Производная Шварца

В математике производная Шварца — это оператор, аналогичный производной , который инвариантен относительно преобразований Мёбиуса . Так, это происходит в теории комплексной проективной прямой и, в частности, в теории модулярных форм и гипергеометрических функций . Он играет важную роль в теории однолистных функций , конформных отображений и пространств Тейхмюллера . Оно названо в честь немецкого математика Германа Шварца .

Определение

Производная Шварца голоморфной функции f одной комплексной переменной z определяется формулой

$(Sf)(z)=\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)'-{\frac {1}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.$

Эта же формула определяет производную Шварца C ³ функция одной действительной переменной .Альтернативное обозначение

$\{f,z\}=(Sf)(z)$

часто используется.

Свойства

Производная Шварца любого преобразования Мёбиуса

$g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

равен нулю. И наоборот, преобразования Мёбиуса — единственные функции, обладающие этим свойством. Таким образом, производная Шварца точно измеряет степень, в которой функция не может быть преобразованием Мёбиуса.

Если g — преобразование Мёбиуса, то композиция g   и   f имеет ту же производную Шварца, что f ; и, с другой стороны, производная Шварца от f   o   g определяется цепным правилом

$(S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.$

В более общем смысле, для любых достаточно дифференцируемых функций f и g

$S(f\circ g)=\left((Sf)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+Sg.$

Когда f и g являются гладкими вещественнозначными функциями, это означает, что все итерации функции с отрицательным (или положительным) шварцианом останутся отрицательными (соответственно положительными), что используется при изучении одномерной динамики .

Вводя функцию двух комплексных переменных

$F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}\right),$

его вторая смешанная частная производная определяется выражением

${\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w}}={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}},$

а производная Шварца определяется формулой:

$(Sf)(w)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\,\partial w}\right\vert _{z=w}.$

Производная Шварца имеет простую формулу обращения, в которой происходит замена зависимых и независимых переменных. У одного есть

$(Sw)(v)=-\left({\frac {dw}{dv}}\right)^{2}(Sv)(w)$

или более явно, $Sf+(f')^{2}((Sf^{-1})\circ f)=0$. Это следует из приведенного выше правила цепочки.

интерпретация

Уильям Терстон интерпретирует производную Шварца как меру того, насколько конформное отображение отклоняется от преобразования Мёбиуса . Позволять $f$ — конформное отображение в окрестности $z_{0}\in \mathbb {C} .$ Тогда существует единственное преобразование Мёбиуса $M$ такой, что $M,f$ имеет одинаковые производные 0, 1, 2-го порядка при $z_{0}.$

Сейчас $(M^{-1}\circ f)(z-z_{0})=z_{0}+(z-z_{0})+{\tfrac {1}{6}}a(z-z_{0})^{3}+\cdots .$ Чтобы явно решить $a,$ достаточно решить случай $z_{0}=0.$ Позволять $M^{-1}(z)={}$$(Az+B)/(Cz+1),$ и решить для $A,B,C$ которые составляют первые три коэффициента $M^{-1}\circ f$ равный $0,1,0.$ Подставляя его в четвертый коэффициент, получаем $a=(Sf)(z_{0})$.

После перевода, вращения и масштабирования комплексной плоскости $(M^{-1}\circ f)(z)={}$$z+z^{3}+O(z^{4})$ в окрестности нуля. До третьего порядка эта функция отображает круг радиуса $r$ к параметрической кривой, определяемой формулой $(r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta ,r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta ),$ где $\theta \in [0,2\pi ].$ Эта кривая с точностью до четвертого порядка представляет собой эллипс с полуосями $r+r^{3}$ и $|r-r^{3}|$:

$${\begin{aligned}{\frac {(r\cos \theta +r^{3}\cos 3\theta )^{2}}{(r+r^{3})^{2}}}+{\frac {(r\sin \theta +r^{3}\sin 3\theta )^{2}}{(r-r^{3})^{2}}}&={\frac {1+8r^{4}\sin ^{2}(2\theta )+O(r^{6})}{(1-r^{4})^{2}}}\\[5mu]&\rightarrow 1+8r^{4}\sin ^{2}(2\theta )+O(r^{6})\end{aligned}}$$

как $r\rightarrow 0.$

Поскольку преобразования Мёбиуса всегда отображают круги в круги или прямые, эксцентриситет измеряет отклонение $f$ из преобразования Мёбиуса.

Дифференциальное уравнение

второго порядка Рассмотрим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение

$$x''(t)+p(t)x(t)=0$$

где $x$ является действительной функцией реального параметра $t$. Позволять $X$ обозначаем двумерное пространство решений. Для $t\in \mathbb {R}$, позволять $\operatorname {ev} _{t}:X\to \mathbb {R}$ быть функционалом оценки $\operatorname {ev} _{t}(x)=x(t)$. Карта $t\mapsto \operatorname {ker} (\operatorname {ev} _{t})$ дает за каждый балл $t$ области $X$, одномерное линейное подпространство $X$. То есть ядро ​​определяет отображение вещественной прямой в вещественную проективную прямую . Шварциан этого отображения корректно определен и фактически равен $2p(t)$ ( Ovsienko & Tabachnikov 2005 ).

