Алгебра Фробениуса

В математике , особенно в области теории представлений и теории модулей , алгебра Фробениуса представляет собой конечномерную с единицей ассоциативную алгебру особого вида билинейной формы , которая придает алгебрам особенно хорошие теории двойственности. Алгебры Фробениуса начали изучать в 1930-х годах Ричард Брауэр и Сесил Несбитт и были названы в честь Георга Фробениуса . Тадаси Накаяма открыл зачатки богатой теории дуальности ( Накаяма 1939 ), ( Накаяма 1941 ). Жан Дьедонне использовал это для характеристики алгебр Фробениуса ( Дьёдонне, 1958 ). Алгебры Фробениуса были обобщены на квазифробениусовые кольца — те нетеровы кольца, регулярное представление которых инъективно правое . В последнее время интерес к алгебрам Фробениуса возобновился в связи с топологической квантовой теорией поля .

Определение

Конечномерная унитальная ассоциативная алгебра A, определенная над полем k, называется алгеброй Фробениуса, если A снабжена невырожденной билинейной формой σ : A × A → k , которая удовлетворяет следующему уравнению: σ ( a · b , в ) знак равно σ ( а , б · c ) . Эта билинейная форма называется формой Фробениуса алгебры.

можно снабдить A λ линейным функционалом : A → k таким , что ядро λ A не содержит ненулевого идеала левого Эквивалентно , .

Алгебра Фробениуса называется симметричной если σ симметрична , или, что то же самое, λ удовлетворяет условию λ ( a · b ) = λ ( b · a ) .

Существует также другое, по большей части несвязанное понятие симметричной алгебры векторного пространства .

Автоморфизм Накаямы

Для алгебры Фробениуса A с σ как указано выше, автоморфизм ν A , такой, что σ ( a , b ) = σ ( ν ( b ), a ), является автоморфизмом Накаямы, ассоциированным с A и σ .

Примеры

Любая матричная алгебра, определенная над полем k, является алгеброй Фробениуса с формой Фробениуса σ ( a , b )=tr( a · b ), где tr обозначает след .
Любая конечномерная ассоциативная алгебра с единицей A имеет естественный гомоморфизм своему собственному кольцу эндоморфизмов End( A ). Билинейная форма может быть определена на A в смысле предыдущего примера. Если эта билинейная форма невырождена, то она наделяет A структурой алгебры Фробениуса.
Каждое групповое кольцо k [ G ] конечной группы G над полем k является симметричной алгеброй Фробениуса с формой Фробениуса σ ( a , b ), заданной коэффициентом при единичном элементе в a · b .
Для поля k четырехмерная k -алгебра k [ x , y ]/ ( x ², и ²) является алгеброй Фробениуса. Это следует из приведенной ниже характеристики коммутативных локальных колец Фробениуса, поскольку это кольцо является локальным кольцом с максимальным идеалом, порожденным x и y , и единственным минимальным идеалом, порожденным xy .
Для поля k трехмерная k -алгебра A = k [ x , y ]/ ( x , y ) ² является не алгеброй Фробениуса. Гомоморфизм A из xA в A, индуцированный x ↦ y, не может быть расширен до гомоморфизма A из A в A , показывая, что кольцо не самоинъективно, а значит, и не Фробениуса.
Любая конечномерная алгебра Хопфа по теореме Ларсона-Свидлера 1969 года о модулях и интегралах Хопфа.

