Теорема Штурма о разделении

Нули двух линейно независимых решений уравнения Эйри $y''-xy=0$ чередуются, как и предсказывает теорема Штурма.

В математике , в области обыкновенных дифференциальных уравнений , теорема Штурма о разделении , названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма , описывает расположение корней решений однородных второго порядка линейных дифференциальных уравнений . По сути, теорема утверждает, что при наличии двух линейных независимых решений такого уравнения нули этих двух решений чередуются.

Теорема Штурма о разделении

Если u ( x ) и v ( x ) — два нетривиальных непрерывных линейно независимых решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, причем последовательными _{являются} корнями u _{x0 и x1} ( x ) , то v ( x ) имеет ровно один корень в открытом интервале ( x ₀ , x ₁ ). Это частный случай теоремы сравнения Штурма-Пиконе .

Доказательство

С $\displaystyle u$ и $\displaystyle v$ линейно независимы, то вронскиан $\displaystyle W[u,v]$ должен удовлетворить $W[u,v](x)\equiv W(x)\neq 0$ для всех $\displaystyle x$ где определено дифференциальное уравнение, скажем $\displaystyle I$. Не ограничивая общности, предположим, что $W(x)<0{\mbox{ }}\forall {\mbox{ }}x\in I$. Затем

$u(x)v'(x)-u'(x)v(x)\neq 0.$

Итак, в $\displaystyle x=x_{0}$

$W(x_{0})=-u'\left(x_{0}\right)v\left(x_{0}\right)$

и либо $u'\left(x_{0}\right)$ и $v\left(x_{0}\right)$ оба положительные или оба отрицательные. Без ограничения общности предположим, что они оба положительны. Теперь, в $\displaystyle x=x_{1}$

$W(x_{1})=-u'\left(x_{1}\right)v\left(x_{1}\right)$

и поскольку $\displaystyle x=x_{0}$ и $\displaystyle x=x_{1}$ являются последовательными нулями $\displaystyle u(x)$ это вызывает $u'\left(x_{1}\right)<0$. Таким образом, чтобы сохранить $\displaystyle W(x)<0$ мы должны иметь $v\left(x_{1}\right)<0$. Мы видим это, наблюдая, что если $\displaystyle u'(x)>0{\mbox{ }}\forall {\mbox{ }}x\in \left(x_{0},x_{1}\right]$ затем $\displaystyle u(x)$ будет увеличиваться (вдали от $\displaystyle x$-ось), что никогда не приведет к нулю в $\displaystyle x=x_{1}$. Итак, чтобы ноль появился в $\displaystyle x=x_{1}$ максимум $u'\left(x_{1}\right)=0$ (т.е. $u'\left(x_{1}\right)\leq 0$ и оказывается, согласно нашему результату из вронскиана, что $u'\left(x_{1}\right)\leq 0$). Итак, где-то в промежутке $\left(x_{0},x_{1}\right)$ знак $\displaystyle v(x)$ измененный. По теореме о промежуточном значении существует $x^{*}\in \left(x_{0},x_{1}\right)$ такой, что $v\left(x^{*}\right)=0$.

С другой стороны, нуль может быть только один. $\left(x_{0},x_{1}\right)$, потому что иначе $v$ было бы два нуля и не было бы нулей $u$ между ними, и только что было доказано, что это невозможно.

Ссылки

• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .