производную в смысле Соболева, был Илья Векуа . В своей следующей статье Помпейю (1913) использует эту недавно определенную концепцию, чтобы представить свое обобщение интегральной формулы Коши , которая теперь называется формулой Коши – Помпейю .

Работа Вильгельма Виртингера

Первое систематическое введение производных Виртингера, по-видимому, принадлежит Вильгельму Виртингеру в статье Виртингера 1927 с целью упростить вычисления величин, встречающихся в теории функций многих комплексных переменных : в результате введения этих дифференциальных операторов появился вид все дифференциальные операторы, обычно используемые в теории, такие как оператор Леви и оператор Коши – Римана , значительно упрощены и, следовательно, с ними легче обращаться. Статья намеренно написана с формальной точки зрения, т. е. без строгого вывода выведенных свойств.

Формальное определение

Несмотря на их повсеместное использование, текста, перечисляющего все свойства производных Виртингера, кажется, не существует: однако достаточно полными ссылками являются краткий курс многомерного комплексного анализа Андреотти (1976 , стр. 3–5), монография , Ганнинга и Росси (1965 стр. 3–6), и монография Каупа и Каупа (1983 , стр. 2,4) которые используются в качестве общих ссылок в этом и последующих разделах.

Функции одной комплексной переменной

Определение 1. Рассмотрим комплексную плоскость $\mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}$ (в смысле выражения комплексного числа $z=x+iy$ для действительных чисел $x$ и $y$). Производные Виртингера определяются как следующие линейные операторы в частных производных первого порядка:

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\end{aligned}}$

Ясно, что естественной областью определения этих операторов в частных производных является пространство $C^{1}$ функции в домене $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2},$ но, поскольку эти операторы линейны и имеют постоянные коэффициенты , их можно легко распространить на любое пространство обобщенных функций .

Функции n > 1 комплексных переменных

Определение 2. Рассмотрим евклидово пространство на комплексном поле $$\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}.$$ Производные Виртингера определяются как следующие линейные операторы в частных производных первого порядка: $${\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.$$

Что касается производных Виртингера для функций одной комплексной переменной, то естественной областью определения этих операторов в частных производных снова является пространство $C^{1}$ функции в домене $\Omega \subset \mathbb {R} ^{2n},$ и опять же, поскольку эти операторы линейны и имеют постоянные коэффициенты , их можно легко распространить на любое пространство обобщенных функций .

Связь с комплексной дифференциацией

Когда функция $f$ комплексно дифференцируема в точке, производная Виртингера $\partial f/\partial z$ согласуется с комплексной производной $df/dz$. Это следует из уравнений Коши-Римана . Для сложной функции $f(z)=u(z)+iv(z)$ который является комплексно дифференцируемым

${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\\&={\frac {\partial u}{\partial z}}+i{\frac {\partial v}{\partial z}}={\frac {df}{dz}}\end{aligned}}$

где третье равенство использует уравнения Коши-Римана ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$.

Вторая производная Виртингера также связана с комплексным дифференцированием; ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$ эквивалентно уравнениям Коши-Римана в комплексной форме.

Основные свойства

В настоящем и последующих разделах предполагается, что $z\in \mathbb {C} ^{n}$ является комплексным вектором и что $z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})$ где $x,y$ являются действительными векторами с n ≥ 1: также предполагается, что подмножество $\Omega$ можно рассматривать как область в реальном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{2n}$ или в его изоморфном комплексном аналоге $\mathbb {C} ^{n}.$ Все доказательства являются простыми следствиями определений 1 и 2 и соответствующих свойств производных ( обыкновенных или частичных ).

Линейность

Лемма 1. Если $f,g\in C^{1}(\Omega )$ и $\alpha ,\beta$ являются комплексными числами , то для $i=1,\dots ,n$ имеют место следующие равенства

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}$

Правило продукта

Лемма 2. Если $f,g\in C^{1}(\Omega ),$ тогда для $i=1,\dots ,n$ правило продукта выполняется

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}$

Это свойство означает, что производные Виртингера являются производными с абстрактной алгебры точки зрения , точно так же, как и обычные производные .

Цепное правило

Это свойство принимает две разные формы соответственно для функций одной и нескольких комплексных переменных : для случая n > 1, чтобы выразить цепное правило в его полной общности, необходимо рассмотреть две области $\Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}$ и $\Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}$ и две карты $g:\Omega '\to \Omega$ и $f:\Omega \to \Omega ''$ имеющие естественные требования к гладкости .

