Jump to content

Регулярное представительство

(Перенаправлено из обычного модуля )

В математике и, в частности, в теории представлений групп , регулярное представление группы G — это линейное представление, обеспечиваемое групповым действием группы G на себя посредством перевода .

Различают левое регулярное представление λ, заданное левым сдвигом, и правое регулярное представление ρ, заданное обратным правом сдвигу.

Конечные группы [ править ]

Для конечной группы G левое регулярное представление λ (над полем K ) является линейным представлением в - векторном пространстве V, порожденным элементами G , т.е. элементы G можно отождествить с базисом V. K свободно Учитывая g G , λ g — линейное отображение, определяемое его действием на базисе левым сдвигом на g , т.е.

Для правого регулярного представления ρ должна произойти инверсия, чтобы удовлетворить аксиомам представления. В частности, для данного g G ρ g — линейное отображение на V, определяемое его действием на базисе правым сдвигом на g −1 , то есть

В качестве альтернативы эти представления могут быть определены в K -векторном пространстве W всех функций G K . Именно в этой форме регулярное представление обобщается на топологические группы, такие как группы Ли .

Конкретное определение в терминах W заключается в следующем. Учитывая функцию f : G K и элемент g G ,

и

группы регулярного Значение представительства

Каждая группа G действует сама на себя трансляциями. Если мы рассматриваем это действие как представление перестановки, характеризуется как имеющее одну орбиту и стабилизирующее единичную подгруппу { e } группы G. оно Регулярное представление G для данного поля K является линейным представлением, полученным путем принятия этого представления перестановки в качестве набора векторов векторного пространства над K. базисных Значение состоит в том, что, хотя представление перестановок не разлагается (оно транзитивно ), обычное представление в целом распадается на более мелкие представления. Например, если G — конечная группа, а K поле комплексных чисел , регулярное представление разлагается как прямая сумма неприводимых представлений , причем каждое неприводимое представление появляется в разложении с кратностью своей размерности. равно числу классов сопряженности G Число этих неприводимых .

Вышеупомянутый факт можно объяснить с помощью теории характера . Напомним, что характер регулярного представления χ (g) — это количество неподвижных точек g , действующих на регулярное представление V . Это означает, что количество неподвижных точек χ (g) равно нулю, когда g не равен id и | г | в противном случае. Пусть V имеет разложение ⊕ a i Vi , где V i — неприводимые представления группы G , а a i — соответствующие кратности. Согласно теории характеров , кратность a i можно вычислить как

что означает, что кратность каждого неприводимого представления является его размерностью.

В статье о групповых кольцах сформулировано регулярное представление конечных групп , а также показано, как регулярное представление можно рассматривать как модуль .

зрения Точка теории модулей

Говоря более абстрактно, групповое кольцо K [ G ] рассматривается как модуль над самим собой. (Здесь есть выбор между левым или правым действием, но это не имеет значения, за исключением обозначений.) Если G конечна и характеристика K не делит | G |, это полупростое кольцо и мы рассматриваем его левый (правый) кольцевой идеал . Эта теория изучена очень глубоко. Известно, в частности, что разложение регулярного представления в прямую сумму содержит представителя каждого класса изоморфизма неприводимых линейных представлений группы G над K . В этом случае можно сказать, что регулярное представление является всеобъемлющим для теории представлений. Модульный случай, когда характеристика K действительно делит | G |, сложнее главным образом потому, что, поскольку K [ G ] не является полупростым, представление может оказаться неприводимым без расщепления в прямую сумму.

Структура конечных циклических групп [ править ]

Для циклической группы C, порожденной g порядка n , матричная форма элемента K [ C ], действующего на K [ C ] путем умножения, принимает особую форму, известную как циркулянтная матрица , в которой каждая строка представляет собой сдвиг к справа от приведенного выше (в циклическом порядке , т. е. с самым правым элементом, появляющимся слева), когда речь идет о естественном базисе

1, g , g 2 , ..., г п -1 .

Когда поле K содержит примитивный корень n-й степени из единицы , можно диагонализировать представление C, выписав n линейно независимых одновременных собственных векторов для всех циркулянтов n × n . Фактически, если ζ — любой корень n-й степени из единицы, элемент

1 + ζ г + ζ 2 г 2 + ... + г п -1 г п -1

является собственным вектором действия g путем умножения с собственным значением

г −1

а также собственный вектор всех степеней g и их линейных комбинаций.

В данном случае это явная форма абстрактного результата о том, что над алгебраически замкнутым полем K (таким как комплексные числа ) регулярное представление G при полностью приводимо условии, что характеристика K (если это простое число p ) не делит порядок G . Это называется теоремой Машке . В этом случае условие на характеристику подразумевает наличие примитивного корня n-й степени из единицы, чего не может быть в случае простой характеристики p, делящей n .

Циркулярные определители впервые были встречены в математике девятнадцатого века, и были выявлены последствия их диагонализации. А именно, определитель циркулянта является произведением n собственных значений для n собственных векторов, описанных выше. Основная работа Фробениуса по представлениям групп началась с мотивации найти аналогичные факторизации определителей группы для любого конечного G ; то есть определители произвольных матриц, представляющих элементы K [ G действующие путем умножения на базисные элементы, заданные g в G. ] , Если G не абелева , факторизация должна содержать нелинейные факторы, соответствующие неприводимым представлениям степени G > 1.

топологической Случай группы

Для топологической группы G регулярное представление в указанном выше смысле должно быть заменено подходящим пространством функций на G , при этом G действует сдвигом. См. теорему Петера – Вейля для компактного случая. Если G — группа Ли, но не компактная и не абелева , это трудный вопрос гармонического анализа . Локально компактный абелев случай является частью теории двойственности Понтрягина .

Нормальные базисы Галуа в теории

В теории Галуа показано, что для поля конечной группы G автоморфизмов L L L фиксированное поле K группы G имеет [ и : K ] = | Г |. На самом деле мы можем сказать больше: L, рассматриваемый как K [ G ]-модуль, является регулярным представлением. Это содержание теоремы о нормальном базисе , где нормальный базис представляет собой элемент x из L такой, что ( x ) для g в G является базисом векторного пространства для L над K. g Такие x существуют, и каждый из них дает K [ G ]-изоморфизм из L в K [ G ]. С точки зрения теории алгебраических чисел представляет интерес изучение нормальных целых базисов , где мы пытаемся заменить L и K кольцами целых алгебраических чисел, которые они содержат. Уже на примере гауссовских целых чисел можно видеть , что такие базы могут не существовать: a + bi и a - bi никогда не могут образовывать базис Z -модуля Z [ i ], потому что 1 не может быть целочисленной комбинацией. Причины подробно изучаются в теории модулей Галуа .

алгебры общие Более

Регулярное представление группового кольца таково, что левое и правое регулярное представление задают изоморфные модули (и нам часто не нужно различать эти случаи). Учитывая алгебру над полем A , не имеет смысла сразу спрашивать об отношении между A как левым модулем над собой и правым модулем. В групповом случае отображение базисных элементов g кольца K [ G ], определенное взятием обратного элемента, дает изоморфизм K [ G ] его противоположному кольцу. В общем случае такая структура называется алгеброй Фробениуса . Как следует из названия, они были введены Фробениусом в девятнадцатом веке. Было показано, что они связаны с топологической квантовой теорией поля в измерениях 1 + 1 с помощью частного случая гипотезы кобордизма .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: aeabfafc74061c277ff5d6ca8eb342db__1704961260
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ae/db/aeabfafc74061c277ff5d6ca8eb342db.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Regular representation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)