Теорема сравнения Штурма – Пиконе
В математике , в области обыкновенных дифференциальных уравнений , теорема сравнения Штурма-Пиконе , названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Мауро Пиконе , представляет собой классическую теорему, которая обеспечивает критерии колеблемости и неколеблемости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в настоящий домен.
Пусть p i , q i для i = 1, 2 — вещественные непрерывные функции на интервале [ a , b ] и пусть
— два однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженной форме с
и
Пусть u — нетривиальное решение задачи (1) с последовательными корнями в точках z 1 и z 2 , и пусть v — нетривиальное решение задачи (2). Тогда имеет место одно из следующих свойств.
- Существует x в ( z 1 , z 2 ) такой, что v ( x ) = 0; или
- существует λ в R такой, что v ( x ) знак равно λ ты ( x ) .
Первая часть вывода принадлежит Штурму (1836 г.), [ 1 ] а вторая (альтернативная) часть теоремы принадлежит Пиконе (1910). [ 2 ] [ 3 ] чье простое доказательство было дано с использованием его теперь знаменитого тождества Пиконе . В частном случае, когда оба уравнения идентичны, получается теорема Штурма о разделении . [ 4 ]
Примечания
[ редактировать ]- ^ К. Штурм, Диссертация по линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, J. Math. Чистое приложение. 1 (1836), 106–186
- ^ М. Пиконе, Об исключительных значениях параметра, от которого зависит обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, Ann. Нормальная школа Пиза 11 (1909), 1–141.
- ^ Хинтон, Д. (2005). «Результаты колебаний Штурма 1836 года: эволюция теории». Теория Штурма-Лиувилля . стр. 1–27. дои : 10.1007/3-7643-7359-8_1 . ISBN 3-7643-7066-1 .
- ^ Расширение этой важной теоремы до теоремы сравнения, включающей три или более вещественных уравнений второго порядка, см. в теореме сравнения Хартмана – Мингарелли , где было дано простое доказательство с использованием тождества Мингарелли.
Ссылки
[ редактировать ]- Диас, Дж.Б.; Маклафлин, Джойс Р. Теоремы сравнения Штурма для обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных . Бык. амер. Математика. Соц. 75 1969 335–339 [1]
- Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия , стр. 79, Кригер, Хантингтон ISBN 0-88275-368-1 .
- Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .