Теорема Кнезера (дифференциальные уравнения)

В математике может теорема Кнезера относиться к двум различным теоремам в области обыкновенных дифференциальных уравнений :

• первый, названный в честь Адольфа Кнезера , предоставляет критерии для определения того, является ли дифференциальное уравнение колеблющимся или нет;
• другой, названный в честь Хельмута Кнезера , посвящен топологии множества всех решений начальной задачи с непрерывной правой частью.

Формулировка теоремы А. Кнезера

Рассмотрим обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение вида

$y''+q(x)y=0$

с

$q:[0,+\infty )\to \mathbb {R}$

непрерывный . Мы говорим, что это уравнение является колеблющимся , если оно имеет решение y с бесконечным числом нулей, и неколеблющимся в противном случае.

Теорема гласит уравнение является неколеблющимся, если

$\limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)<{\tfrac {1}{4}}$

и колеблющийся, если

$\liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)>{\tfrac {1}{4}}.$

Пример

Для иллюстрации теоремы рассмотрим

$q(x)=\left({\frac {1}{4}}-a\right)x^{-2}\quad {\text{for}}\quad x>0$

где $a$ является действительным и ненулевым. Согласно теореме, решения будут колеблющимися или нет в зависимости от того, будет ли $a$ является положительным (неколеблющимся) или отрицательным (колеблющимся), потому что

$\limsup _{x\to +\infty }x^{2}q(x)=\liminf _{x\to +\infty }x^{2}q(x)={\frac {1}{4}}-a$

Чтобы найти решения для этого выбора $q(x)$и проверив теорему для этого примера, подставьте «Анзац»

$y(x)=x^{n}$

что дает

$n(n-1)+{\frac {1}{4}}-a=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}-a=0$

Это означает, что (для ненулевого $a$) общее решение

$y(x)=Ax^{{\frac {1}{2}}+{\sqrt {a}}}+Bx^{{\frac {1}{2}}-{\sqrt {a}}}$

где $A$ и $B$ являются произвольными константами.

Нетрудно заметить, что это положительно $a$ решения не колеблются, а при отрицательных $a=-\omega ^{2}$ личность

$x^{{\frac {1}{2}}\pm i\omega }={\sqrt {x}}\ e^{\pm (i\omega )\ln {x}}={\sqrt {x}}\ (\cos {(\omega \ln x)}\pm i\sin {(\omega \ln x)})$

показывает, что они это делают.

Общий результат следует из этого примера по теореме сравнения Штурма – Пиконе .

Расширения

Есть много расширений этого результата, таких как критерий Гестези-Юнала.

Формулировка теоремы Х. Кнезера

В то время как теорема существования Пеано гарантирует существование решений некоторых задач начальных значений с непрерывной правой частью, теорема Х. Кнезера касается топологии множества этих решений. А именно, теорема Х. Кнезера утверждает следующее:

Позволять $f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ быть непрерывной функцией в области ${\mathcal {R}}:=[t_{0},t_{0}+a]\times \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\Vert x-x_{0}\Vert \leq b\}$, и такой, что $|f(t,x)|\leq M$ для всех $(t,x)\in {\mathcal {R}}$.

Учитывая действительное число $c$ удовлетворяющий $t_{0}<c\leq t_{0}+\min(a,b/M)$, определим набор $S_{c}$ как набор точек $x_{c}$ для которого есть решение $x=x(t)$ из ${\dot {x}}=f(t,x)$ такой, что $x(t_{0})=x_{0}$ и $x(c)=x_{c}$. Затем $S_{c}$ представляет собой замкнутое и связное множество.