Глубина некоммутативных подколец

В теории колец и расширениях алгебры Фробениуса , областях математики , существует понятие подкольца глубины два или глубины расширения Фробениуса . Понятие глубины два важно в некоторой некоммутативной теории Галуа , которая порождает алгеброиды Хопфа вместо более классических групп Галуа , тогда как понятие глубины больше двух измеряет дефект или расстояние от глубины два в башне из итерированные кольца эндоморфизмов над подкольцом . Более позднее определение глубины любого подкольца с единицей в любом ассоциативном кольце предложено (см. ниже) в статье, изучающей глубину подгруппы конечной как группы групповых алгебр над коммутативным кольцом .

Определение и первые примеры

Единичное подкольцо $B\subseteq A$ имеет (или есть) правую глубину два , если существует расщепляемый эпиморфизм натуральных A - B -бимодулей из $A^{n}\rightarrow A\otimes _{B}A$ для некоторого положительного целого числа n ; переходя к натуральным B - A -бимодулям, получаем соответствующее определение левой глубины два . Здесь мы используем обычные обозначения $A^{n}=A\times \ldots \times A$ ( n раз), а также общее понятие, p является расщепляемым эпиморфизмом, если существует гомоморфизм q в обратном направлении такой, что pq = тождество на образе p . (Иногда подкольцо B в A называется расширением кольца A над B ; теория работает также для гомоморфизма колец B в A , который индуцирует структуры правых и левых B -модулей на A .) Эквивалентно, условие для левого или правая глубина два может быть задана в терминах расщепляемого мономорфизма бимодулей, в котором указанные выше области и кодомены поменяны местами.

Например, пусть A — групповая алгебра конечной группы G (над любым коммутативным базисным кольцом k см. в статьях по теории групп и групповому кольцу ; элементарные определения ). Пусть B — групповая (под)алгебра подгруппы H индекса n в нормальной G с представителями смежных классов $g_{1},\cdots ,g_{n}$. Определим расщепляемый эпиморфизм A - B p: $A^{n}\rightarrow A\otimes _{B}A$ к $p((a_{1},\cdots ,a_{n}))=\sum _{i=1}^{n}a_{i}g_{i}^{-1}\otimes _{B}g_{i}$. Он разбивается отображением $q:A\otimes _{B}A\rightarrow A^{n}$ определяется $q(a\otimes _{B}a')=(a\gamma _{1}(a'),\cdots ,a\gamma _{n}(a'))$ где $\gamma _{i}(g)=\delta _{ij}g$ для g в классе $g_{j}H$ (и расширяется линейно до отображения A в B , гомоморфизма B - B -модулей, поскольку H нормален в G ): условие расщепления pq = тождество на $A\otimes _{B}A$ удовлетворен. Таким образом, — это правая глубина два в A. B

В качестве другого примера (возможно, более элементарного, чем первый; некоторые элементарные понятия см. колец или теории модулей теории ), пусть A — алгебра над коммутативным кольцом B , где B считается находящимся в центре A. в Предположим, что A — конечный проективный B -модуль, поэтому существуют B -линейные отображения $f_{i}:A\rightarrow B$ и элементы $x_{i}\in A$ ( i = 1,..., n ) называется проективной базой для B -модуля A, если он удовлетворяет условию $\sum _{i=1}^{n}x_{i}f_{i}(a)=a$ для a в A. всех Отсюда следует, что B — это левая глубина два в A, определив $p(a_{1},\cdots ,a_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes _{B}a_{i}$ с разбивкой карты $q(a\otimes _{B}a')=(f_{1}(a)a',\cdots ,f_{n}(a)a')$ как может убедиться читатель. Аналогичный аргумент естественным образом показывает, что — правая глубина два в A. B

Глубина по отношению к алгебрам Хопфа

Для алгебры Фробениуса расширения A | B (таких как групповые алгебры A и B пары подгрупп конечного индекса) два односторонних условия глубины два эквивалентны, а понятие глубины n > 2 имеет смысл через расширение кольца правого эндоморфизма, повторяемое для создания башни колец (техническая процедура выходит за рамки данного обзора, хотя первый шаг, теорема о кольце эндоморфизмов, описан в разделе о расширении Фробениуса по алгебре Фробениуса ). Например, если B — подалгебра Хопфа конечномерной алгебры Хопфа , то B имеет глубину два в A тогда и только тогда, когда B нормальна в A (т. е. инвариантна относительно левых и правых присоединенных к A действий ). Поскольку групповая алгебра является алгеброй Хопфа, первый пример выше иллюстрирует обратное следствие теоремы. Другие примеры основаны на том факте, что конечные расширения Хопфа-Галуа имеют глубину два в сильном смысле (расщепляемый эпиморфизм в определении может быть заменен изоморфизмом бимодуля).