Характеристики

Прямое произведение и тензорное произведение алгебр Фробениуса являются алгебрами Фробениуса.
Конечномерная коммутативная локальная алгебра над полем является фробениусовой тогда и только тогда, когда правый регулярный модуль инъективен, тогда и только тогда, когда алгебра имеет единственный минимальный идеал .
Коммутативные локальные алгебры Фробениуса — это в точности нульмерные локальные кольца Горенштейна, содержащие свое поле вычетов и конечномерные над ним.
Алгебры Фробениуса являются квазифробениусовыми кольцами , в частности, они артиновы слева и справа слева и справа и самоинъективны .
Для поля k конечномерная унитарная ассоциативная алгебра является фробениусовой тогда и только тогда, когда правый A -модуль Hom _k ( A , k ) изоморфен правому регулярному представлению A инъективный .
Для бесконечного поля k конечномерная единичная ассоциативная k -алгебра является алгеброй Фробениуса, если она имеет лишь конечное число минимальных правых идеалов .
Если F — конечномерное поле расширения поля k , то конечномерная F -алгебра естественным образом является конечномерной k -алгеброй посредством ограничения скаляров и является F -алгеброй Фробениуса тогда и только тогда, когда она является k -алгеброй Фробениуса. -алгебра. Другими словами, свойство Фробениуса не зависит от поля, пока алгебра остается конечномерной.
Аналогично, если F — конечномерное поле расширения поля k , то каждая k -алгебра A естественным образом порождает F -алгебру, F ⊗ _k A , и A -алгеброй Фробениуса является k тогда и только тогда, F ⊗ _k A когда -алгебра Фробениуса F .
Среди тех конечномерных, унитальных, ассоциативных алгебр, правое регулярное представление которых инъективно, алгебры Фробениуса A — это именно те, чьи простые модули M имеют ту же размерность, что и их A -двойственные алгебры, Hom _A ( M , A ). Среди этих алгебр A -двойственные к простым модулям всегда простые.
Конечномерная бифробениусовая алгебра или строгая двойная алгебра Фробениуса — это k -векторное пространство A с двумя структурами умножения в качестве унитальных алгебр Фробениуса ( A , • , 1) и ( A , $\star$ , $\iota$ ): должны существовать мультипликативные гомоморфизмы $\phi$ и $\varepsilon$ из A в k с $\phi (a\cdot b)$ и $\varepsilon (a\star b)$ невырожденный, и k -изоморфизм S группы A на себя, который является антиавтоморфизмом для обеих структур, такой, что $\phi (a\cdot b)=\varepsilon (S(a)\star b).$ Это именно тот случай, когда A — конечномерная алгебра Хопфа над k и S — ее антипод. Групповая алгебра конечной группы дает пример. ^[1]^[2]^[3]^[4]

Теоретико-категориальное определение

В теории категорий понятие объекта Фробениуса представляет собой абстрактное определение алгебры Фробениуса в категории. Объект Фробениуса $(A,\mu ,\eta ,\delta ,\varepsilon )$ в моноидальной категории $(C,\otimes ,I)$ состоит из объекта A из C вместе с четырьмя морфизмами

\mu :A\otimes A\to A,\qquad \eta :I\to A,\qquad \delta :A\to A\otimes A\qquad \mathrm {and} \qquad \varepsilon :A\to I

такой, что

$(A,\mu ,\eta )\,$ является моноидным объектом в C ,
$(A,\delta ,\varepsilon )$ является комоноидным объектом в C ,
диаграммы

и

коммутируют (для простоты здесь приведены диаграммы в случае, когда моноидальная категория C строгая) и известны как условия Фробениуса . ^[5]

Более компактно, алгебра Фробениуса в C — это так называемый моноидальный функтор Фробениуса A: 1 → C , где 1 — категория, состоящая из одного объекта и одной стрелки.

Алгебра Фробениуса называется изометрической или специальной , если $\mu \circ \delta =\mathrm {Id} _{A}$ .

Приложения

Алгебры Фробениуса первоначально изучались как часть исследования теории представлений конечных групп и внесли вклад в изучение теории чисел , алгебраической геометрии и комбинаторики . Они использовались для изучения алгебр Хопфа , теории кодирования и колец компактных . ориентированных многообразий когомологий

Топологические квантовые теории поля

Недавно было замечено, что они играют важную роль в алгебраической трактовке и аксиоматическом обосновании топологической квантовой теории поля . Коммутативная алгебра Фробениуса однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет (1+1)-мерную ТКПФ. Точнее, категория коммутативного Фробениуса $K$ -алгебры эквивалентна категории симметричных сильных моноидальных функторов из $2$ - ${\textbf {Cob}}$ (категория двумерных кобордизмов между одномерными многообразиями) к ${\textbf {Vect}}_{K}$ (категория векторных пространств над $K$ ).

Соответствие между TQFT и алгебрами Фробениуса задается следующим образом:

Одномерные многообразия представляют собой непересекающиеся объединения окружностей: TQFT связывает векторное пространство с окружностью, а тензорное произведение векторных пространств — с несвязным объединением окружностей,
TQFT сопоставляет (функториально) каждому кобордизму между многообразиями отображение между векторными пространствами,
карта, связанная с парой брюк (кобордизм между 1 кругом и 2 кругами), дает карту продукта $V\otimes V\to V$ или карта копродукции $V\to V\otimes V$ , в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты – коммутативно или кокоммутативно, и
карта, связанная с диском, дает единицу (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки границы.