Благодаря такой интерпретации шварциана, если два диффеоморфизма общего открытого интервала в $\mathbb {RP} ^{1}$ имеют один и тот же шварциан, то они (локально) связаны элементом общей линейной группы, действующим на двумерное векторное пространство решений одного и того же дифференциального уравнения, т. е. дробным линейным преобразованием $\mathbb {RP} ^{1}$.

В качестве альтернативы рассмотрим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка в комплексной плоскости

${\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0.$

Позволять $f_{1}(z)$ и $f_{2}(z)$ — два линейно независимых голоморфных решения. Тогда соотношение $g(z)=f_{1}(z)/f_{2}(z)$ удовлетворяет

$(Sg)(z)=2Q(z)$

над доменом, на котором $f_{1}(z)$ и $f_{2}(z)$ определены, и $f_{2}(z)\neq 0.$ Верно и обратное: если такой g существует и он голоморфен в односвязной области, то два решения $f_{1}$ и $f_{2}$ можно найти, и, кроме того, они уникальны с точностью до общего масштабного коэффициента.

Когда линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка можно привести к приведенной выше форме, полученное Q иногда называют Q-значением уравнения.

Обратите внимание, что гауссово гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к указанному выше виду, и, таким образом, пары решений гипергеометрического уравнения связаны таким образом.

Условия однолистности

Если f — голоморфная функция на единичном круге D (1932) и Нехари (1949) доказали, что необходимым условием f однолистности является , то В. Краус

$|S(f)|\leq 6(1-|z|^{2})^{-2}.$

Обратно, если f ( z ) — голоморфная функция на D, удовлетворяющая

$|S(f)(z)|\leq 2(1-|z|^{2})^{-2},$

затем Нехари доказал, что f однолистна.

В частности, достаточным условием однолистности является

$|S(f)|\leq 2.$

Конформное отображение многоугольников дуг окружности

Производная Шварца и связанное с ней обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка могут использоваться для определения отображения Римана между верхней полуплоскостью или единичным кругом и любым ограниченным многоугольником в комплексной плоскости, края которого представляют собой дуги окружности или прямые линии. Для многоугольников с прямыми краями это сводится к отображению Шварца – Кристоффеля , которое можно вывести напрямую, без использования производной Шварца. , Акцессорные параметры возникающие как константы интегрирования, связаны с собственными значениями дифференциального уравнения второго порядка. Уже в 1890 году Феликс Кляйн изучил случай четырёхугольников с точки зрения дифференциального уравнения Ламе .

Пусть Δ — многоугольник дуги окружности с углами $\pi \alpha _{1},\ldots ,\pi \alpha _{n}$ по часовой стрелке. Пусть f : H → ∆ — голоморфное отображение, непрерывно продолжающееся до отображения между границами. Пусть вершины соответствуют точкам $a_{1},\ldots ,a_{n}$ на действительной оси. Тогда p ( x ) = S ( f )( x ) вещественнозначно, когда x веществен и отличается от всех точек a _i . По принципу отражения Шварца p ( x ) продолжается до рациональной функции на комплексной плоскости с двойным полюсом в точке _ai :

$p(z)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(1-\alpha _{i}^{2})}{2(z-a_{i})^{2}}}+{\frac {\beta _{i}}{z-a_{i}}}.$

Действительные числа β _i называются дополнительными параметрами . Они подчиняются трем линейным ограничениям:

$\sum \beta _{i}=0$

$\sum 2a_{i}\beta _{i}+\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0$

$\sum a_{i}^{2}\beta _{i}+a_{i}\left(1-\alpha _{i}^{2}\right)=0$

которые соответствуют исчезновению коэффициентов $z^{-1},z^{-2}$ и $z^{-3}$ в разложении p ( z ) вокруг z знак равно ∞ . Тогда отображение f ( z ) можно записать как

$f(z)={u_{1}(z) \over u_{2}(z)},$

где $u_{1}(z)$ и $u_{2}(z)$ являются линейно независимыми голоморфными решениями линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

$u^{\prime \prime }(z)+{\tfrac {1}{2}}p(z)u(z)=0.$

Существует n -3 линейно независимых дополнительных параметра, определение которых на практике может оказаться затруднительным.

Для треугольника, когда n = 3 , дополнительных параметров нет. Обыкновенное дифференциальное уравнение эквивалентно гипергеометрическому дифференциальному уравнению , а f ( z ) — функция треугольника Шварца , которую можно записать через гипергеометрические функции .

