Симметричная алгебра

Не путать с симметричной алгеброй Фробениуса .

В математике симметричная алгебра S ( V ) (также обозначаемая Sym( V )) в векторном пространстве V над полем K является коммутативной алгеброй над K , которая содержит V и в некотором смысле минимальна для этого свойства. Здесь «минимальный» означает, что S ( V ) удовлетворяет следующему универсальному свойству : для каждого линейного отображения f из V в коммутативную алгебру A существует единственный гомоморфизм алгебры g : ​​S ( V ) → A такой, что f = g ∘ i , где — карта включения V V в S ( ) . i

Если B является базисом V , симметрическая алгебра S ( V ) может быть отождествлена ​​посредством канонического изоморфизма с кольцом многочленов K [ B ] , где элементы B считаются неопределенными. Следовательно, симметрическую алгебру над V можно рассматривать как «свободное от координат» кольцо полиномов над V .

Симметричную алгебру S ( V ) можно построить как фактор тензорной алгебры T ( V ) по двустороннему идеалу , порожденному элементами вида x ⊗ y − y ⊗ x .

Все эти определения и свойства естественным образом распространяются на случай, когда V — модуль (не обязательно свободный) над коммутативным кольцом .

Строительство

Из тензорной алгебры

можно использовать Тензорную алгебру T ( V ) для описания симметричной алгебры S ( V ) . Фактически, S ( V ) можно определить как факторалгебру T порожденному ( V ) по двустороннему идеалу, коммутаторами $v\otimes w-w\otimes v.$

Непосредственно проверяется, что полученная алгебра удовлетворяет универсальному свойству, указанному во введении. Благодаря универсальному свойству тензорной алгебры линейное отображение f из V в коммутативную алгебру A продолжается до гомоморфизма алгебры $T(V)\rightarrow A$, который учитывается через S(V), поскольку A коммутативен. Расширение f к гомоморфизму алгебры $S(V)\rightarrow A$ единственна, поскольку V порождает S(V) как K -алгебру.

Это также является прямым следствием общего результата теории категорий , который утверждает, что композиция двух левых сопряженных функторов также является левым сопряженным функтором. Здесь функтор забывания от коммутативных алгебр к векторным пространствам или модулям (забывание умножения) представляет собой композицию функторов забывания от коммутативных алгебр к ассоциативным алгебрам (забывание коммутативности) и от ассоциативных алгебр к векторам или модулям (забывание умножения). Поскольку тензорная алгебра и фактор по коммутаторам левосопряжены к этим забывчивым функторам, их композиция левосопряжена к забывчивому функтору от коммутативной алгебры к векторам или модулям, и это доказывает желаемое универсальное свойство.

Из полиномиального кольца

Симметрическую алгебру S ( V ) можно построить и из колец многочленов .

Если V — K -векторное пространство или свободный K -модуль с базисом B , пусть K [ B ] — кольцо полиномов, элементы которого B являются неопределенными. Однородные полиномы первой степени образуют векторное пространство или свободный модуль, который можно отождествить с V . Непосредственно проверяется, что это делает K [ B ] решением универсальной задачи, сформулированной во введении. Это означает, что K [ B ] и S ( V ) канонически изоморфны и, следовательно, могут быть отождествлены. Это также непосредственно следует из общих соображений теории категорий , поскольку свободные модули и кольца многочленов являются свободными объектами своих соответствующих категорий.

Если V — несвободный модуль, его можно записать $V=L/M,$ где L свободный модуль, а M — подмодуль L — . В этом случае имеется

$S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\rangle ,$

где $\langle M\rangle$ — идеал, М. порожденный (Здесь знаки равенства означают равенство с точностью до канонического изоморфизма.) Опять же, это можно доказать, показав, что существует решение универсального свойства, и это можно сделать либо с помощью простых, но скучных вычислений, либо с помощью теории категорий. и, более конкретно, тот факт, что фактор является решением универсальной проблемы для морфизмов, которые отображают в ноль данное подмножество. (В зависимости от случая ядром является нормальная подгруппа , подмодуль или идеал, а обычное определение частных можно рассматривать как доказательство существования решения универсальной задачи.)

Оценка

Симметричная алгебра является градуированной алгеброй . То есть это прямая сумма

$S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),$

где $S^{n}(V),$ называемая n-й степенью V , представляет собой векторное подпространство или подмодуль , порожденный произведениями n элементов V. симметричной (Вторая симметричная степень $S^{2}(V)$ иногда называют симметричным квадратом V ) .

Это можно доказать разными способами. Одно следует из конструкции тензорной алгебры: поскольку тензорная алгебра градуирована, а симметрическая алгебра является ее фактор-фактором по однородному идеалу : идеалу, порожденному всеми $x\otimes y-y\otimes x,$ где x и y находятся в V , то есть однородны первой степени.

В случае векторного пространства или свободного модуля градация — это градация полиномов по полной степени . Несвободный модуль можно записать как L / M , где L — свободный модуль базы B ; ее симметрическая алгебра является фактором (градуированной) симметрической алгебры L (кольца полиномов) по однородному идеалу, порожденному элементами M , однородными первой степени.

Можно также определить $S^{n}(V)$ как решение универсальной задачи для n -линейных симметрических функций из V в векторное пространство или модуль, а затем убедитесь, что прямая сумма всех $S^{n}(V)$ удовлетворяет универсальной задаче для симметрической алгебры.

