Пара штанов (математика)

В математике штаны , — это поверхность гомеоморфная с тремя дырками сфере . Название происходит от того, что один из снятых дисков считается талией, а два других — манжетами брюк .

пары брюк используются в качестве строительных блоков для компактных В различных теориях поверхностей. Двумя важными приложениями являются гиперболическая геометрия , где разложение замкнутых поверхностей на пары штанов используется для построения координат Фенхеля-Нильсена в пространстве Тейхмюллера , и топологическая квантовая теория поля , где они представляют собой простейшие нетривиальные кобордизмы между одномерными многообразиями. .

Разложение штанов и штанов

Штаны как топологические поверхности

Пара штанов — это любая поверхность, гомеоморфная сфере с тремя дырками, что формально является результатом удаления из сферы трех открытых дисков с попарно непересекающимися замыканиями. Таким образом, пара штанов представляет собой компактную поверхность нулевого рода с тремя граничными компонентами .

Эйлерова характеристика пары штанов равна −1, и единственной другой поверхностью, обладающей этим свойством, является проколотый тор (тор минус открытый диск).

Разложения штанов

Важность пар штанов при изучении поверхностей обусловлена следующим свойством: определять сложность связной компактной поверхности. $S$ рода $g$ с $k$ граничные компоненты должны быть $\xi (S)=3g-3+k$ , а для несвязной поверхности взять сумму по всем компонентам. Тогда единственные поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой и нулевой сложностью — это непересекающиеся объединения пар штанов. Кроме того, для любой поверхности $S$ и любая простая замкнутая кривая $c$ на $S$ не гомотопной граничной компоненте, компактная поверхность, полученная разрезанием $S$ вдоль $c$ имеет сложность, строго меньшую, чем $S$ . В этом смысле пары штанов — единственные «неприводимые» поверхности среди всех поверхностей с отрицательной эйлеровой характеристикой.

С точки зрения рекурсии это означает, что для любой поверхности существует система простых замкнутых кривых, которые разрезают поверхность на пары штанов. Это называется штановым разложением по поверхности, а кривые — манжетами разложения. Это разложение не уникально, но, оценивая аргументы количественно, можно увидеть, что все разложения штанов данной поверхности имеют одинаковое количество кривых, что и составляет сложность. ^[1] Для связных поверхностей разложение штанов имеет ровно $2g-2+k$ брюки.

Набор простых замкнутых кривых на поверхности является разложением штанов тогда и только тогда, когда они не пересекаются, никакие две из них не гомотопны и ни одна не гомотопна граничному компоненту, и набор максимальен по этим свойствам.

Брючный комплекс

Данная поверхность имеет бесконечно много различных разложений штанов (мы понимаем, что два разложения различны, если они не гомотопны). Один из способов попытаться понять отношения между всеми этими разложениями — это комплекс штанов, связанный с поверхностью . Это граф с набором вершин и разложением штанов $S$ , а две вершины соединяются, если они связаны элементарным перемещением, которое является одной из двух следующих операций:

взять кривую $\alpha$ в разложении по однодырочному тору и заменить ее кривой в торе, пересекающей его только один раз,
взять кривую $\alpha$ в разложении на четырехдырочную сферу и заменим ее кривой на сфере, пересекающей ее только дважды.

Брючный комплекс связан. ^[2] (это означает, что любые два разложения штанов связаны последовательностью элементарных ходов) и имеет бесконечный диаметр (это означает, что не существует верхней границы количества ходов, необходимых для перехода от одного разложения к другому). В частном случае, когда поверхность имеет сложность 1, комплекс штанов изоморфен графу Фэрея .

группы Для изучения этой группы представляет интерес действие классов отображения на комплекс штанов. Например, Аллен Хэтчер и Уильям Терстон использовали его, чтобы доказать тот факт, что оно конечно представлено .

Брюки гиперболической геометрии

Пространство модулей гиперболических штанов

Интересные гиперболические структуры на брюках легко классифицировать. ^[3]

Для всех

\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}\in (0,\infty )

существует гиперболическая поверхность

M

которая гомеоморфна паре штанов и чьи граничные компоненты представляют собой простые замкнутые геодезические длины, равные

\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}

. Такая поверхность однозначно определяется

\ell _{i}

вплоть до изометрии .

Приняв длину манжеты равной нулю, можно получить полную метрику пары брюк за вычетом манжеты, которая заменяется выступом . Эта структура имеет конечный объем.

Штаны и шестиугольники

Геометрическое доказательство классификации, приведенной в предыдущем параграфе, важно для понимания структуры гиперболических штанов. Это происходит следующим образом: для пары гиперболических брюк с полностью геодезической границей существуют три уникальные геодезические дуги, которые попарно соединяют манжеты и перпендикулярны им в своих конечных точках. Эти дуги называются швами брюк.

Разрезав брюки по швам, получаются два прямоугольных гиперболических шестиугольника, имеющих три чередующиеся стороны одинаковой длины. Следующая лемма может быть доказана с помощью элементарной гиперболической геометрии. ^[4]

Если каждый из двух прямоугольных гиперболических шестиугольников имеет по три чередующиеся стороны одинаковой длины, то они изометричны друг другу.

Итак, мы видим, что пара штанов представляет собой двойник прямоугольного шестиугольника по чередующимся сторонам. Поскольку класс изометрии шестиугольника также однозначно определяется длинами остальных трех альтернативных сторон, классификация штанов следует из классификации шестиугольников.

Когда длина одной манжеты равна нулю, соответствующую сторону прямоугольного шестиугольника заменяют идеальной вершиной.

