Пиконе идентичность

В области обыкновенных дифференциальных уравнений тождество Пиконе , названное в честь Мауро Пиконе , — классический результат об однородных линейных дифференциальных уравнениях второго порядка. С момента своего создания в 1910 году она использовалась с огромным успехом в сочетании с почти немедленным доказательством теоремы сравнения Штурма , теоремы, доказательство которой заняло много страниц в оригинальных мемуарах Штурма 1836 года. Она также полезна при изучении колебаний таких уравнений и был обобщен на другие типы дифференциальных уравнений и разностных уравнений .

Тождество Пиконе используется для доказательства теоремы сравнения Штурма–Пиконе .

Пиконе идентичность

Предположим, что u и v являются решениями двух однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в самосопряженной форме

$(p_{1}(x)u')'+q_{1}(x)u=0$

и

$(p_{2}(x)v')'+q_{2}(x)v=0.$

Тогда для всех x с v ( x ) ≠ 0 справедливо следующее тождество

$\left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}+\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}.$

Доказательство

$\left({\frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')\right)'=\left(up_{1}u'-p_{2}v'u^{2}{\frac {1}{v}}\right)'=u'p_{1}u'+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'u^{2}{\frac {1}{v}}-p_{2}v'2uu'{\frac {1}{v}}+p_{2}v'u^{2}{\frac {v'}{v^{2}}}=$

$=p_{1}u'^{2}-2p_{2}{\frac {uu'v'}{v}}+p_{2}{\frac {u^{2}v'^{2}}{v^{2}}}+u(p_{1}u')'-(p_{2}v')'{\frac {u^{2}}{v}}=$

$=p_{1}u'^{2}-p_{2}u'^{2}+p_{2}u'^{2}-2p_{2}u'{\frac {uv'}{v}}+p_{2}\left({\frac {uv'}{v}}\right)^{2}-u(q_{1}u)+(q_{2}v){\frac {u^{2}}{v}}=\left(p_{1}-p_{2}\right)u'^{2}+p_{2}\left(u'-v'{\frac {u}{v}}\right)^{2}+\left(q_{2}-q_{1}\right)u^{2}$

Примечания

• Пиконе, Мауро (1910). «Об исключительных значениях параметра, от которого зависит линейное дифференциальное уравнение второго порядка» . Энн. Нормальная школа Суп . 11 :1–141.
• Суонсон, Чарльз А. (1975). «Личность Пиконе». Математика сообщает . 8 (2): 373–397.