Обобщения производной

Эта статья о термине, используемом в математике. Чтобы узнать о других значениях, см. производную (значения) .

В математике производная , является фундаментальной конструкцией дифференциального исчисления и допускает множество возможных обобщений в областях математического анализа комбинаторики , алгебры , геометрии и т. д.

Производная Фреше

определяет Производная Фреше производную для общих нормированных векторных пространств. $V,W$. Кратко, функция $f:U\to W$, где $U$ является открытым подмножеством $V$, называется дифференцируемым по Фреше в $x\in U$ если существует ограниченный линейный оператор $A:V\to W$ такой, что $$\lim _{\|h\|\to 0}{\frac {\|f(x+h)-f(x)-Ah\|_{W}}{\|h\|_{V}}}=0.$$

Функции определяются как дифференцируемые в некоторой окрестности открытой $x$, а не в отдельных точках, поскольку невыполнение этого требования может привести к множеству патологических контрпримеров .

Производная Фреше очень похожа на формулу для производной, найденную в элементарном исчислении с одной переменной: $$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=A,$$ и просто перемещает A в левую сторону. Однако производная Фреше A обозначает функцию $t\mapsto f'(x)\cdot t$.

В исчислении многих переменных , в контексте дифференциальных уравнений, определяемых векторной функцией R ^н в Р ^м , производная Фреше A представляет собой линейный оператор на R, рассматриваемый как векторное пространство над собой, и соответствует наилучшему линейному приближению функции. Если такой оператор существует, то он уникален и может быть представлен размером m на n, матрицей известной как матрица Якоби J _x (ƒ) отображения ƒ в точке x . Каждая запись этой матрицы представляет собой частную производную , определяющую скорость изменения одной координаты диапазона относительно изменения координаты области. Конечно, якобианматрица композиции g _° f является произведением соответствующих матриц якобиана: J _x ( г _° f ) = J _{ƒ ( x )} ( g )J _x (ƒ). Это более высокомерная формулировка правила цепочки .

Для вещественнозначных функций из R ^н к R ( скалярным полям ), производная Фреше соответствует векторному полю, называемому полной производной . Это можно интерпретировать как градиент , но более естественно использовать внешнюю производную .

Конвективная производная учитывает изменения, вызванные зависимостью от времени и движением в пространстве вдоль векторного поля, и является частным случаем полной производной.

Для вектор-функций от R до R ^н (т. е. параметрические кривые ), производная Фреше соответствует взятию производной каждого компонента отдельно. Полученную производную можно сопоставить с вектором. Это полезно, например, если векторная функция — это вектор положения частицы во времени, то производная — это вектор скорости частицы во времени.

В комплексном анализе центральными объектами изучения являются голоморфные функции , которые представляют собой комплексные функции от комплексных чисел , где существует производная Фреше.

В геометрическом исчислении геометрическая производная удовлетворяет более слабой форме правила Лейбница (произведения). Он специализирует производную Фреше на объектах геометрической алгебры. Геометрическое исчисление — это мощный формализм, который, как было показано, охватывает аналогичные основы дифференциальных форм и дифференциальной геометрии.

Внешняя производная и производная Лия

Во внешней алгебре дифференциальных форм над гладким многообразием внешняя производная — это единственное линейное отображение, которое удовлетворяет градуированной версии закона Лейбница и приводит в квадрат к нулю. Это вывод первой степени по внешней алгебре. В Р ³ , градиент , ротор и дивергенция являются частными случаями внешней производной. Интуитивная интерпретация градиента состоит в том, что он направлен «вверх»: другими словами, он указывает в направлении наискорейшего возрастания функции. Его можно использовать для вычисления производных по направлению скалярных функций или нормальных направлений. Дивергенция дает меру того, сколько «источников» или «приемников» имеется вблизи точки. Его можно использовать для расчета потока по теореме о дивергенции . Curl измеряет степень « вращения » векторного поля вблизи точки.

Производная Ли — это скорость изменения векторного или тензорного поля вдоль потока другого векторного поля. На векторных полях это пример скобки Ли (векторные поля образуют алгебру Ли группы диффеоморфизмов многообразия). Это вывод по алгебре нулевого уровня.

Вместе с внутренним произведением (вывод степени -1 на внешней алгебре, определяемой сжатием векторным полем), внешняя производная и производная Ли образуют супералгебру Ли .