Координаты Феннеля-Нильсена

Точка в пространстве Тейхмюллера поверхности. $S$ представлен парой $(M,f)$ где $M$ является полной гиперболической поверхностью и $f:S\to M$ диффеоморфизм.

Если $S$ есть разложение штанов по кривым $\gamma _{i}$ тогда можно параметризовать пары Тейхмюллера координатами Фенхеля-Нильсена, которые определяются следующим образом. манжет Длина $\ell _{i}$ представляют собой просто длины замкнутых геодезических, гомотопных $f(\gamma _{i})$ .

Параметры скрутки $\tau _{i}$ их сложнее определить. Они соответствуют тому, на сколько оборотов нужно склеить две пары штанов вдоль. $\gamma _{i}$ : это определяет их по модулю $\ell _{i}\mathbb {Z}$ . Можно уточнить определение (используя либо аналитическое продолжение ^[5] или геометрические методы) для получения параметров крутки, измеряемых в $\mathbb {R}$ (грубо говоря, дело в том, что когда кто-то делает полный оборот, он меняет точку в пространстве Тейхмюллера, предварительно составив $f$ с Дена поворотом $\gamma _{i}$ ).

Комплекс штанов и метрика Вейля-Петерссона.

Можно определить карту комплекса штанов в пространство Тейхмюллера, которая переносит разложение штанов в произвольно выбранную точку в области, где манжетная часть координат Фенхеля-Нильсена ограничена достаточно большой константой. Это квазиизометрия , когда пространство Тейхмюллера наделено метрикой Вейля-Петерссона , которая оказалась полезной при изучении этой метрики. ^[6]

Пары брюк и группы Шоттки

Эти структуры соответствуют группам Шоттки с двумя образующими (точнее, если фактор гиперболической плоскости по группе Шоттки с двумя образующими гомеоморфен внутренности пары штанов, то ее выпуклое ядро представляет собой гиперболическую пару штанов, описанную выше). , и все получаются как таковые).

2-мерные кобордизмы

Кобордизм между двумя n -мерными замкнутыми многообразиями — это компактное ( n +1)-мерное многообразие, граница которого представляет собой непересекающееся объединение двух многообразий. Категория +1 — это кобордизмов размерности n категория, объектами которой являются замкнутые многообразия размерности n , а морфизмами — кобордизмы между ними (заметим, что определение кобордизмов включает в себя отождествление границы многообразий). Обратите внимание, что одно из многообразий может быть пустым; в частности, замкнутое многообразие размерности n +1 рассматривается как эндоморфизм пустого множества . Можно также составить два кобордизма, если конец первого равен началу второго. n-мерная топологическая квантовая теория поля (TQFT) представляет собой моноидальный функтор из категории n -кобордизмов в категорию комплексного векторного пространства (где умножение задается тензорным произведением).

В частности, кобордизмы между одномерными многообразиями (которые представляют собой объединения окружностей) представляют собой компактные поверхности, граница которых разделена на два непересекающихся объединения окружностей. Двумерные TQFT соответствуют алгебрам Фробениуса , где круг (единственное связное замкнутое 1-многообразие) отображается в базовое векторное пространство алгебры, а пара штанов дает продукт или копроизведение, в зависимости от того, как сгруппированы граничные компоненты. – который является коммутативным или кокоммутативным. Далее карта, связанная с диском, дает единицу (след) или единицу (скаляры), в зависимости от группировки границы, что завершает соответствие.

Примечания

^ Рэтклифф 2006 , Теорема 9.7.1.
^ Хэтчер и Терстон 1980 .
^ Рэтклифф 2006 , Теорема 9.7.3.
^ Рэтклифф 2006 , Теорема 3.5.14.
^ Имаёси и Танигучи 1992 , стр. 63.
^ Брок, Джефф (2002). «Разложение Штанов и метрика Вейля-Петерссона». В Эрле, Клиффорд Дж.; Харви, Уильям Дж.; Рециллас-Пишмиш, Севин (ред.). Комплексные многообразия и гиперболическая геометрия . Современная математика. Том. 311. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 27–40. дои : 10.1090/conm/311/05445 . ISBN 978-0-8218-7901-6 .

Ссылки

Хэтчер, Аллен; Терстон, Уильям (1980). «Презентация группы классов отображения замкнутой ориентируемой поверхности». Топология . 19 (3): 221–237. дои : 10.1016/0040-9383(80)90009-9 .
Имаёси, Ёичи; Танигучи, Масахико (1992). Знакомство с пространствами Тейхмюллера . Спрингер. стр. xiv+279. ISBN 4-431-70088-9 .
Рэтклифф, Джон (2006). Основы гиперболических многообразий, Второе издание . Спрингер. стр. xii+779. ISBN 978-0387-33197-3 .

[FOOTNOTERatcliffe2006Theorem_9.7.1-1] Рэтклифф 2006 , Теорема 9.7.1.

[FOOTNOTEHatcherThurston1980-2] Хэтчер и Терстон 1980 .

[FOOTNOTERatcliffe2006Theorem_9.7.3-3] Рэтклифф 2006 , Теорема 9.7.3.

[FOOTNOTERatcliffe2006Theorem_3.5.14-4] Рэтклифф 2006 , Теорема 3.5.14.

[FOOTNOTEImayoshiTaniguchi199263-5] Имаёси и Танигучи 1992 , стр. 63.

[6] Брок, Джефф (2002). «Разложение Штанов и метрика Вейля-Петерссона». В Эрле, Клиффорд Дж.; Харви, Уильям Дж.; Рециллас-Пишмиш, Севин (ред.). Комплексные многообразия и гиперболическая геометрия . Современная математика. Том. 311. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 27–40. дои : 10.1090/conm/311/05445 . ISBN 978-0-8218-7901-6 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]