Алгебра Витта
В математике комплексная алгебра Витта , названная в честь Эрнста Витта , представляет собой алгебру Ли мероморфных векторных полей, определенных на сфере Римана , которые голоморфны, за исключением двух фиксированных точек. Это также комплексификация алгебры Ли полиномиальных векторных полей на окружности и алгебры Ли дифференцирований кольца C [ z , z −1 ].
Существуют некоторые родственные алгебры Ли, определенные над конечными полями, которые также называются алгебрами Витта.
Комплексная алгебра Витта была впервые определена Эли Картаном (1909), а ее аналоги над конечными полями изучались Виттом в 1930-х годах.
Основа
[ редактировать ]Базисом алгебры Витта являются векторные поля , для n в .
Скобка Ли двух базисных векторных полей задается формулой
![{\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(mn)L_{m+n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc889e602613b99d39e0c0bf7b6fc0716e3470c5)
Эта алгебра имеет центральное расширение, называемое алгеброй Вирасоро , которое важно в двумерной конформной теории поля и теории струн .
Обратите внимание, что, ограничивая n до 1,0,-1, мы получаем подалгебру. Если рассматривать поле комплексных чисел, то это просто алгебра Ли. Лоренца группы . Над вещественными числами это алгебра sl (2,R) = su (1,1).И наоборот, su (1,1) достаточно для восстановления исходной алгебры в представлении. [1]
Над конечными полями
[ редактировать ]Над полем k характеристики p > 0 алгеброй Витта называется алгебра Ли дифференцирований кольца
- к [ z ]/ z п
Алгебра Витта натянута на L m при −1≤ m ≤ p −2.
Изображения
[ редактировать ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Д. Фэрли, Дж. Нюйтс и К. Зачос (1988). Phys Lett B202 320–324. дои : 10.1016/0370-2693(88)90478-9
- Эли Картан , Непрерывные, бесконечные, простые группы преобразований. Энн. наук. Нормальная школа. Как дела. 26, 93–161 (1909).
- «Алгебра Витта» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]