Функции одной комплексной переменной

Лемма 3.1. Если $f,g\in C^{1}(\Omega ),$ и $g(\Omega )\subseteq \Omega ,$ тогда цепное правило действует

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}$

Функции n > 1 комплексных переменных

Лемма 3.2. Если $g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )$ и $f\in C^{1}(\Omega ,\Omega ''),$ тогда для $i=1,\dots ,m$ следующая форма цепного правила имеет место

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}$

Спряжение

Лемма 4. Если $f\in C^{1}(\Omega ),$ тогда для $i=1,\dots ,n$ имеют место следующие равенства

${\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}$

См. также

• CR – функция
• Комплекс Дольбо
• Оператор Дольбо
• Плюригармоническая функция

Ссылки

Исторические справки

• Аморосо, Луиджи (1912), «Sopra un Issuea al Contorno» , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на итальянском языке), 33 (1): 75–85, doi : 10.1007/BF03015289 , JFM   43.0453.03 , S2CID   122956910 . « Об одной краевой задаче набор (достаточно сложных) необходимых и достаточных условий разрешимости задачи Дирихле для голоморфных функций многих переменных . » (вольный перевод названия) — первая статья, в которой дан
• Черри, В.; Йе, З. (2001), Теория распределения значений Неванлинны: вторая основная теорема и ее ошибочные члены , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer Verlag , стр. XII + 202, ISBN  978-3-540-66416-1 , МР   1831783 , Збл   0981.30001 .
• Фичера, Гаэтано (1969), «Derivata areolare e funzioni a variazione limitata», Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (на итальянском языке), XIV (1): 27–37, MR   0265616 , Zbl   0201.10002 . « Ареолярная производная и функции ограниченной вариации » (вольный английский перевод названия) — важный справочник по теории ареолярных производных .
• Леви, Эухенио Элиа (1910), «Studii sui punti Singolari essenziali delle funzioni analitiche di Due or Più Variabili Complesse» , Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (на итальянском языке), XVII (1): 61–87, doi : 10.1007/BF02419336 , JFM   41.0487.01 , S2CID   122678686 . « Исследования существенных особых точек аналитических функций двух и более комплексных переменных » (английский перевод названия) — важная статья в теории функций многих комплексных переменных , где решается проблема определения того, какая гиперповерхность может быть границей области голоморфности .
• Леви, Эудженио Элиа (1911), «Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 Dimensioni che possono essere frontiera del Campo di sistenza di una funzione analitica di Due Variabili Complesse», Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (на итальянском языке), XVIII (1): 69–79, doi : 10.1007/BF02420535 , JFM   42.0449.02 , S2CID   120133326 . « О гиперповерхностях 4-мерного пространства, которые могут быть границей области существования аналитической функции двух комплексных переменных » (английский перевод названия) — еще одна важная статья в теории функций многих комплексных переменных , дальнейшее исследование теории началось в ( Levi 1910 ).
• Леви-Чивита, Туллио (1905), «О функциях двух или более комплексных переменных» , Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 5 (на итальянском языке), XIV (2): 492– 499, ЖФМ   36.0482.01 . « О функциях двух и более комплексных переменных достаточное условие разрешимости задачи Коши для голоморфных функций нескольких комплексных переменных . » (вольный английский перевод названия) — первая статья, в которой дано
• Осгуд, Уильям Фогг (1966) [1913], Темы теории функций нескольких комплексных переменных (полное и исправленное издание), Нью-Йорк: Dover , стр. IV + 120, JFM   45.0661.02 , MR   0201668 , Zbl   0138.30901 .
• Пешль, Эрнст (1932), «О кривизне кривых уровня при конформном отображении односвязных областей на внутреннюю часть круга. Обобщение теоремы Э. Этюда». , Mathematical Annals (на немецком языке), 106 : 574–594, doi : 10.1007/BF01455902 , JFM   58.1096.05 , MR   1512774 , S2CID   127138808 , Zbl   0004.30001 , доступно в DigiMagazine .
• Пуанкаре, Х. (1899), «О свойствах потенциала и абелевых функциях», Acta Mathematica (на французском языке), 22 (1): 89–178, doi : 10.1007/BF02417872 , JFM   29.0370.02 .
• Помпейу, Д. (1912), «О классе функций комплексной переменной», Отчеты Circolo Matematico de Palermo (на французском языке), 33 (1): 108–113, doi : 10.1007/BF03015292 , JFM   43.0482. 01 , S2CID   120717465 .
• Помпейу, Д. (1913), «Об одном классе функций комплексной переменной и о некоторых интегральных уравнениях», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (на французском языке), 35 (1): 277–281, doi : 10.1007/ BF03015607 , S2CID   121616964 .
• Векуа, И.Н. (1962), Обобщенные аналитические функции , Международная серия монографий по чистой и прикладной математике, том. 25, Лондон – Париж – Франкфурт: Pergamon Press , стр. xxx+668, MR   0150320 , Zbl   0100.07603
• Виртингер, Вильгельм (1927), «К формальной теории функций более сложных переменных» , Mathematical Annals (на немецком языке), 97 : 357–375, doi : 10.1007/BF01447872 , JFM   52.0342.03 , S2CID   121149132 , доступно по адресу Цифровой журнал . В этой важной статье Виртингер вводит несколько важных понятий теории функций многих комплексных переменных , а именно производные Виртингера и тангенциальное условие Коши-Римана .