Дифференциальная топология

В дифференциальной топологии векторное поле может быть определено как дифференцирование на кольце гладких функций на многообразии , а касательный вектор может быть определен как дифференцирование в точке. Это позволяет абстрагировать понятие по направлению производной скалярной функции являющихся подмножествами R к общим многообразиям. Для многообразий , ^н , этот касательный вектор будет соответствовать производной по направлению .

Дифференциал или продвижение карты между многообразиями — это индуцированное отображение между касательными пространствами этих карт. Он абстрагирует матрицу Якобиана .

Ковариантная производная

В дифференциальной геометрии ковариантная производная позволяет брать производные по направлению векторных полей вдоль кривых . Это расширяет производную по направлению скалярных функций на секции векторных расслоений или главных расслоений . В римановой геометрии существование метрики выбирает уникальную предпочтительную ковариантную производную без кручения , известную как связность Леви-Чивита . См. также калибровочную ковариантную производную для рассмотрения, ориентированного на физику.

Внешняя ковариантная производная расширяет внешнюю производную до векторных форм.

Слабые производные

Дана функция $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ которая локально интегрируема , но не обязательно классически дифференцируема, слабая производная может быть определена посредством интегрирования по частям . Сначала определите тестовые функции, которые являются бесконечно дифференцируемыми и компактными функциями. $\varphi \in C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$и мультииндексы , которые имеют длину $n$ списки целых чисел $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ с ${\textstyle |\alpha |:=\sum _{1}^{n}\alpha _{i}}$. Применительно к функциям тестирования, ${\textstyle D^{\alpha }\varphi :={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dotsm x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$. Тогда ${\textstyle \alpha ^{\text{th}}}$ слабая производная от $u$ существует, если существует функция $v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ такое, что для всех тестовых функций $\varphi$, у нас есть

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}u\ D^{\alpha }\!\varphi \ dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\mathbb {R} ^{n}}v\ \varphi \ dx$

Если такая функция существует, то $D^{\alpha }u:=v$, который уникален практически везде . Это определение совпадает с классической производной для функций $u\in C^{|\alpha |}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$, и может быть расширено до типа обобщенных функций, называемых распределениями , двойственного пространства тестовых функций. Слабые производные особенно полезны при изучении уравнений в частных производных и в рамках функционального анализа.

Производные высшего порядка и дробные производные

В действительных числах можно повторять процесс дифференцирования, то есть применять производные более одного раза, получая производные второго и более высокого порядка. Высшие производные также могут быть определены для функций нескольких переменных, изучаемых в исчислении многих переменных . В этом случае вместо многократного применения производной повторно применяются частные производные по различным переменным. Например, частные производные второго порядка скалярной функции от n переменных могут быть организованы в матрицу размером n на n , матрицу Гессе . Один из тонких моментов заключается в том, что высшие производные не определены внутренне и сложным образом зависят от выбора координат (в частности, матрица Гессе функции не является тензором ) . Тем не менее, высшие производные имеют важные приложения для анализа локальных экстремумов функции в ее критических точках . Более подробное применение этого анализа к топологии многообразий см. в теории Морса .

Помимо n- ных производных для любого натурального числа n , существуют различные способы определения производных дробного или отрицательного порядка, которые изучаются в дробном исчислении . Производная порядка −1 соответствует интегралу, отсюда и термин Differentintegral .

Кватернионные производные

В кватернионном анализе производные могут определяться аналогично действительным и комплексным функциям. Поскольку кватернионы $\mathbb {H}$ некоммутативны, предел разностного фактора дает две разные производные: левая производная

$\lim _{h\to 0}\left[h^{-1}\left(f(a+h)-f(a)\right)\right]$

и правая производная

$\lim _{h\to 0}\left[\left(f(a+h)-f(a)\right)h^{-1}\right].$

Существование этих ограничений является весьма ограничительным условием. Например, если $f:\mathbb {H} \to \mathbb {H}$ имеет левые производные в каждой точке открытого связного множества $U\subset \mathbb {H}$, затем $f(q)=a+qb$ для $a,b\in \mathbb {H}$.