Пусть R — подалгебра Хопфа конечномерной алгебры Хопфа H . Обозначим через R ° максимальный идеал элементов из R, имеющих единичное значение 0. Тогда R ° H — правый идеал и коидеал в H , а фактор-модуль Q = H / R ° H — коалгебра правого H -модуля. Например, если H — групповая алгебра, то R — подгрупповая алгебра H , и в качестве упражнения можно показать, что Q изоморфна модулю перестановок в правых смежных классах. Статья 2013 года, ссылка на которую приведена ниже, доказывает, что глубина R в H определяется с точностью до ближайшего четного значения глубиной Q как R -модуля (путем ограничения). Глубина Q как R -модуля определяется в этой статье как наименьшее целое положительное число n такое, что Q ⊗⋅⋅⋅⊗ Q ( n раз Q , тензорное произведение R -модулей, диагональное действие R справа) имеет те же составляющие неразложимые модули , что и Q ⊗⋅⋅⋅⊗ Q ( n +1 раз Q ) (не считая кратностей, совершенно аналогичное определение глубины Q как H -модуля с тесно связанными результатами). Как следствие, глубина R в H конечна тогда и только тогда, когда его «обобщенный фактор-модуль» Q представляет алгебраический элемент в кольце представлений (или кольце Грина) R . Это имеет место, например, если Q — проективный модуль , генераторный H -модуль или если Q — модуль перестановки над групповой алгеброй R (т. е. Q имеет базис, который представляет собой G -множество ).В случае, если H — алгебра Хопфа, которая является полупростой алгеброй , глубина Q — это длина нисходящей цепочки идеалов-аннуляторов в H возрастающих тензорных степеней Q , которые стабилизируются на максимальном идеале Хопфа внутри идеала -аннулятора Ann Q = { h в H такой, что Qh = 0 } (с использованием теоремы Риффеля 1967 года).

Глубина по отношению к конечномерным полупростым алгебрам и подгруппам конечных групп

Если M — матрица включения (или матрица инцидентности диаграммы Браттели ) конечномерных полупростых (комплексных) алгебр B и A , то условие глубины два на подалгебре B в A задается неравенством $MM^{t}M\leq nM$ для некоторого положительного целого числа n (и каждой соответствующей записи). Обозначая левую часть этого неравенства степенью $M^{3}$ и аналогично для всех степеней матрицы включения M условие глубины $m\geq 1$ на паре подалгебр полупростых алгебр: $M^{m+1}\leq nM^{m-1}$. (Обратите внимание, что если M удовлетворяет условию глубины m , то оно удовлетворяет условию глубины m +1.) Например, подгруппа глубины один H конечной группы G , рассматриваемая как групповые алгебры CH в CG над комплексными числами C , удовлетворяет условию состояние центратора $G=HC_{G}(X)$ для каждой циклической подгруппы X в H (отсюда и нормально); например H подгруппа в центре G или G = H x K . В качестве другого примера рассмотрим групповые алгебры $B=CS_{2}$ и $A=CS_{3}$группы перестановок порядка 2 и порядка 6 по трем буквам a , b , c, где подгруппа фиксирует c . Матрица включения может быть вычислена как минимум тремя способами с помощью идемпотентов, с помощью таблиц символов или с помощью коэффициентов правила Литтлвуда-Ричардсона и комбинаторики асимметричных таблиц, чтобы она представляла собой (с точностью до перестановки) матрицу 2 на 3 с верхней строкой 1,1,0 и нижняя строка 0,1,1, которая после применения определения имеет глубину три.