Связь с симметричными тензорами

Поскольку симметрическая алгебра векторного пространства является фактором тензорной алгебры, элемент симметрической алгебры не является тензором и, в частности, не является симметричным тензором . Однако симметричные тензоры тесно связаны с симметрической алгеброй.

Симметричный тензор степени n является элементом T ^н ( V ), инвариантный относительно действия симметрической группы ${\mathcal {S}}_{n}.$ Точнее, учитывая $\sigma \in {\mathcal {S}}_{n},$ трансформация $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}$ линейный эндоморфизм T определяет ^н ( В ) . Симметричный тензор — это тензор, инвариантный относительно всех этих эндоморфизмов. Симметричные тензоры степени n образуют векторное подпространство (или модуль) Sym ^н ( V ) ⊂ T ^н ( В ) . Симметричные тензоры являются элементами прямой суммы $\textstyle \bigoplus _{n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$ которое представляет собой градуированное векторное пространство (или градуированный модуль ). Это не алгебра, поскольку тензорное произведение двух симметричных тензоров вообще не симметрично.

Позволять $\pi _{n}$ быть ограничением для Sym ^н ( V ) канонической сюръекции $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ Если н ! обратима в основном поле (или кольце), то $\pi _{n}$ является изоморфизмом . Это всегда имеет место с основным полем нулевой характеристики . Обратный n изоморфизм - это линейное отображение, определяемое (на произведениях векторов ) симметризацией

$v_{1}\cdots v_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}.$

Карта $\pi _{n}$ не является инъективным, если характеристика меньше n +1; например $\pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy$ равен нулю во второй характеристике. Над кольцом нулевой характеристики $\pi _{n}$ может быть несюръективным; например, над целыми числами, если x и y — два линейно независимых элемента V = S ¹ ( V ), которые не находятся в 2 В , то $xy\not \in \pi _{n}(\operatorname {Sym} ^{2}(V)),$ с ${\frac {1}{2}}(x\otimes y+y\otimes x)\not \in \operatorname {Sym} ^{2}(V).$

Таким образом, над полем нулевой характеристики симметричные тензоры и симметрическая алгебра образуют два изоморфных градуированных векторных пространства. Таким образом, их можно идентифицировать, поскольку речь идет только о структуре векторного пространства, но их нельзя идентифицировать, если речь идет о продуктах. Более того, этот изоморфизм не распространяется на случаи полей положительной характеристики и колец, не содержащих рациональных чисел .

Категориальные свойства

Учитывая модуль V над коммутативным кольцом K , симметрическая алгебра S ( V ) может быть определена следующим универсальным свойством :

Для каждого K - линейного отображения f из V в коммутативную K -алгебру A существует единственный гомоморфизм K - алгебры . $g:S(V)\to A$ такой, что $f=g\circ i,$ где я — включение V в S ( V ) .

Что касается каждого универсального свойства, то, как только решение существует, оно однозначно определяет симметрическую алгебру с точностью до канонического изоморфизма . Отсюда следует, что все свойства симметрической алгебры можно вывести из универсального свойства. Этот раздел посвящен основным свойствам, принадлежащим теории категорий .

Симметричная алгебра является функтором из категории K -коммутативной алгебры, поскольку из -модулей в категорию K универсального свойства следует, что каждый гомоморфизм модулей $f:V\to W$ однозначно продолжается до гомоморфизма алгебр $S(f):S(V)\to S(W).$

Универсальное свойство можно переформулировать, сказав, что симметрическая алгебра является левым сопряженным функтору забывания , который отправляет коммутативную алгебру в ее базовый модуль.

Симметричная алгебра аффинного пространства

Аналогично можно построить симметрическую алгебру на аффинном пространстве . Ключевое отличие состоит в том, что симметрическая алгебра аффинного пространства является не градуированной, а фильтрованной алгеброй : можно определить степень полинома в аффинном пространстве, но не его однородных частей.

Например, для линейного многочлена в векторном пространстве можно определить его постоянную часть, оценивая его как 0. В аффинном пространстве нет выделенной точки, поэтому этого сделать нельзя (выбор точки превращает аффинное пространство в вектор космос).

Аналогия с внешней алгеброй

С ​ ^к сравнимы ли функторы с внешними степенями ; здесь, однако, размерность растет с ростом k ; это дано

$\operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}$

где n размерность V. — Этот биномиальный коэффициент представляет собой количество мономов n -переменной степени k .Фактически симметрическая алгебра и внешняя алгебра выступают как изотипические компоненты тривиального и знакового представления действия $S_{n}$ действуя на тензорное произведение $V^{\otimes n}$ (например, над сложным полем)

Как алгебра Хопфа

Симметричной алгебре можно придать структуру алгебры Хопфа . см. в Тензорной алгебре Подробности .

Как универсальная обертывающая алгебра

Симметричная алгебра S ( V ) — универсальная обертывающая алгебра абелевой алгебры Ли , т. е. та, в которой скобка Ли тождественно равна 0.

См. также

• внешняя алгебра , знакопеременной алгебры аналог
• градуированная симметричная алгебра , общее обобщение симметричной алгебры и внешней алгебры
• Алгебра Вейля , квантовая деформация симметрической алгебры симплектической формой.
• Алгебра Клиффорда , квантовая деформация внешней алгебры квадратичной формой

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9