Теория колебаний

Чтобы узнать о других значениях, см. Теорию колебаний (значения) .

В математике , в области обыкновенных дифференциальных уравнений , нетривиальное решение обыкновенного дифференциального уравнения.

$F(x,y,y',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}\quad x\in [0,+\infty )$

называется колеблющейся , если она имеет бесконечное число корней ; в противном случае его называют неколеблющимся . Дифференциальное уравнение называется осциллирующим, если оно имеет осциллирующее решение. Число корней несет также информацию о спектре связанных с ними краевых задач .

Примеры

Дифференциальное уравнение

$y''+y=0$

колеблется, поскольку sin( x ) является решением.

Связь со спектральной теорией

Теория колебаний была инициирована Жаком Шарлем Франсуа Штурмом в его исследованиях задач Штурма – Лиувилля в 1836 году. Там он показал, что n-я собственная функция задачи Штурма – Лиувилля имеет ровно n-1 корней. Для одномерного уравнения Шредингера вопрос о колебании/неколебании отвечает на вопрос, накапливаются ли собственные значения внизу непрерывного спектра.

Относительная теория колебаний

В 1996 году Гестеши – Саймон – Тешль показал, что количество корней определителя Вронского двух собственных функций задачи Штурма – Лиувилля дает количество собственных значений между соответствующими собственными значениями. Позже Крюгер-Тешль обобщил его на случай двух собственных функций двух разных задач Штурма-Лиувилля. Исследование числа корней определителя Вронского двух решений известно как теория относительных колебаний.

См. также

Классическими результатами теории колебаний являются:

• Теорема Кнезера (дифференциальные уравнения)
• Теорема сравнения Штурма – Пиконе
• Теорема Штурма о разделении

Ссылки

• Аткинсон, Ф.В. (1964). Дискретные и непрерывные граничные задачи . Академическая пресса. ISBN  978-0-08-095516-2 .
• Гестеси, Ф.; Саймон, Б.; Тешль, Г. (1996). «Нули вронскиана и перенормированная теория колебаний» (PDF) . Являюсь. Дж. Математика . 118 (3): 571–594. дои : 10.1353/ajm.1996.0024 . S2CID   14430688 .
• Крейт, К. (1973). Теория колебаний . Конспект лекций по математике. Том. 324. Спрингер. дои : 10.1007/BFb0067537 . ISBN  978-3-540-40005-9 .
• Крюгер, Х.; Тешль, Г. (2009). «Теория относительных колебаний, взвешенные нули вронскиана и функция спектрального сдвига». Коммун. Математика. Физ . 287 (2): 613–640. arXiv : math/0703574 . Бибкод : 2009CMaPh.287..613K . дои : 10.1007/s00220-008-0600-8 . S2CID   881636 .
• Штурм, JCF (1836). «Память о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка» . Дж. Математика. Чистое приложение . 1 :106–186. Перепечатано в Пон, Жан-Клод, изд. (2009). Собрание сочинений Шарля Франсуа Штурма . Спрингер. стр. 392–472. дои : 10.1007/978-3-7643-7990-2_30 .
• Суонсон, Калифорния (2016) [1968]. Теория сравнения и колебаний линейных дифференциальных уравнений . Эльзевир. ISBN  978-1-4832-6667-1 .
• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• Вайдманн, Дж. (1987). Спектральная теория обыкновенных дифференциальных операторов . Конспект лекций по математике. Том. 1258. Спрингер. дои : 10.1007/BFb0077960 . ISBN  978-3-540-47912-3 .