Разностный оператор, q-аналоги и временные шкалы

• функции q-производная определяется по формуле $$D_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.$$ Для ненулевого x , если f является дифференцируемой функцией x, то в пределе q → 1 мы получаем обычную производную, таким образом, q -производную можно рассматривать как ее q-деформацию . Большая часть результатов обычного дифференциального исчисления, таких как биномиальная формула и разложение Тейлора , имеют естественные q -аналоги, которые были открыты в 19 веке, но оставались относительно неясными на протяжении большей части 20 века, за исключением теории специальных уравнений. функции . Прогресс комбинаторики и открытие квантовых групп кардинально изменили ситуацию, популярность q -аналогов растет.
• Разностный оператор разностных уравнений является еще одним дискретным аналогом стандартной производной. $$\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$$
• q-производную, разностный оператор и стандартную производную можно рассматривать как одно и то же в разных временных масштабах . Например, взяв $\varepsilon =(q-1)x$, у нас может быть $${\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.$$ q-производная является частным случаем разности Хана : $${\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{qx+\omega -x}}.$$Разница Хана — это не только обобщение q-производной, но и расширение прямой разности.
• Также обратите внимание, что q-производная — это не что иное, как частный случай знакомой производной. Брать $z=qx$. Тогда у нас есть, $$\lim _{z\to x}{\frac {f(z)-f(x)}{z-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}=\lim _{q\to 1}{\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.$$

Производные в алгебре

В алгебре обобщения производной можно получить, применяя правило дифференцирования Лейбница в алгебраической структуре, такой как кольцо или алгебра Ли .

Выводы

Дифференцирование — это линейное отображение на кольце или алгебре , удовлетворяющее закону Лейбница (правилу произведения). высшие производные и алгебраические дифференциальные операторы Также могут быть определены . Они изучаются в чисто алгебраическом контексте в дифференциальной теории Галуа и теории D-модулей , но также встречаются во многих других областях, где они часто согласуются с менее алгебраическими определениями производных.

Например, формальная производная многочлена R над коммутативным кольцом формулой определяется

$\left(a_{d}x^{d}+a_{d-1}x^{d-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\right)'=da_{d}x^{d-1}+(d-1)a_{d-1}x^{d-2}+\cdots +a_{1}.$

Отображение $f\mapsto f'$ тогда является дифференцированием на кольце полиномов R [ X ]. Это определение можно распространить на рациональные функции и .

Понятие вывода применимо как к некоммутативным, так и к коммутативным кольцам и даже к неассоциативным алгебраическим структурам, таким как алгебры Ли.

Производная типа

В теории типов многие абстрактные типы данных можно описать как алгебру, созданную в результате преобразования, которое отображает структуры, основанные на типе, обратно в тип. Например, тип T бинарных деревьев, содержащих значения типа A, можно представить как алгебру, порожденную преобразованием 1+A×T. ² →Т. «1» представляет построение пустого дерева, а второй член представляет построение дерева из значения и двух поддеревьев. Знак «+» означает, что дерево можно построить любым способом.

Производным такого типа является тип, который описывает контекст конкретной подструктуры относительно ее следующей внешней содержащей структуры. Другими словами, это тип, представляющий «разницу» между ними. В примере с деревом производная — это тип, который описывает информацию, необходимую для конкретного поддерева для построения его родительского дерева. Эта информация представляет собой кортеж, содержащий двоичный индикатор того, находится ли дочерний элемент слева или справа, значение родительского элемента и родственное поддерево. Этот тип можно представить как 2×A×T, что очень похоже на производную преобразования, создавшего тип дерева.

Эта концепция производного типа имеет практические применения, например, метод застежки-молнии, используемый в функциональных языках программирования .

Дифференциальные операторы

Дифференциальный оператор объединяет в одном алгебраическом выражении несколько производных, возможно, разных порядков. Это особенно полезно при рассмотрении обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Например, если f ( x ) — дважды дифференцируемая функция одной переменной, дифференциальное уравнение $f''+2f'-3f=4x-1$ можно переписать в виде $L(f)=4x-1$, где $$L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}-3$$— линейный дифференциальный оператор второго порядка с постоянными коэффициентами, действующий на функции от x . Ключевая идея здесь заключается в том, что мы рассматриваем конкретную линейную комбинацию производных нулевого, первого и второго порядка «все сразу». рассматривать множество решений этого дифференциального уравнения как «обобщённую первообразную» его правой части 4 x Это позволяет нам по аналогии с обычным интегрированием − 1 и формально записать $$f(x)=L^{-1}(4x-1).$$

Объединение производных различных переменных приводит к понятию оператора в частных производных . Линейный оператор , который присваивает каждой функции ее производную, является примером дифференциального оператора в функциональном пространстве . С помощью преобразования Фурье можно определить псевдодифференциальные операторы , которые допускают дробное исчисление.