В статье 2011 года в Журнале алгебры Р. Больтье, С. Данц и Б. Кюлшаммер они дают упрощенное и расширенное определение глубины любого единичного подкольца B ассоциативного кольца A как 2 n +1, если $A\otimes _{B}\cdots \otimes _{B}A$ ( n +1 раз A) изоморфно прямому слагаемому в $\oplus _{i=1}^{m}A\otimes _{B}\cdots \otimes _{B}A$ ( n раз A ) как B - B -бимодули для некоторого натурального m ; аналогично, B имеет глубину 2 n в A, еслито же самое условие выполняется в большей степени для А — В -бимодулей (или, что то же самое, для свободных расширений Фробениуса, как для В — А -бимодулей). (Это определение эквивалентно более раннему понятию глубины в случае, когда A является в алгебре Фробениуса расширением B .с сюръективным гомоморфизмом Фробениуса, например, A и B являются комплексными полупростыми алгебрами.) Еще раз заметим, что из подкольца глубины m следует, что оно имеет глубину m +1, поэтому они позволяют $d(B,A)$ обозначают минимальную глубину. Затем они применяют это к групповым алгебрам G и H над любым коммутативным кольцом R .

Они определяют минимальную комбинаторную глубину. $d_{c}(H,G)$ подгруппы H конечной группы G, имитируя определение глубины подкольца, но используя G -множества и гомоморфизмы G -множеств вместо модулей и гомоморфизмов модулей. Они характеризуют комбинаторную глубину n как условие на количество сопряжений H, пересекающихся в G, тем самым показывая, что комбинаторная глубина конечна. Более подробно, определяется восходящая цепочка множеств подгрупп H , начиная с одноэлементного множества H на нулевом этапе , первый этап пересекает H всеми его сопряженными подгруппами, а n -й этап заключается в пересечении всех подгрупп H в ( n −1)-й этап всеми сопряженными H . Тогда комбинаторная глубина H в G равна 2 n , если подмножество n- го этапа равно подмножеству ( n −1)-го этапа. Например, H является нормальной подгруппой G тогда и только тогда, когда H имеет комбинаторную глубину два в G . Минимальная комбинаторная глубина следует из принятия n минимального и технического определения нечетной комбинаторной глубины. Например, $d_{c}(H,G)=1$ тогда и только тогда, когда $G=HC_{G}(H)$ (т. е. G равна произведению H и ее централизаторной подгруппы в G ); в частности, H нормален в G . В общем случае показано, что минимальная глубина d(RH,RG)) ограничена $d_{c}(H,G)$, который, в свою очередь, ограничен удвоенным индексом нормализатора H в G .

Теория Галуа для расширений глубины два и основная теорема

Основными классами примеров расширений глубины два являются расширения Галуа алгебр, на которые действуют группы, алгебры Хопфа, слабые алгебры Хопфа или алгеброиды Хопфа ; например, предположим, что конечная группа G действует автоморфизмами на алгебре A , тогда A является расширением второй глубины ее подалгебры B инвариантов, если действие G -Галуа, что подробно объяснено в статье о расширении алгебры Фробениуса (кратко называемой расширения Фробениуса).

И наоборот, любое расширение A глубины два | B имеет теорию Галуа, основанную на естественном действии ${\mbox{End}}\,{}_{B}A_{B}$ на A : обозначая это кольцо эндоморфизмов через S , можно показать, что S является левым биалгеброидом над централизатором R (те, которые a в A коммутируют со всеми b в B ) с теорией Галуа, аналогичной теории Хопфа-Галуа. существует правая биалгеброидная структура На B -централизованных элементах T в $A\otimes _{B}A$ двойственный над R к S ; некоторые кольца эндоморфизмов разлагаются как продукт столкновения, например ${\mbox{End}}\,A_{B}\cong A\otimes _{R}S$, т.е. как кольца изоморфны смэш-произведению биалгеброида S (или его двойственного) с кольцом A, на котором он действует. Нечто подобное справедливо и для T и ${\mbox{End}}\,A\otimes _{B}A_{A}$ (часто называемая теорией двойственности действий, которая возникла в операторных алгебрах с 1970-х годов). Если А | B Помимо того, что является расширением алгебры Фробениуса глубины два , правое и левое кольца эндоморфизмов антиизоморфны, что ограничивается антиподом на биалгеброиде. ${\mbox{End}}\,{}_{B}A_{B}$ удовлетворяющее аксиомам алгеброида Хопфа . Существует следующая связь с относительной гомологической алгеброй : относительный комплекс Хохшильда A над B с коэффициентами из A и чашечным произведением изоморфен как дифференциально-градуированные алгебры комплексу Амицура R -ядра S (с групповым элементом тождество на A ; определение коцепного комплекса Амицура с произведением см. у Бжезинского-Висбауэра).