Для четырехугольника дополнительные параметры зависят от одной независимой переменной λ . Записав U ( z ) = q ( z ) u ( z ) для подходящего выбора q ( z ) , обыкновенное дифференциальное уравнение принимает форму

$a(z)U^{\prime \prime }(z)+b(z)U^{\prime }(z)+(c(z)+\lambda )U(z)=0.$

Таким образом $q(z)u_{i}(z)$ являются собственными функциями уравнения Штурма–Лиувилля на отрезке $[a_{i},a_{i+1}]$. По теореме Штурма ненулевое равенство $u_{2}(z)$ заставляет λ быть наименьшим собственным значением.

в пространстве

Универсальное пространство Тейхмюллера определяется как пространство вещественных аналитических квазиконформных отображений единичного круга D или, что то же самое, верхней полуплоскости H на себя, причем два отображения считаются эквивалентными, если на границе одно получается из другого с помощью композиция с преобразованием Мёбиуса . Отождествляя D с нижним полушарием сферы Римана , любое квазиконформное самоотображение f нижнего полушария естественным образом соответствует конформному отображению верхнего полушария. ${\tilde {f}}$ на себя. Фактически ${\tilde {f}}$ определяется как ограничение на верхнюю полусферу решения дифференциального уравнения Бельтрами

${\frac {\partial F}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial F}{\partial z}},$

где µ — ограниченная измеримая функция, определяемая формулой

$\mu (z)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial z}}$

в нижнем полушарии, расширен до 0 в верхнем полушарии.

Отождествляя верхнее полушарие с D , Липман Берс использовал производную Шварца, чтобы определить отображение

$g=S({\tilde {f}}),$

которое вкладывает универсальное пространство Тейхмюллера в открытое подмножество U пространства ограниченных голоморфных функций g на D с равномерной нормой . В 1977 году Фредерик Геринг показал, что U является внутренней частью замкнутого подмножества производных Шварца однолистных функций.

Для компактной римановой поверхности S рода больше 1 ее универсальным накрытием является единичный круг D, на котором ее фундаментальная группа Γ действует преобразованиями Мёбиуса. Пространство Тейхмюллера S относительно можно отождествить с подпространством универсального пространства Тейхмюллера, инвариантным Γ . Голоморфные функции g обладают тем свойством, что

$g(z)\,dz^{2}$

инвариантен относительно Γ определите квадратичные дифференциалы на S. , поэтому Таким образом, пространство Тейхмюллера S реализуется как открытое подпространство конечномерного комплексного векторного пространства квадратных дифференциалов на S .

Группа диффеоморфизмов окружности

гомоморфизмы

Свойство трансформации

$S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).$

позволяет интерпретировать производную Шварца как непрерывный 1-коцикл или скрещенный гомоморфизм группы диффеоморфизмов окружности с коэффициентами из модуля плотностей степени 2 на окружности. Пусть F _λ ( S ¹ ) — пространство тензорных плотностей степени λ на S ¹ . Группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S ¹ , Дифф( S ¹ ) , действует на F _λ ( S ¹ ) через pushforward . Если f — элемент Diff( S ¹ ), то рассмотрим отображение

$f\to S(f^{-1}).$

На языке групповых когомологий приведенное выше цепное правило гласит, что это отображение является 1-коциклом на Diff( S ¹ ) с коэффициентами из F ₂ ( S ¹ ) . Фактически

$H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{2}(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R}$

а 1-коцикл, порождающий когомологии, равен f → S ( f ⁻¹ ) . Вычисление 1-когомологий является частным случаем более общего результата

$H^{1}({\text{Diff}}(\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))=\mathbf {R} \,\,\mathrm {for} \,\,\lambda =0,1,2\,\,\mathrm {and} \,\,(0)\,\,\mathrm {otherwise.}$

Заметим, что если G — группа, а M — G -модуль, то тождество, определяющее скрещенный гомоморфизм c группы G в M, может быть выражено через стандартные гомоморфизмы групп: оно кодируется в гомоморфизме 𝜙 группы G в полупрямое произведение $M\rtimes G$ такая, что композиция 𝜙 с проекцией $M\rtimes G$ на G — тождественное отображение; соответствие осуществляется по карте C ( g ) = ( c ( g ), g ) . Скрещенные гомоморфизмы образуют векторное пространство и содержат в качестве подпространства кограничные скрещенные гомоморфизмы b ( g ) = g ⋅ m − m для m в M . Простой аргумент усреднения показывает, что если K — компактная группа, а V — топологическое векторное пространство, на котором K действует непрерывно, то группы высших когомологий исчезают H ^м ( K , V ) знак равно (0) для m > 0 . В частности, для 1-коциклов χ с