Научные ссылки

• Андреотти, Альдо (1976), Введение в комплексный анализ (лекции, проведенные в феврале 1972 г.) , вклады Междисциплинарного центра математических наук Линсео и их приложений (на итальянском языке), vol. 24, Рим: Национальная академия Линчеи , с. 34, заархивировано из оригинала 7 марта 2012 г. , получено 28 августа 2010 г. Введение в комплексный анализ — краткий курс теории функций нескольких комплексных переменных, проведённый в феврале 1972 года в Центре междисциплинарных математических наук и их приложений « Беньямино Сегре » Линсео .
• Фичера, Гаэтано (1986), «Объединение глобальных и локальных теорем существования голоморфных функций нескольких комплексных переменных», Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8, 18 (3): 61–83 , МР   0917525 , Збл   0705.32006 .
• Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных , серия Прентис-Холл в современном анализе , Энглвуд Клиффс , Нью-Джерси: Прентис-Холл , стр. xiv + 317, ISBN  9780821869536 , МР   0180696 , Збл   0141.08601 .
• Ганнинг, Роберт К. (1990), Введение в голоморфные функции нескольких переменных. Том I: Теория функций , Серия математики Уодсворта и Брукса/Коула, Белмонт, Калифорния : Уодсворт и Брукс/Коул, стр. xx+203, ISBN  0-534-13308-8 , МР   1052649 , Збл   0699.32001 .
• Хенричи, Питер (1993) [1986], Прикладной и вычислительный комплексный анализ, том 3 , Wiley Classics Library (переиздание), Нью-Йорк – Чичестер – Брисбен – Торонто – Сингапур: John Wiley & Sons , стр. X + 637, ISBN  0-471-58986-1 , МР   0822470 , Збл   1107.30300 .
• Хёрмандер, Ларс (1990) [1966], Введение в комплексный анализ с несколькими переменными , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 7 (3-е (пересмотренное) изд.), Амстердам – Лондон – Нью-Йорк – Токио: Северная Голландия , ISBN  0-444-88446-7 , МР   1045639 , Збл   0685.32001 .
• Кауп, Людгер; Кауп, Бурхард (1983), Голоморфные функции нескольких переменных , Исследования де Грюйтера по математике, том. 3, Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер , стр. XV + 349, ISBN.  978-3-11-004150-7 , МР   0716497 , Збл   0528.32001 .
• Крахт, Манфред; Крейсиг, Эрвин (1988), Методы комплексного анализа в уравнениях с частными производными и их приложения , Канадского математического общества Серия монографий и продвинутых текстов , Нью-Йорк – Чичестер – Брисбен – Торонто – Сингапур: John Wiley & Sons , стр. xiv +394 , ISBN  0-471-83091-7 , МР   0941372 , Збл   0644.35005 .
• Мартинелли, Энцо (1984), Элементарное введение в теорию функций комплексных переменных с особым вниманием к интегральным представлениям , вклад Междисциплинарного центра математических наук Линсео и их приложения (на итальянском языке), том. 67, Рим: Национальная академия Линчеи , стр. 236+II, заархивировано из оригинала 27 сентября 2011 г. , получено 24 августа 2010 г. « Элементарное введение в теорию функций комплексных переменных с особым вниманием к интегральным представлениям » (английский перевод названия) — это заметки из курса, опубликованного Национальной академией Линчеи , который проводил Мартинелли, когда он был « профессором Линсео ». .
• Реммерт, Рейнхольд (1991), Теория комплексных функций , Тексты для аспирантов по математике, том. 122 (Четвертое исправленное печатное издание 1998 г.), Нью-Йорк – Берлин – Гейдельберг – Барселона – Гонконг – Лондон – Милан – Париж – Сингапур – Токио: Springer Verlag , стр. xx + 453, ISBN  0-387-97195-5 , МР   1084167 , Збл   0780.30001 ISBN   978-0-387-97195-7 . Учебник по комплексному анализу, включающий множество исторических заметок по этому вопросу.
• Севери, Франческо (1958), Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - Проведены в 1956–57 в Национальном институте высшей математики в Риме (на итальянском языке), Падуя: CEDAM - Издательство доктора Антонио Милани, стр. XIV+255, Збл   0094.28002 . Заметки из курса, проводимого Франческо Севери в Istituto Nazionale di Alta Matematica (который в настоящее время носит его имя), содержащие приложения Энцо Мартинелли, Джованни Баттисты Риццы и Марио Бенедикти . Английский перевод названия гласит: « Лекции по аналитическим функциям нескольких комплексных переменных - читались в 1956–57 годах в Istituto Nazionale di Alta Matematica в Риме ».