Квадратичный дифференциал

В математике квадратичный дифференциал на римановой поверхности — это сечение симметрического квадрата голоморфного кокасательного расслоения . Если сечение голоморфно , то квадратичный дифференциал называется голоморфным. Векторное пространство голоморфных квадратных дифференциалов на римановой поверхности имеет естественную интерпретацию как кокасательное пространство к пространству римановых модулей или пространству Тейхмюллера .

Локальная форма

Каждый квадратичный дифференциал в области $U$ в комплексной плоскости можно записать как $f(z)\,dz\otimes dz$, где $z$ – комплексная переменная, а $f$ представляет собой комплексную функцию на $U$. Такой «локальный» квадратичный дифференциал голоморфен тогда и только тогда, когда $f$ является голоморфным . Учитывая диаграмму $\mu$ для общей римановой поверхности $R$ и квадратичный дифференциал $q$ на $R$, откат $(\mu ^{-1})^{*}(q)$ определяет квадратичный дифференциал в области комплексной плоскости.

Связь с абелевыми дифференциалами

Если $\omega$ является абелевым дифференциалом на римановой поверхности, то $\omega \otimes \omega$ является квадратичным дифференциалом.

Сингулярная евклидова структура

Голоморфный квадратичный дифференциал $q$ определяет риманову метрику $|q|$ о дополнении своих нулей. Если $q$ определяется в области комплексной плоскости, и $q=f(z)\,dz\otimes dz$, то соответствующая риманова метрика равна $|f(z)|(dx^{2}+dy^{2})$, где $z=x+iy$. С $f$ голоморфна, кривизна этой метрики равна нулю. Таким образом, голоморфный квадратичный дифференциал определяет плоскую метрику в дополнении множества $z$ такой, что $f(z)=0$.

Ссылки

• Курт Штребель, Квадратичные дифференциалы . Результаты математики и ее пограничных областей (3), 5. Springer-Verlag, Берлин, 1984. xii + 184 стр. ISBN   3-540-13035-7 .
• Ю. Имаёси и М. Танигучи, М. Введение в пространства Тейхмюллера . Переведено и отредактировано авторами с японской версии. Springer-Verlag, Токио, 1992. xiv + 279 стр. ISBN   4-431-70088-9 .
• Фредерик П. Гардинер, Теория Тейхмюллера и квадратичные дифференциалы . Wiley-Interscience, Нью-Йорк, 1987. xvii + 236 стр. ISBN   0-471-84539-6 .