$\chi (xy)=\chi (x)+x\cdot \chi (y),$

усреднение по y с использованием левого инварианта меры Хаара на K дает

$\chi (x)=m-x\cdot m,$

с

$m=\int _{K}\chi (y)\,dy.$

Таким образом, путем усреднения можно предположить, что c удовлетворяет условию нормализации c ( x ) = 0 для x в Rot( S ¹ ) . Обратите внимание, что если какой-либо элемент x в G удовлетворяет условию c ( x ) = 0, то C ( x ) = (0, x ) . Но тогда, поскольку C — гомоморфизм, С ( xgx ⁻¹ ) знак равно C ( Икс ) C ( г ) C ( Икс ) ⁻¹ , так что c удовлетворяет условию эквивариантности c ( xgx ⁻¹ ) знак равно Икс ⋅ c ( г ) . Таким образом, можно предположить, что коцикл удовлетворяет этим условиям нормировки Rot( S ¹ ) . Фактически производная Шварца обращается в нуль всякий раз, когда x является преобразованием Мёбиуса, соответствующим SU(1,1) . Два других 1-цикла, обсуждаемые ниже, исчезают только на Rot( S ¹ ) ( λ знак равно 0, 1) .

Существует бесконечно малая версия этого результата, дающая 1-коцикл для Vect( S ¹ ) , алгебра Ли гладких векторных полей и, следовательно, для алгебры Витта , подалгебра тригонометрических полиномиальных векторных полей. Действительно, когда G — группа Ли и действие G на M гладко, существует алгебраическая версия скрещенного гомоморфизма Ли, полученная взятием соответствующих гомоморфизмов алгебр Ли (производных гомоморфизмов в единице). Это также имеет смысл для Diff( S ¹ ) и приводит к 1-коциклу

$s\left(f\,{d \over d\theta }\right)={d^{3}f \over d\theta ^{3}}\,(d\theta )^{2}$

которое удовлетворяет тождеству

$s([X,Y])=X\cdot s(Y)-Y\cdot s(X).$

В случае алгебры Ли кограничные отображения имеют вид b ( X ) = X ⋅ m для m в M . В обоих случаях 1-когомологии определяются как пространство скрещенных гомоморфизмов по модулю кограниц. Естественное соответствие между гомоморфизмами групп и гомоморфизмами алгебры Ли приводит к «отображению включения Ван Эста».

$H^{1}(\operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1}))\hookrightarrow H^{1}(\operatorname {Vect} (\mathbf {S} ^{1});F_{\lambda }(\mathbf {S} ^{1})),$

Таким образом, расчет можно свести к расчету когомологий алгебры Ли . По непрерывности это сводится к вычислению скрещенных гомоморфизмов 𝜙 алгебры Витта в F _λ ( S ¹ ) . Условия нормализации группового скрещенного гомоморфизма влекут за собой следующие дополнительные условия для 𝜙:

$\varphi (\operatorname {Ad} (x)X)=x\cdot \varphi (X),\,\,\varphi (d/d\theta )=0$

для x в Rot( S ¹ ) .

Следуя соглашениям Каца и Райны (1987) , базис алгебры Витта задается формулой

$d_{n}=ie^{in\theta }\,{d \over d\theta }$

так что [ d _м , d _п ] знак равно ( м – п ) d _{м + п} . Базис комплексификации F _λ ( S ¹ ) определяется

$v_{n}=e^{in\theta }\,(d\theta )^{\lambda },$

так что

$d_{m}\cdot v_{n}=-(n+\lambda m)v_{n+m},\,\,g_{\zeta }\cdot v_{n}=\zeta ^{n}v_{n},$

для g _ζ в Rot( S ¹ ) = Т . Это заставляет 𝜙( d _n ) = a _n ⋅ v _n для подходящих коэффициентов a _n . Условие скрещенного гомоморфизма 𝜙([ X , Y ]) = X 𝜙( Y ) – Y 𝜙( X ) дает рекуррентное соотношение для a _n :

$(m-n)a_{m+n}=(m+\lambda n)a_{m}-(n+\lambda m)a_{n}.$

Условие 𝜙( d / d θ) = 0 означает, что a ₀ = 0 . Из этого условия и рекуррентного соотношения следует, что с точностью до скалярных кратных оно имеет единственное ненулевое решение, когда λ равно 0, 1 или 2, и только нулевое решение в противном случае. Решение для λ = 1 соответствует групповому 1-коциклу $\varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }\,d\theta$. Решение для λ = 0 соответствует групповому 1-коциклу 𝜙 ₀ ( f ) = log f' . Соответствующие 1-коциклы алгебры Ли для λ = 0, 1, 2 задаются с точностью до скалярного кратного формулой

$\varphi _{\lambda }\left(F{d \over d\theta }\right)={d^{\lambda +1}F \over d\theta ^{\lambda +1}}\,(d\theta )^{\lambda }.$

Центральные расширения

Скрещенные гомоморфизмы, в свою очередь, приводят к центральному расширению Diff( S ¹ ) и ее алгебры Ли Vect( S ¹ ) , так называемая алгебра Вирасоро .