Это соотношение между алгебрами Фробениуса и (1+1)-мерными TQFT можно использовать для объяснения категоризации Ховановым Джонса полинома . ^[6]^[7]

Обобщения

Расширения Фробениуса

Пусть B имеющее единицу ассоциативного кольца с единицей A. — подкольцо , Это также известно как расширение кольца A | Б. Такое кольцевое расширение называется Фробениусом, если

Существует линейное отображение E : A → B, условию бимодуля E ( bac ) = bE ( a ) c для всех b,c ∈ B и a ∈ A. удовлетворяющее
имеются элементы, В A обозначаемые $\{x_{i}\}_{i=1}^{n}$ и $\{y_{i}\}_{i=1}^{n}$ такая, что для всех a ∈ A имеем:

\sum _{i=1}^{n}E(ax_{i})y_{i}=a=\sum _{i=1}^{n}x_{i}E(y_{i}a)

Отображение E иногда называют гомоморфизмом Фробениуса, а элементы $x_{i},y_{i}$ как двойные основания. (В качестве упражнения можно дать эквивалентное определение расширения Фробениуса как объекта алгебры-коалгебры Фробениуса в категории В — В -бимодулей, где только что приведенные уравнения становятся коединичными уравнениями для коединицы Е. )

Например, алгебра Фробениуса A над коммутативным кольцом K с ассоциативной невырожденной билинейной формой (-,-) и проективными K-базисами. $x_{i},y_{i}$ является расширением Фробениуса A | K с E(a) = ( a ,1). Другими примерами расширений Фробениуса являются пары групповых алгебр, ассоциированные с подгруппой конечного индекса, подалгебры Хопфа полупростой алгебры Хопфа, расширения Галуа и некоторые подфакторы алгебры фон Неймана конечного индекса. Другим источником примеров расширений Фробениуса (и скрученных версий) являются некоторые пары подалгебр алгебр Фробениуса, где подалгебра стабилизируется симметризующим автоморфизмом надалгебры.

Детали примера группового кольца заключаются в следующем применении элементарных понятий теории групп . Пусть G — группа, а H — подгруппа конечного индекса n в G ; пусть g ₁ , ..., g _n . будут представителями левого смежного класса, так что G представляет собой несвязное объединение смежных классов g ₁ H , ..., g _n H . Над любым коммутативным базисным кольцом k определите групповые алгебры A = k [ G ] и B = k [ H ], поэтому является подалгеброй A. B Определите гомоморфизм Фробениуса E : A → B , полагая E ( h ) = h для всех h в H и E ( g ) = 0 для g не в H : распространите это линейно от элементов базисной группы на все A , поэтому получается проекция B - B -бимодуля

E\left(\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{h\in H}n_{h}h\ \ \ {\text{ for }}n_{g}\in k

(Условие ортонормированности $E(g_{i}^{-1}g_{j})=\delta _{ij}1$ следует.) Двойная база определяется выражением $x_{i}=g_{i},y_{i}=g_{i}^{-1}$ , с

\sum _{i=1}^{n}g_{i}E\left(g_{i}^{-1}\sum _{g\in G}n_{g}g\right)=\sum _{i}\sum _{h\in H}n_{g_{i}h}g_{i}h=\sum _{g\in G}n_{g}g

Другое двойственное основное уравнение может быть получено из наблюдения, что G также является несвязным объединением правых смежных классов. $Hg_{1}^{-1},\ldots ,Hg_{n}^{-1}$ .

Также расширения Хопфа-Галуа являются расширениями Фробениуса согласно теореме Креймера и Такеучи 1989 года. Простым примером этого является конечная группа G, действующая автоморфизмами на алгебре A с подалгеброй инвариантов:

B=\{x\in A\mid \forall g\in G,g(x)=x\}.

По критерию ДеМейера A является G -Галуа над B, если существуют элементы $\{a_{i}\}_{i=1}^{n},\{b_{i}\}_{i=1}^{n}$ в удовлетворении :

\forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}a_{i}g(b_{i})=\delta _{g,1_{G}}1_{A}

откуда также

\forall g\in G:\ \ \sum _{i=1}^{n}g(a_{i})b_{i}=\delta _{g,1_{G}}1_{A}.

