Вронскиан

В математике вронскиан , дифференцируемых n функций представляет собой определитель образованный функциями и их производными до порядка n – 1 . Он был введен в 1812 году польским математиком Юзефом Вронским и используется при изучении дифференциальных уравнений , где иногда может показать линейную независимость набора решений.

Определение

Вронскиан двух дифференцируемых функций $f$ и $g$ равен $W(f,g)=fg'-gf'$ .

В более общем смысле, для $n$ действительных или комплексных функций $f 1, \dots, f n$ , которые $n - 1$ раз дифференцируемы на интервале $I$ , вронскиан $W(f_{1},\ldots ,f_{n})$ это функция на $x\in I$ определяется $W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)=\det {\begin{bmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{bmatrix}}.$

Это определитель матрицы , построенной путем размещения функций в первой строке, первых производных функций во второй строке и так далее до $(n-1)^{\text{th}}$ производная, образуя квадратную матрицу .

Когда функции $f i$ являются решениями линейного дифференциального уравнения , вронскиан можно найти явно, используя Абеля , даже если функции $fi тождество$ не известны явно. (См. ниже.)

Вронский и линейная независимость

Если функции $f i$ линейно зависимы, то такими же являются и столбцы вронскиана (поскольку дифференцирование — линейная операция), и вронскиан обращается в нуль. Таким образом, можно показать, что набор дифференцируемых функций линейно независимы на интервале, показав, что их вронскиан не обращается в нуль тождественно. Однако в отдельных точках оно может исчезнуть. ^[1]

Распространенным заблуждением является то, что $W = 0$ везде подразумевает линейную зависимость. Пеано (1889) указывал, что функции $x 2$ и $| х | \cdot x$ имеют непрерывные производные, и их вронскиан исчезает всюду, однако они не являются линейно зависимыми ни в одной окрестности $0$ . ^[а] Есть несколько дополнительных условий, которые в сочетании с исчезновением вронскиана в интервале подразумевают линейную зависимость.

Максим Бошер заметил, что если функции аналитичны , то исчезновение вронскиана на интервале означает, что они линейно зависимы. ^[3]
Бохер (1901) привел несколько других условий исчезновения вронскиана, подразумевающих линейную зависимость; например, если вронскиан $n$ функций тождественно равен нулю и $n$ вронскианов $n - 1$ из них не все обращаются в нуль в любой точке, то функции линейно зависимы.
Уолссон (1989а) дал более общее условие, которое вместе с исчезновением вронскиана подразумевает линейную зависимость.

Над полями положительной характеристики $p$ вронскиан может обращаться в нуль даже для линейно независимых многочленов; например, вронскиан $x п$ и 1 тождественно 0.

Приложение к линейным дифференциальным уравнениям

В общем, для $n$ линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка, если $(n-1)$ решения известны, последнее можно найти с помощью вронскиана.

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в обозначениях Лагранжа : $y''=a(x)y'+b(x)y$ где $a(x)$ , $b(x)$ известны, а y — неизвестная функция, которую нужно найти. Давайте позвоним $y_{1},y_{2}$ два решения уравнения и образуют их вронскиан $W(x)=y_{1}y'_{2}-y_{2}y'_{1}$

Затем дифференцируя $W(x)$ и используя тот факт, что $y_{i}$ подчиняясь приведенному выше дифференциальному уравнению, показывает, что $W'(x)=aW(x)$

Следовательно, вронскиан подчиняется простому дифференциальному уравнению первого порядка и может быть точно решен: $W(x)=C~e^{A(x)}$ где $A'(x)=a(x)$ и $C$ является константой.

Теперь предположим, что мы знаем одно из решений, скажем $y_{2}$ . Тогда по определению вронскиана $y_{1}$ подчиняется дифференциальному уравнению первого порядка: $y'_{1}-{\frac {y'_{2}}{y_{2}}}y_{1}=-W(x)/y_{2}$ и может быть решено точно (по крайней мере теоретически).

Метод легко обобщается на уравнения более высокого порядка.

Обобщенные вронскианы

Для $n$ функций нескольких переменных обобщенный вронскиан — это определитель $матрицы размера n$ на $n$ с элементами $D i (f j)$ (при $0 \leq i < n$ ), где каждый $D i$ представляет собой некоторый линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами порядка $я$ . Если функции линейно зависимы, то все обобщенные вронскианы обращаются в нуль. Как и в случае с одной переменной, обратное, вообще говоря, неверно: если все обобщенные вронскианы обращаются в нуль, это не означает, что функции линейно зависимы. Однако во многих особых случаях верно обратное. Например, если функции являются полиномами и все обобщенные вронскианы равны нулю, то функции линейно зависимы. Рот использовал этот результат об обобщенных вронскианах в своем доказательстве теоремы Рота . Более общие условия, при которых справедливо обратное, см. в Wolsson (1989b) .

История

Вронский был введен Юзефом Хёне-Вронским ( 1812 г. ), а свое нынешнее название ему дал Томас Мьюир ( 1882 г. , глава XVIII).