Коадъюнктное действие

Группа Diff( S ¹ ) и его центральное расширение также естественным образом появляются в контексте теории Тейхмюллера и теории струн . Фактически гомеоморфизмы S ¹ индуцированные квазиконформными самоотображениями D, в точности квазисимметричными гомеоморфизмами S являются ¹ ; это именно гомеоморфизмы, которые не переводят четыре точки с перекрестным отношением 1/2 в точки с перекрестным отношением около 1 или 0. Взяв граничные значения, универсального Тейхмюллера можно отождествить с фактором группы квазисимметричных гомеоморфизмов QS( S ¹ ) подгруппой преобразований Мёбиуса Moeb( S ¹ ) . (Его также можно естественным образом реализовать как пространство квазикругов в C .) Поскольку

$\operatorname {Moeb} (\mathbf {S} ^{1})\subset \operatorname {Diff} (\mathbf {S} ^{1})\subset {\text{QS}}(\mathbf {S} ^{1})$

однородное пространство Diff( S ¹ )/Моэб( S ¹ ) естественно является подпространством универсального пространства Тейхмюллера. Это также, естественно, комплексное многообразие, и эта и другие естественные геометрические структуры совместимы со структурами в пространстве Тейхмюллера. Двойственная алгебра Ли к Diff( S ¹ ) можно отождествить с пространством операторов Хилла на S ¹

${d^{2} \over d\theta ^{2}}+q(\theta ),$

и коприсоединенное действие Diff ( S ¹ ) вызывает производную Шварца. Обратный диффеоморфизм f переводит оператор Хилла в

${d^{2} \over d\theta ^{2}}+f^{\prime }(\theta )^{2}\,q\circ f(\theta )+{\tfrac {1}{2}}S(f)(\theta ).$

Псевдогруппы и связи

Производная Шварца и другой 1-коцикл, определенные на Diff( S ¹ ) можно расширить до биголоморфного между открытыми множествами в комплексной плоскости. В этом случае локальное описание приводит к теории аналитических псевдогрупп , формализующей теорию бесконечномерных групп и алгебр Ли, впервые изученную Эли Картаном в 1910-х годах. Это связано с аффинными и проективными структурами на римановых поверхностях , а также с теорией шварцевых или проективных связей, обсуждавшихся Ганнингом, Шиффером и Хоули.

Голоморфная псевдогруппа Γ на C состоит из набора биголоморфизмов f между открытыми множествами U и V в C , который содержит тождественные отображения для каждого открытого U , замкнутого при ограничении на открытия, замкнутого при композиции (если это возможно), который замкнуто относительно обратных и такое, что если биголоморфизм локально принадлежит Γ , то он тоже находится в Γ . Псевдогруппа называется транзитивной , если для данных z и w в C существует биголоморфизм f в Γ такой, что f ( z ) = w . Частным случаем транзитивных псевдогрупп являются те, которые являются плоскими , т.е. содержат все комплексные сдвиги T _b ( z ) = z + b . Пусть G — группа формальных степенных рядов преобразований в соответствии с композицией F (z) = a ₁ z + a ₂ z ² + .... с 1 ₀ ≠ . Голоморфная псевдогруппа Γ определяет подгруппу A группы G , а именно подгруппу, определенную разложением в ряд Тейлора около 0 (или «струи» ) элементов f группы Γ с f (0) = 0 . И наоборот, если Γ плоская, она однозначно определяется A : биголоморфизм f на U содержится в Γ тогда и только тогда, когда ряд степенной T _{– f ( a )} ∘ f ∘ T _a лежит в A для каждого a в U : другими словами, формальный степенной ряд для f в точке a задается элементом A с z заменой на z − a ; все струи f лежат в A. или, короче ,

Группа G имеет естественные гомоморфизмы на группу Gk _, k -струй полученные взятием усеченного степенного ряда, доведенного до члена z ^к . Эта группа действует точно на пространстве полиномов степени k (усечивающих членов порядка выше k ). Усечения аналогичным образом определяют гомоморфизмы G _k на G _{k − 1} ; ядро состоит из отображений f с f ( z ) = z + bz ^к , как и абелиан. Таким образом, группа Gk _{разрешима, что ясно еще и} из того, что для базиса мономов она имеет треугольную форму.

Плоская псевдогруппа Γ называется «определенной дифференциальными уравнениями», если существует конечное целое число является точным и образ является _{k такое, что гомоморфизм A в Gk} замкнутой подгруппой. Наименьшее k называется порядком Γ такое .Существует полная классификация всех возникающих таким образом подгрупп A , которые удовлетворяют дополнительным предположениям о том, что образ A в G _k является комплексной подгруппой и что G ₁ равен C * : это означает, что псевдогруппа также содержит масштабирующие преобразования S _a ( z ) = az для a ≠ 0 , т.е. содержит A содержит каждый полином az с a ≠ 0 .

Единственная возможность в этом случае состоит в том, что k = 1 и A = { az : a ≠ 0 }; или что k = 2 и A = { az /(1− bz ) : a ≠ 0} . Первая представляет собой псевдогруппу, определяемую аффинной подгруппой комплексной группы Мёбиуса ( преобразования az + b, фиксирующие ∞ ); последняя представляет собой псевдогруппу, определяемую всей комплексной группой Мёбиуса.