Некоторые из этих операторов настолько важны, что имеют собственные имена:

• Оператор Лапласа или лапласиан на R ³ второго порядка - оператор частных производных Δ определяемый дивергенцией градиента скалярной , функции трех переменных, или явно как $$\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.$$ Аналогичные операторы могут быть определены для функций любого числа переменных.
• Даламберовский или волновой оператор аналогичен лапласиану, но действует на функции четырех переменных. определении используется неопределенный метрический тензор пространства Минковского вместо евклидова скалярного произведения R. В его ³ : $$\square ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.$$
• Производная Шварца — это нелинейный дифференциальный оператор, который описывает, как комплексная функция приближается дробно-линейным отображением , почти так же, как нормальная производная описывает, как функция приближается линейным отображением.
• представляют Производные Виртингера собой набор дифференциальных операторов, которые позволяют построить дифференциальное исчисление для комплексных функций, полностью аналогичное обычному дифференциальному исчислению для функций действительных переменных.

Другие обобщения

В функциональном анализе функциональная производная определяет производную по функции от функционала в пространстве функций. Это расширение производной по направлению в бесконечномерное векторное пространство. Важным случаем является вариационная производная в вариационном исчислении .

Субпроизводная используемые и субградиент являются обобщениями производной на выпуклые функции, в выпуклом анализе.

В коммутативной алгебре дифференциалы Кэлера являются универсальными дифференциями коммутативного кольца или модуля . Их можно использовать для определения аналога внешней производной из дифференциальной геометрии, который применим к произвольным алгебраическим многообразиям , а не только к гладким многообразиям.

В p-адическом анализе обычное определение производной недостаточно строгое, и вместо этого требуется строгая дифференцируемость .

Производная Гато расширяет производную Фреше на локально выпуклые топологические векторные пространства . Дифференцируемость по Фреше является строго более сильным условием, чем дифференцируемость Гато, даже в конечных размерностях. Между двумя крайностями находится квазипроизводная .

В теории меры производная Радона – Никодима обобщает якобиан , используемый для замены переменных, на меры. Он выражает одну меру µ через другую меру ν (при определенных условиях).

— H -производная это понятие производной при изучении абстрактных пространств Винера и исчисления Маллявэна . Его используют при изучении случайных процессов .

Лапласианы и дифференциальные уравнения, использующие лапласиан, могут быть определены на фракталах . Полностью удовлетворительного аналога производной или градиента первого порядка не существует.

— Производная Карлица это операция, аналогичная обычному дифференцированию, но с заменой обычного контекста действительных или комплексных чисел на локальные поля положительной характеристики в виде формальных рядов Лорана с коэффициентами в некотором конечном поле F _q (известно, что любое локальное поле положительной характеристики изоморфно полю рядов Лорана). Наряду с соответствующим образом определенными аналогами показательной функции , логарифмов и других, производная может использоваться для развития понятий гладкости, аналитичности, интегрирования, рядов Тейлора, а также теории дифференциальных уравнений.

Возможно объединить два или более из вышеупомянутых различных понятий расширения или абстракции исходного производного. Например, в финслеровой геометрии изучаются пространства, которые локально выглядят как банаховы пространства . Таким образом, может потребоваться производная с некоторыми характеристиками функциональной производной и ковариантной производной .

Мультипликативное исчисление заменяет сложение умножением и, следовательно, вместо того, чтобы иметь дело с пределом отношения разностей, оно имеет дело с пределом возведения отношений в степень. Это позволяет разработать геометрическую производную и бигеометрическую производную. Более того, так же, как у классического дифференциального оператора есть дискретный аналог — разностный оператор, существуют также дискретные аналоги этих мультипликативных производных .

См. также

• Арифметическая производная - функция, определенная для целых чисел в теории чисел.
• Автоматическое дифференцирование . Численные расчеты с производными.
• Производная Бжозовского - функция, определенная на формальных языках информатики.
• Производная Дини - Класс обобщений производной
• Фрактальная производная - Обобщение производной на фракталы.
• Производная Хассе – математическое понятие
• Логарифмическая производная - Математическая операция в исчислении.
• Логарифмическое дифференцирование - Метод математического дифференцирования
• Неклассический анализ – раздел математики. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Численное дифференцирование . Использование численного анализа для оценки производных функций.
• Производная Пинчерле - тип производной линейного оператора.
• q-производная – Q-аналог обыкновенной производной
• Полудифференцируемость
• Симметричная производная – обобщение производной. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Топологическая производная