Тогда A является расширением Фробениуса B, причем E : A → B определяется формулой

E(a)=\sum _{g\in G}g(a)

который удовлетворяет

\forall x\in A:\ \ \sum _{i=1}^{n}E(xa_{i})b_{i}=x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E(b_{i}x).

(Более того, пример расширения сепарабельной алгебры , поскольку ${\textstyle e=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}b_{i}}$ является элементом отделимости, удовлетворяющим условию ea = ae для всех a в A, а также ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=1}$ . Также пример подкольца глубины два ( B в A ), поскольку

a\otimes _{B}1=\sum _{g\in G}t_{g}g(a)

где

t_{g}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\otimes _{B}g(b_{i})

для каждого g в G и a в A. )

Расширения Фробениуса имеют хорошо развитую теорию индуцированных представлений, исследованную в работах Каша и Парейгиса, Накаямы и Цузуку в 1950-х и 1960-х годах. Например, для каждого B -модуля M индуцированный модуль A ⊗ _B M (если M — левый модуль) и коиндуцированный модуль Hom _B ( A, M ) естественно изоморфны как A -модули (в качестве упражнения определяется изоморфизм с учетом E и двойственных базисов). Теорема Каша о кольцах эндоморфизмов 1960 года утверждает, что если A | B является расширением Фробениуса, тогда расширение A → End( AB ₎ где отображение задается формулами a ↦ λ _a ( x ) и λ _a ( x ) = ax для каждого a,x ∈ A. , Теоремы о кольцах эндоморфизмов и их обратные свойства позже исследовались Мюллером, Моритой, Онодерой и другими.

Присоединения Фробениуса

Как уже упоминалось в предыдущем абзаце, расширения Фробениуса имеют эквивалентную категориальную формулировку.А именно, учитывая расширение кольца $S\subset R$ , функтор индуцированной индукции $R\otimes _{S}-\colon {\text{Mod}}(S)\to {\text{Mod}}(R)$ из категории, скажем, левых S -модулей в категорию левых R -модулей имеет как левое, так и правое сопряженное, называемое коограничением и ограничением соответственно. Кольцевое расширение тогда называется Фробениусом тогда и только тогда, когда левый и правый сопряженные естественно изоморфны.

Это приводит к очевидной абстракции к обычной теории категорий:Присоединение $F\dashv G$ называется присоединением Фробениуса тогда и только тогда, когда $G\dashv F$ .Функтор F является функтором Фробениуса , если он является частью присоединения Фробениуса, т. е. если он имеет изоморфные левый и правый сопряженные.

См. также

Ссылки

^ Хаим, Мариана (2007). «Групповые алгебры и матрицы Адамара». Дж. Алгебра . 308 (1): 215–235. arXiv : математика/0602224 . CiteSeerX 10.1.1.241.966 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.005 . МР 2290919 . S2CID 17741240 .
^ Коппинен, М. (1996). «Об алгебрах с двумя умножениями, включая алгебры Хопфа и алгебры Бозе-Меснера» (PDF) . Дж. Алгебра . 182 (1): 256–273. дои : 10.1006/jabr.1996.0170 . МР 1388866 .
^ Ван, Чжихуа; Ли, Либин (2018). «Двойные алгебры Фробениуса». Передний. Математика. Китай . 13 (2): 399–415. дои : 10.1007/s11464-018-0682-3 . МР 3778372 . S2CID 125866864 .
^ Дои, Юкио; Такеучи, Мицухиро (2000). «Алгебры Би-Фробениуса» Новые тенденции в теории алгебры Хопфа (La Falda, 1999) . Созерцание Математика. Том. 267. Американское математическое общество . стр. 100-1 67–97. ISBN 0-8218-2126-1 . МР 1800707 .
^ Павлович, Душко (2013), «Моноидальный компьютер I: базовая вычислимость с помощью струнных диаграмм», Information and Computation , 226 : 94–116, arXiv : 1208.5205 , doi : 10.1016/j.ic.2013.03.007 , S2CID 17127693
^ Бар-Натан, Дрор (2005), «Гомологии Хованова для клубков и кобордизмов», Геом. Тополь. , 9 (3): 1443–1499, arXiv : math/0410495 , Bibcode : 2004math.....10495B , doi : 10.2140/gt.2005.9.1443 , S2CID 1247623
^ Пол Тернер (2006), Пять лекций по гомологии Хованова , arXiv : math/0606464 , Bibcode : 2006math......6464T