Эту классификацию легко свести к алгебраической задаче Ли, поскольку формальная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ группы G состоит из формальных векторных полей F ( z ) d / dz , где F - формальный степенной ряд. Он содержит поля полиномиальных векторов с базисом d _n = z ^{п +1} d / dz ( n ≥ 0) , которая является подалгеброй алгебры Витта. Скобки Ли задаются формулой [ d _m , d _n ] знак равно ( n - m ) d _{m + n} . Опять же, они действуют в пространстве многочленов степени ≤ k путем дифференцирования — его можно отождествить с C [[ z ]]/( z ^{к +1} ) — и образы d ₀ , ..., d _{k – 1} дают базис алгебры Ли группы G _k . Обратите внимание, что Ad( S _a ) d _n = a ^{– н} д _н . Позволять ${\mathfrak {a}}$ обозначим алгебру Ли группы A : она изоморфна подалгебре алгебры Ли Gk _группы . Он содержит d0 _​​и инвариантен относительно Ad Sa ₎ . ( С ${\mathfrak {a}}$ является подалгеброй Ли алгебры Витта, единственная возможность состоит в том, что она имеет базис d ₀ или базис d ₀ , d _n для некоторого n ≥ 1 . Существуют соответствующие элементы группы вида f ( z )= z + bz ^{п +1} + ... . Составив это с помощью переводов, получим T _{– f (ε)} ∘ f ∘ T _ε ( z ) = cz + dz ² + ... с c , d ≠ 0 . Если n = 2 , это противоречит виду подгруппы A ; поэтому n = 2 .

Производная Шварца связана с псевдогруппой комплексной группы Мёбиуса. Фактически, если — биголоморфизм, определенный на V , то 𝜙 ₂ ( f ) = S ( f ) — квадратичный дифференциал на V. f Если g — бигомоморфизм, определенный на U , и g ( V ) ⊆ U , S ( f ∘ g ) и S ( g ) — квадратичные дифференциалы на U ; более того, S ( f ) является квадратичным дифференциалом на V , так что g _∗ S (f) также является квадратичным дифференциалом на U . Личность

$S(f\circ g)=g_{*}S(f)+S(g)$

таким образом, является аналогом 1-коцикла для псевдогруппы биголоморфизмов с коэффициентами в голоморфных квадратных дифференциалах. Сходным образом $\varphi _{0}(f)=\log f^{\prime }$ и $\varphi _{1}(f)=f^{\prime \prime }/f^{\prime }$ являются 1-коциклами одной и той же псевдогруппы со значениями в голоморфных функциях и голоморфных дифференциалах. В общем случае 1-коцикл можно определить для голоморфных дифференциалов любого порядка так, что

$\varphi (f\circ g)=g_{*}\varphi (f)+\varphi (g).$

Применяя приведенное выше тождество к картам включения j , отсюда следует, что 𝜙( j ) = 0 ; и, следовательно, если f ₁ является ограничением f ₂ , так что f ₂ ∘ j = f ₁ , то 𝜙( f ₁ ) = 𝜙 ( f ₂ ) . С другой стороны, если взять локальный голоморфный поток, определяемый голоморфными векторными полями — экспоненту векторных полей, — голоморфная псевдогруппа локальных биголоморфизмов порождается голоморфными векторными полями. Если 1-коцикл 𝜙 удовлетворяет подходящим условиям непрерывности или аналитичности, он индуцирует 1-коцикл голоморфных векторных полей, также совместимый с ограничением. Соответственно, он определяет 1-коцикл на голоморфных векторных полях на C :

$\varphi ([X,Y])=X\varphi (Y)-Y\varphi (X).$

Ограничение на алгебру Ли полиномиальных векторных полей с базисом d _n = z ^{п +1} d / dz ( n ≥ −1) , их можно определить, используя те же методы когомологий алгебры Ли (как в предыдущем разделе о скрещенных гомоморфизмах). Там расчет велся для всей алгебры Витта, действующей на плотности порядка k , а здесь — только для подалгебры, действующей на голоморфные (или полиномиальные) дифференциалы порядка k . Опять же, предполагая, что 𝜙 обращается в нуль при поворотах C , существуют ненулевые 1-коциклы, уникальные с точностью до скалярных кратных. только для дифференциалов степени 0, 1 и 2, заданных одной и той же формулой производной

$\varphi _{k}\left(p(z){d \over dz}\right)=p^{(k+1)}(z)\,(dz)^{k},$

где p ( z ) — полином.