См. также

Изменение параметров
Матрица Мура , аналогичная вронскиану с заменой дифференцирования эндоморфизмом Фробениуса над конечным полем.
Переменная матрица
Матрица Вандермонда

Примечания

↑ Пеано публиковал свой пример дважды, потому что в первый раз, когда он опубликовал его, редактор Пол Мэнсион , который неправильно написал учебник, утверждая, что исчезновение вронскиана подразумевает линейную зависимость, добавил сноску к статье Пеано, утверждая, что этот результат верен. до тех пор, пока ни одна из функций не равна тождественному нулю. Во второй статье Пеано указывалось, что эта сноска — ерунда. ^[2]

Цитаты

^ Бендер, Карл М .; Орзаг, Стивен А. (1999) [1978], Передовые математические методы для ученых и инженеров: асимптотические методы и теория возмущений , Нью-Йорк: Springer, стр. 9, ISBN 978-0-387-98931-0
^ Энгдал, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). «Пеано о вронскианцах: перевод» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки. дои : 10.4169/loci003642 . Проверено 8 октября 2020 г.
^ Энгдал, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). «Пеано о вронскианцах: перевод» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки. Раздел «Об определителе Вронского» . дои : 10.4169/loci003642 . Проверено 8 октября 2020 г. Самая известная теорема принадлежит Бохеру и гласит, что если вронскиан $n$ аналитические функции равны нулю, то функции линейно зависимы ([B2], [BD]). [Цитаты «B2» и «BD» относятся к Бошеру ( 1900–1901 ) и Бостану и Дюма ( 2010 ) соответственно.]

Ссылки

Боше, Максим (1900–1901). «Теория линейной зависимости» . Анналы математики . 2 (1/4). Принстонский университет : 81–96. дои : 10.2307/2007186 . hdl : 2027/hvd.hn57mn . ISSN 0003-486X . JSTOR 2007186 .
Бошер, Максим (1901), «Некоторые случаи, в которых исчезновение вронскиана является достаточным условием для линейной зависимости» (PDF) , Труды Американского математического общества , 2 (2), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 139 –149, doi : 10.2307/1986214 , ISSN 0002-9947 , JFM 32.0313.02 , JSTOR 1986214
Бостан, Алин; Дюма, Филипп (2010). «Вронскианы и линейная независимость». Американский математический ежемесячник . 117 (8). Тейлор и Фрэнсис : 722–727. arXiv : 1301.6598 . дои : 10.4169/000298910x515785 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 10.4169/000298910x515785 . S2CID 9322383 .
Хартман, Филип (1964), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-89871-510-1 , МР 0171038 , Збл 0125.32102
Хёне-Вронский, Юзеф (1812), Опровержение теории аналитических функций Лагранжа , Париж
Мьюир, Томас (1882), Трактат по теории детерминантов. , Макмиллан, JFM 15.0118.05
Пеано, Джузеппе (1889), «Об определителе Вронского». , Mathesis (на французском языке), IX : 75–76, 110–112, JFM 21.0153.01
Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Вронскиан» , Математическая энциклопедия , EMS Press
Уолссон, Кеннет (1989a), «Условие, эквивалентное линейной зависимости для функций с исчезающим вронскианом», Линейная алгебра и ее приложения , 116 : 1–8, doi : 10.1016/0024-3795(89)90393-5 , ISSN 0024- 3795 , МР 0989712 , Збл 0671.15005
Уолссон, Кеннет (1989b), «Линейная зависимость набора функций из $m$ переменных с исчезающими обобщенными вронскианами», Линейная алгебра и ее приложения , 117 : 73–80, doi : 10.1016/0024-3795(89)90548-X , ISSN 0024-3795 , МР 0993032 , Збл 0724.15004

[3] Пеано публиковал свой пример дважды, потому что в первый раз, когда он опубликовал его, редактор Пол Мэнсион , который неправильно написал учебник, утверждая, что исчезновение вронскиана подразумевает линейную зависимость, добавил сноску к статье Пеано, утверждая, что этот результат верен. до тех пор, пока ни одна из функций не равна тождественному нулю. Во второй статье Пеано указывалось, что эта сноска — ерунда. ^[2]

[BenderAndOrszag-1] Бендер, Карл М .; Орзаг, Стивен А. (1999) [1978], Передовые математические методы для ученых и инженеров: асимптотические методы и теория возмущений , Нью-Йорк: Springer, стр. 9, ISBN 978-0-387-98931-0

[PeanoOnWronskians-2] Энгдал, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). «Пеано о вронскианцах: перевод» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки. дои : 10.4169/loci003642 . Проверено 8 октября 2020 г.

[PeanoOnWronskians-BocherAnalytic-4] Энгдал, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). «Пеано о вронскианцах: перевод» . Конвергенция . Математическая ассоциация Америки. Раздел «Об определителе Вронского» . дои : 10.4169/loci003642 . Проверено 8 октября 2020 г. Самая известная теорема принадлежит Бохеру и гласит, что если вронскиан $n$ аналитические функции равны нулю, то функции линейно зависимы ([B2], [BD]). [Цитаты «B2» и «BD» относятся к Бошеру ( 1900–1901 ) и Бостану и Дюма ( 2010 ) соответственно.]

[1]

[а]

[3]

[2]

v т и Матричные классы
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
Mathematics portal List of matrices Category:Matrices