Личность Мингарелли

В области обыкновенных дифференциальных уравнений тождество Мингарелли - это теорема, которая обеспечивает критерии колеблемости и неколеблемости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в реальной области. Он расширяет тождество Пиконе с двух до трех и более дифференциальных уравнений второго порядка.

Личность

Рассмотрим n решений следующей (несвязанной) системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка на t –интервале [ a , b ] :

$(p_{i}(t)x_{i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}$ где $i=1,2,\ldots ,n$.

Позволять $\Delta$ обозначим оператор прямой разности, т.е.

$\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}.$

Оператор разности второго порядка находится путем итерации оператора первого порядка, как в

$\Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_{i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i},$,

с аналогичным определением для более высоких итераций. Оставляя для удобства независимую переменную t и предполагая, что x _i ( t ) ≠ 0 на ( a , b ] , справедливо тождество:

${\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}=&\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})\\&-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}$

где

• $r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}$ – логарифмическая производная ,
• $W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}-x_{i}x_{j}^{\prime }$, – определитель Вронского ,
• $C(n-1,k)$ являются биномиальными коэффициентами .

При n = 2 это равенство сводится к тождеству Пиконе .

Приложение

Приведенное выше тождество быстро приводит к следующей теореме сравнения для трех линейных дифференциальных уравнений: которая расширяет классическую теорему сравнения Штурма – Пиконе .

Пусть p _i , q _i i = 1, 2, 3 , являются вещественными непрерывными функциями на интервале [ a , b ] , и пусть

1. $(p_{1}(t)x_{1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}$
2. $(p_{2}(t)x_{2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}$
3. $(p_{3}(t)x_{3}^{\prime })^{\prime }+q_{3}(t)x_{3}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{3}(a)=1,\,\,x_{3}^{\prime }(a)=R_{3}$

— три однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженной форме , где

• p _i ( t ) > 0 для каждого i и для всех t в [ a , b ] , и
• R . _i — произвольные действительные числа

Предположим, что для всех t в [ a , b ] мы имеем:

$\Delta ^{2}(q_{1})\geq 0$,

$\Delta ^{2}(p_{1})\leq 0$,

$\Delta ^{2}(p_{1}(a)R_{1})\leq 0$.

Тогда, если x ₁ ( t ) > 0 на [ a , b ] и x ₂ ( b ) = 0 , то любое решение x ₃ ( t ) имеет хотя бы один нуль в [ a , b ] .

Ссылки

• Кларк Д.Н.; Дж. Печелли и Р. Сакстедер (1981). Вклад в анализ и геометрию . Балтимор, США: Издательство Университета Джонса Хопкинса. стр. ix+357. ISBN  0-80182-779-5 .
• Мингарелли, Анджело Б. (1979). «Некоторые расширения теоремы Штурма – Пиконе». Comptes Rendus Mathématique . 1 (4). Торонто, Онтарио, Канада: Королевское общество Канады: 223–226.