1-коциклы определяют три псевдогруппы как 𝜙 _k ( f ) = 0 : это дает масштабирующую группу ( k = 0 ); аффинная группа ( k = 1 ); и вся комплексная группа Мёбиуса ( k = 2 ). Итак, эти 1-коциклы представляют собой специальные обыкновенные дифференциальные уравнения, определяющие псевдогруппу. Что еще более важно, их можно использовать для определения соответствующих аффинных или проективных структур и связей на римановых поверхностях. Если Γ — псевдогруппа гладких отображений на R ^н топологическое пространство M имеет Γ -структуру, если оно имеет набор карт f , которые являются гомеоморфизмами открытых множеств Vi _M в Говорят, что в открытые множества U _i в R ^н такой, что для каждого непустого пересечения естественное отображение f _i ( U _i ∩ U _j ) в f _j ( U _i ∩ U _j ) лежит в Γ . Это определяет структуру гладкого n -многообразия, если Γ состоит из локальных диффеоморфимов, и римановой поверхности, если n = 2 , так что R ² ≡ C — и Γ состоит из биголоморфизмов. Если Γ — аффинная псевдогруппа, M говорят, что имеет аффинную структуру; и если Γ — псевдогруппа Мёбиуса, M то говорят, что имеет проективную структуру. Таким образом, поверхность рода один, заданная как C /Λ для некоторой решетки Λ ⊂ C, имеет аффинную структуру; а поверхность рода p > 1 , заданная как фактор верхней полуплоскости или единичного круга по фуксовой группе, имеет проективную структуру.

Ганнинг в 1966 году описывает, как этот процесс можно обратить вспять: для рода p > 1 существование проективной связности, определенной с помощью производной Шварца 𝜙 ₂ и доказанное с использованием стандартных результатов о когомологиях, может быть использовано для отождествления универсальной накрывающей поверхности с верхняя полуплоскость или единичный диск (аналогичный результат верен для рода 1 с использованием аффинных связностей и 𝜙 ₁ ).

Обобщения

Осгуд и Стоу (1992) описывают обобщение, применимое для отображений конформных многообразий , в котором производная Шварца становится симметричным тензором на многообразии. Позволять $M$ быть гладким многообразием размерности $n$ с гладким метрическим тензором $g$. Гладкий диффеоморфизм $F:M\to M$ конформно, если $F^{*}g=e^{2\varphi }g$ для некоторой гладкой функции $\varphi$. Шварциан определяется

$$S_{g}(\varphi )=\nabla ^{2}\varphi -d\varphi \otimes d\varphi -{\frac {1}{n}}\left(\Delta \varphi -g(\nabla \varphi ,\nabla \varphi )\right)$$

где $\nabla$ это Леви-Чивита связь $g$, $\nabla ^{2}$ обозначает гессиан относительно связи, $\Delta \varphi$ — оператор Лапласа–Бельтрами (определяемый как след гессиана по отношению к $g$).

Шварциан удовлетворяет закону коцикла.

$$S_{g}(\varphi +\psi )=S_{g}(\varphi )+S_{e^{2\varphi }g}(\psi ).$$

Преобразование Мёбиуса — это конформный диффеоморфизм, конформный фактор которого имеет исчезающий шварциан. Коллекция преобразований Мёбиуса. $M$ является замкнутой подгруппой Ли конформной группы $M$. Решения $S_{g}(\varphi )=0$ в евклидовом пространстве, с $g$ евклидовой метрики, именно тогда, когда $\varphi$ является постоянным, конформный фактор, дающий сферическую метрику $\log[(1+|\mathbf {x} |^{2})^{-1}]$, или же конформный фактор для гиперболической метрики Пуанкаре на шаре или полупространстве $\log |(1-|\mathbf {x} |^{2})^{-1}|$ или $\log |x_{n}^{-1}|$ (соответственно).

Другое обобщение применимо к положительным кривым в лагранжевом грассманиане ( Овсиенко и Табачников, 2005 ). Предположим, что $(X,\omega )$ является симплектическим векторным пространством размерности $2n$ над $\mathbb {R}$. Зафиксируйте пару дополнительных лагранжевых подпространств. $A,B\subset X$. Множество лагранжевых подпространств, дополнительных к $A$ параметризуется пространством отображений $H:A\to B$ которые симметричны относительно $\omega$ ( $\omega (a,H(a))=\omega (H(a),a)$ для всех $a\in A$). Любое лагранжево подпространство, дополнительное к $A$ дается $\{a+H(a)|a\in A\}$ для некоторого такого тензора $H$. Таким образом, кривая локально задается однопараметрическим семейством $H(u)$ симметричных тензоров. Кривая положительна, если $H'(u)$ является положительно определенным. Лагранжиан Шварца тогда определяется как

$$S(H)=(H')^{-1/2}\left(H'''-{\tfrac {3}{2}}H''(H')^{-1}H''\right)(H')^{-1/2}.$$

Это имеет то свойство, что $S(H)=S(G)$ тогда и только тогда, когда существует симплектическое преобразование, связывающее кривые $H(u)$ и $G(u)$.

Лагранжиан Шварца связан с дифференциальным уравнением второго порядка.