Теория Галуа расширения глубины два не имеет отношения к расширению Фробениуса глубины n > 2.поскольку такое расширение глубины n вкладывается в расширение глубины два в башню повторных колец эндоморфизмов. Например, для расширения Фробениуса кольца A глубины три над подкольцом B можно показать, что левый мономорфизм умножения $\lambda :B\rightarrow {\mbox{End}}\,A_{B},\ \lambda (b)(a)=ba$ имеет глубину два.

Основная теорема по этому предмету следующая, основанная на алгебраических аргументах в двух статьях ниже, опубликованных в журнале Advances in Mathematics , которые вдохновлены областью операторных алгебр , субфакторов : в частности, несколько связаны с определением глубины, данным А. Окняну. , его теория парагрупп, статьи В. Шиманского, Никшича-Вайнермана, Р. Лонго и других.

Основная теорема: предположим, что алгебра A является расширением Фробениуса подалгебры B, имеющей глубину 2, сюръективный гомоморфизм Фробениуса и одномерный централизатор R , тогда A является расширением Хопфа-Галуа B .

Доказательство этой теоремы представляет собой теорему о реконструкции, требующую как минимум построения алгебры Хопфа, но в большинстве статей это делается путем построения невырожденной пары двух алгебр в башне итерированной алгебры эндоморфизмов над B в A , а затем очень тонкая проверка того, что полученная структура алгебра-коалгебра является алгеброй Хопфа (см., например, статью 2001 года ниже); метод доказательства значительно упрощен цитируемой ниже статьей 2003 года (хотя и включенной в определение алгеброида Хопфа). Алгеброидная структура Хопфа на кольце эндоморфизмов S B -бимодуля A (обсуждаемая выше) становится алгеброй Хопфа при наличии гипотезы о том, что централизатор $R=\{r\in A:br=rb{\text{ for all }}b\in B\}$ является одномерным. Показано, что действие эндоморфизма на пространстве его определения является действием Хопфа-Галуа. Двойственная алгебра Хопфа T, введенная выше в контексте алгеброида Хопфа, и двойственное левое действие становятся правым кодействием, которое делает A Галуа T -расширением B . Условие того, что гомоморфизм Фробениуса отображает A на все B, используется, чтобы показать, что B является в точности инвариантной подалгеброй действия Хопфа-Галуа (а не просто содержится внутри). Условие того, что A является расширением Фробениуса над B, не так важно для доказательства, как гипотеза глубины два, и его можно избежать, наложив условие модуля прогенератора на A как на естественный B -модуль.

Ссылки

• Томаш Бжезинский; Роберт Висбауэр, Коринги и комодулы . Лондонская математика. Соц. Лект. Note Ser., 309. Издательство Кембриджского университета, 2003. ISBN   0-521-53931-5
• Болтье, Р.; Кюльшаммер, Б. (2010), «Об условии глубины два для групповой алгебры и расширений алгебры Хопфа», Journal of Algebra , 323 (6): 1783–1796, doi : 10.1016/j.jalgebra.2009.11.043
• Болтье, Р.; Данц, С.; Кюльшаммер, Б. (2011), «О глубине подгрупп и расширениях групповой алгебры», Journal of Algebra , 335 : 258–281, doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.03.019
• Кэдисон, Л.; Никшич, Д. (2001), «Действия алгебры Хопфа сильно отделимых расширений глубины два», Advances in Mathematics , 163 (2): 258–286, arXiv : math/0107064 , doi : 10.1006/aima.2001.2003 , S2CID   18876684
• Кэдисон, Л.; Шлачани, К. (2003), «Биалгеброидные действия на глубине два расширения и двойственности», Успехи в математике , 179 : 75–121, doi : 10.1016/s0001-8708(02)00028-2
• Кадисон, Л. (2014), «Подалгебры Хопфа и тензорные степени обобщенных модулей перестановок», Journal of Pure and Applied Algebra , 218 (2): 367–380, arXiv : 1210.3178 , doi : 10.1016/j.jpaa.2013.06. 008 , S2CID   119128079