Брауэр, Р .; Несбитт, К. (1937), «О регулярных представлениях алгебр», Proc. Натл. акад. наук. США , 23 (4): 236–240, Bibcode : 1937PNAS...23..236B , doi : 10.1073/pnas.23.4.236 , PMC 1076908 , PMID 16588158
ДеМейер Ф., Ингрэм Э. (1971), Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами , Лекция. Заметки по математике, вып. 181, Спрингер {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Дьедонне, Жан (1958), «Замечания о квазифробениусовых кольцах», Illinois Journal of Mathematics , 2 (3): 346–354, doi : 10.1215/ijm/1255454538 , ISSN 0019-2082 , MR 0097427
Фробениус, Фердинанд Георг (1903), «Теория гиперкомплексных величин I», труды Прусской академии наук (на немецком языке): 504–537, JFM 34.0238.02
Кок, Иоахим (2003), Алгебра Фробениуса и двумерные топологические квантовые теории поля , тексты студентов Лондонского математического общества, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83267-0
Лам, Тай (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Спрингер, ISBN 978-0-387-98428-5
Лурье, Джейкоб (2009), О классификации топологических теорий поля (PDF) , arXiv : 0905.0465
Накаяма, Тадаси (1939), «Об алгебрах Фробениусова. I», Анналы математики , вторая серия, 40 (3), Анналы математики: 611–633, Бибкод : 1939AnMat..40..611N , doi : 10.2307/1968946 , JSTOR 1968946 , MR 0000016
Накаяма, Тадаси (1941), «Об алгебрах Фробениуса. II», Анналы математики , вторая серия, 42 (1), Анналы математики: 1–21, doi : 10.2307/1968984 , hdl : 10338.dmlcz/140501 , JSTOR 1968984 , МР 0004237
Несбитт, К. (1938), «О регулярных представлениях алгебр», Annals of Mathematics , Second Series, 39 (3): 634–658, doi : 10.2307/1968639 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968639 , MR 1503429 , ПМК 1076908 , ПМИД 16588158
Онодера, Т. (1964), «Некоторые исследования проективных расширений Фробениуса», Hokkaido Mathematical Journal , 18 (1–2): 89–107, doi : 10.14492/hokmj/1530691549

Внешние ссылки

Стрит, Росс (2004). «Алгебры Фробениуса и моноидальные категории» (PDF) . Ежегодное собрание, август. Математика. Соц . CiteSeerX 10.1.1.180.7082 .

[1] Хаим, Мариана (2007). «Групповые алгебры и матрицы Адамара». Дж. Алгебра . 308 (1): 215–235. arXiv : математика/0602224 . CiteSeerX 10.1.1.241.966 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.005 . МР 2290919 . S2CID 17741240 .

[2] Коппинен, М. (1996). «Об алгебрах с двумя умножениями, включая алгебры Хопфа и алгебры Бозе-Меснера» (PDF) . Дж. Алгебра . 182 (1): 256–273. дои : 10.1006/jabr.1996.0170 . МР 1388866 .

[3] Ван, Чжихуа; Ли, Либин (2018). «Двойные алгебры Фробениуса». Передний. Математика. Китай . 13 (2): 399–415. дои : 10.1007/s11464-018-0682-3 . МР 3778372 . S2CID 125866864 .

[4] Дои, Юкио; Такеучи, Мицухиро (2000). «Алгебры Би-Фробениуса» Новые тенденции в теории алгебры Хопфа (La Falda, 1999) . Созерцание Математика. Том. 267. Американское математическое общество . стр. 100-1 67–97. ISBN 0-8218-2126-1 . МР 1800707 .

[5] Павлович, Душко (2013), «Моноидальный компьютер I: базовая вычислимость с помощью струнных диаграмм», Information and Computation , 226 : 94–116, arXiv : 1208.5205 , doi : 10.1016/j.ic.2013.03.007 , S2CID 17127693

[6] Бар-Натан, Дрор (2005), «Гомологии Хованова для клубков и кобордизмов», Геом. Тополь. , 9 (3): 1443–1499, arXiv : math/0410495 , Bibcode : 2004math.....10495B , doi : 10.2140/gt.2005.9.1443 , S2CID 1247623

[7] Пол Тернер (2006), Пять лекций по гомологии Хованова , arXiv : math/0606464 , Bibcode : 2006math......6464T

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]