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+Q(t)x=0,$$

где $Q(t)$ представляет собой симметричный тензор, зависящий от действительной переменной $t$ и $x$ представляет собой кривую в $\mathbb {R} ^{n}$. Позволять $X$ быть $2n$-мерное пространство решений дифференциального уравнения. С $Q$ симметрична, форма на $X$ данный $\omega (x,y)=x(t)\cdot y'(t)-x'(t)\cdot y(t)$ не зависит от $t$и так дает $X$ симплектическая структура. Позволять $\operatorname {ev} _{t}:X\to \mathbb {R}$ оценочный функционал. Тогда для любого $t$ в области $X$, ядро $\operatorname {ev} _{t}$ является лагранжевым подпространством $X$, и поэтому ядро ​​определяет кривую в лагранжевом грассманиане $(X,\omega )$. Лагранжиан Шварца этой кривой тогда равен $2Q(t)$.

См. также

• Уравнение Риккати

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1966), Лекции по квазиконформным отображениям , Ван Ностранд, стр. 117–146 , Глава 6, «Пространства Тейхмюллера»
• Дюрен, Питер Л. (1983), Однолистные функции , Основы математических наук, том. 259, Springer-Verlag, стр. 258–265, ISBN.  978-0-387-90795-6 ]
• Гье, Лоран; Роджер, Клод (2007), Алгебра и группа Вирасоро , Монреаль: CRM, ISBN  978-2-921120-44-9
• Ганнинг, Р.К. (1966), Лекции по римановым поверхностям , Princeton Mathematical Notes, Princeton University Press
• Ганнинг, RC (1978), Об униформизации комплексных многообразий: роль связностей , Математические заметки, том. 22, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-08176-2
• Хилле, Эйнар (1976), Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области , Дувр, стр. 374–401 , ISBN  978-0-486-69620-1 , Глава 10, «Шварциан».
• Имаёси, Ю.; Танигучи, М. (1992), Введение в пространства Тейхмюллера , Springer-Verlag, ISBN  978-4-431-70088-3
• Кац, В.Г.; Райна, AK (1987), Бомбейские лекции о представлениях бесконечномерных алгебр Ли с высшим весом , World Scientific, ISBN  978-9971-50-395-6
• фон Коппенфельс, В.; Столлманн, Ф. (1959), Практика конформного отображения , Основные принципы математических наук, том. 100, Springer-Verlag, стр. 114–141 , Раздел 12, «Отображение многоугольников с дугами окружностей».
• Кляйн, Феликс (1922), Собрание сочинений , т. 2, Springer-Verlag, стр. 540–549 , «К теории обобщенных функций Ламе».
• Лехто, Отто (1987), Однолистные функции и пространства Тейхмюллера , Springer-Verlag, стр. 50–59, 111–118, 196–205, ISBN  978-0-387-96310-5
• Либерманн, Полетт (1959), «Бесконечно-малые псевдогруппы, присоединенные к псевдогруппам Ли», Bull. Соц. Математика. Франция , 87 : 409–425, doi : 10.24033/bsmf.1536
• Нехари, Зеев (1949), «Производная Шварца и однолистные функции» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 55 (6): 545–551, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09241-8 , ISSN   0002-9904 , МР   0029999
• Нехари, Зеев (1952), Конформное отображение , Дувр, стр. 189–226 , ISBN  978-0-486-61137-2
• Осгуд, Б; Стоу, Д. (1992), «Производная Шварца и конформное отображение римановых многообразий», Duke Mathematical Journal , 67 (1) .
• Овсиенко В.; Табачников, С. (2005), Старая и новая проективная дифференциальная геометрия , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-83186-4
• Овсиенко Валентин; Табачников, Сергей (2009), «Что такое… производная Шварца?» (PDF) , Уведомления AMS , 56 (1): 34–36
• Пеконен, Осмо (1995), «Универсальное пространство Тейхмюллера в геометрии и физике», J. Geom. Физ. , 15 (3): 227–251, arXiv : hep-th/9310045 , Bibcode : 1995JGP....15..227P , doi : 10.1016/0393-0440(94)00007-Q , S2CID   119598450
• Шиффер, Менахем (1966), «Дифференциалы полупорядка на римановых поверхностях» , SIAM Journal on Applied Mathematics , 14 (4): 922–934, doi : 10.1137/0114073 , JSTOR   2946143 , S2CID   120194068
• Сигал, Грэм (1981), «Унитарные представления некоторых бесконечномерных групп» , Comm. Математика. Физ. , 80 (3): 301–342, Бибкод : 1981CMaPh..80..301S , doi : 10.1007/bf01208274 , S2CID   121367853
• Штернберг, Шломо (1983), Лекции по дифференциальной геометрии (второе изд.), Chelsea Publishing, ISBN  978-0-8284-0316-0
• Тахтаджан, Леон А.; Тео, Ли-Пенг (2006), Метрика Вейля-Петерссона в универсальном пространстве Тейхмюллера , Mem. амер. Математика. Соц., вып. 183