Теорема сравнения Штурма – Пиконе

В математике , в области обыкновенных дифференциальных уравнений , теорема сравнения Штурма-Пиконе , названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Мауро Пиконе , представляет собой классическую теорему, которая обеспечивает критерии колеблемости и неколеблемости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений в настоящий домен.

Пусть $p i$ , $q i$ для $i = 1, 2$ — вещественные непрерывные функции на интервале $[a, b]$ и пусть

$(p_{1}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{1}(x)y=0$
$(p_{2}(x)y^{\prime })^{\prime }+q_{2}(x)y=0$

— два однородных линейных дифференциальных уравнения второго порядка в самосопряженной форме с

0<p_{2}(x)\leq p_{1}(x)

и

q_{1}(x)\leq q_{2}(x).

Пусть $u$ — нетривиальное решение задачи (1) с последовательными корнями в точках $z 1$ и $z 2$ , и пусть $v$ — нетривиальное решение задачи (2). Тогда имеет место одно из следующих свойств.

Существует $x$ в $(z 1, z 2)$ такой, что $v (x) = 0;$ или
существует $λ$ в R такой, что $v (x) знак равно λ ты (x)$ .

Первая часть вывода принадлежит Штурму (1836 г.), ^[1] а вторая (альтернативная) часть теоремы принадлежит Пиконе (1910). ^[2]^[3] чье простое доказательство было дано с использованием его теперь знаменитого тождества Пиконе . В частном случае, когда оба уравнения идентичны, получается теорема Штурма о разделении . ^[4]

Примечания

^ К. Штурм, Диссертация по линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, J. Math. Чистое приложение. 1 (1836), 106–186
^ М. Пиконе, Об исключительных значениях параметра, от которого зависит обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, Ann. Нормальная школа Пиза 11 (1909), 1–141.
^ Хинтон, Д. (2005). «Результаты колебаний Штурма 1836 года: эволюция теории». Теория Штурма-Лиувилля . стр. 1–27. дои : 10.1007/3-7643-7359-8_1 . ISBN 3-7643-7066-1 .
^ Расширение этой важной теоремы до теоремы сравнения, включающей три или более действительных уравнений второго порядка, см. в теореме сравнения Хартмана – Мингарелли , где было дано простое доказательство с использованием тождества Мингарелли.

Ссылки

Диас, Дж.Б.; Маклафлин, Джойс Р. Теоремы сравнения Штурма для обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных . Бык. амер. Математика. Соц. 75 1969 335–339 [1]
Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия , стр. 79, Кригер, Хантингтон ISBN 0-88275-368-1 .
Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0 .

[1] К. Штурм, Диссертация по линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, J. Math. Чистое приложение. 1 (1836), 106–186

[2] М. Пиконе, Об исключительных значениях параметра, от которого зависит обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, Ann. Нормальная школа Пиза 11 (1909), 1–141.

[3] Хинтон, Д. (2005). «Результаты колебаний Штурма 1836 года: эволюция теории». Теория Штурма-Лиувилля . стр. 1–27. дои : 10.1007/3-7643-7359-8_1 . ISBN 3-7643-7066-1 .

[4] Расширение этой важной теоремы до теоремы сравнения, включающей три или более действительных уравнений второго порядка, см. в теореме сравнения Хартмана – Мингарелли , где было дано простое доказательство с использованием тождества Мингарелли.

[1]

[2]

[3]

[4]