Генератор (теория категорий)

В математике , особенно в теории категорий , — семейство образующих (или семейство сепараторов ) категории . ${\mathcal {C}}$ это коллекция ${\mathcal {G}}\subseteq Ob({\mathcal {C}})$ объектов в ${\mathcal {C}}$ , такой, что для любых двух различных морфизмов $f,g:X\to Y$ в ${\mathcal {C}}$ , то есть с $f\neq g$ , есть некоторые $G$ в ${\mathcal {G}}$ и немного морфизма $h:G\to X$ такой, что $f\circ h\neq g\circ h.$ Если коллекция состоит из одного объекта $G$ , мы говорим, что это генератор (или сепаратор ).

Генераторы занимают центральное место в определении категорий Гротендика .

Двойственная концепция называется когенератором или косепаратором .

Примеры [ править ]

В категории абелевых групп группа целых чисел $\mathbf {Z}$ является генератором: если f и g различны, то существует элемент $x\in X$ , такой, что $f(x)\neq g(x)$ . Отсюда и карта $\mathbf {Z} \rightarrow X,$ $n\mapsto n\cdot x$ достаточно.
Аналогично, одноточечный набор является генератором категории множеств . Фактически любое непустое множество является генератором.
В категории множеств любое множество, содержащее хотя бы два элемента, является кообразующим.
В категории модулей над кольцом R генератор в конечной прямой сумме сам с собой содержит изоморфную копию R в качестве прямого слагаемого. Следовательно, генераторный модуль точен, т. е. имеет нулевой аннулятор .