Jump to content

Теорема сравнения Штурма – Пиконе

В математике , в области обыкновенных дифференциальных уравнений , теорема сравнения Штурма-Пиконе , названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Мауро Пиконе , представляет собой классическую теорему, которая обеспечивает критерии колеблемости и неколеблемости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в настоящий домен.

Пусть p i , q i для i = 1, 2 — вещественные непрерывные функции на интервале [ a , b ] и пусть

— два однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженной форме с

и

Пусть u — нетривиальное решение задачи (1) с последовательными корнями в точках z 1 и z 2 , и пусть v — нетривиальное решение задачи (2). Тогда имеет место одно из следующих свойств.

  • Существует x в ( z 1 , z 2 ) такой, что v ( x ) = 0; или
  • существует λ в R такой, что v ( x ) знак равно λ ты ( x ) .

Первая часть вывода принадлежит Штурму (1836 г.), [ 1 ] а вторая (альтернативная) часть теоремы принадлежит Пиконе (1910). [ 2 ] [ 3 ] чье простое доказательство было дано с использованием его теперь знаменитого тождества Пиконе . В частном случае, когда оба уравнения идентичны, получается теорема Штурма о разделении . [ 4 ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ К. Штурм, Диссертация по линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, J. ​​Math. Чистое приложение. 1 (1836), 106–186
  2. ^ М. Пиконе, Об исключительных значениях параметра, от которого зависит обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, Ann. Нормальная школа Пиза 11 (1909), 1–141.
  3. ^ Хинтон, Д. (2005). «Результаты колебаний Штурма 1836 года: эволюция теории». Теория Штурма-Лиувилля . стр. 1–27. дои : 10.1007/3-7643-7359-8_1 . ISBN  3-7643-7066-1 .
  4. ^ Расширение этой важной теоремы до теоремы сравнения, включающей три или более вещественных уравнений второго порядка, см. в теореме сравнения Хартмана – Мингарелли , где было дано простое доказательство с использованием тождества Мингарелли.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c84945143730d99357fc1ca3c6510c73__1693301520
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c8/73/c84945143730d99357fc1ca3c6510c73.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Sturm–Picone comparison theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)